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高一数学下学期期末考试卷


高一数学下学期期末考试卷
第一卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项的符合题目要求的。 1.1920°转化为孤度数为 ( ) A.

16 3

B.

提示: 1? ?

?
180

/>32 3

C.

16 ? 3

D.

32 ? 3

孤度。 ( )

2.根据一组数据判断是否线性相关时,应选用 A.散点图 B.茎叶图 C.频率分布直方图 D.频率分布折线图 提示: 散点图是用来观察变量间的相关性的. 3.函数 y ? sin( x ? A. [?? ,0]

?
4

) 的一个单调增区间是
B. [0,

( C. [



?
4

]
? ?

? ?

, ] 4 2
,2k? ?

D. [

?
2

,? ]

提示: 函数 y ? sin x 的单调增区间是 ?2k? ?

?
2

??
2? ?

?k ? Z ? .
) D.-

4.矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O, BC ? 5e1 , DC ? 3e 2 ,则 OC 等于( A.

1 (5 e 1 +3 e 2 ) 2

B.

提示: OC ?

1 1 1 1 AC ? AD ? DC ? BC ? DC ? (5 e 1 +3 e 2 ) 2 2 2 2

?

1 (5 e 1 -3 e 2 ) 2

C.

? ?

?

1 (-5 e 1 +3 e 2 ) 2

1 (5 e 1 +3 e 2 ) 2

5.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间 抽取一个容量为 36 样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 ( ) A.6,12,18 B.7,11,19 C.6,13,17 D.7,12,17 6.函数 y ? sin

x x ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 5? 5? 11 A. x ? ? B. x ? C. x ? ? 3 3 3

( D. x ? ?



?
3

提示: 函数 y ? sin

x x ?x ?? ? 3 cos ? 2 sin? ? ? ,而函数 y ? sin x 的对称轴方程是: 2 2 ?2 3?

x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

7.甲乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,甲不输的概率为70%,则甲乙两人下一盘棋,最可能出现的情况是 ( ) A.甲获胜 B.乙获胜 C.二人和棋 D.无法判断 提示: 由甲不输的概率为70%可得乙获胜的概率也为30%. 8.如图是计算

1 1 1 1 的一个程序框图,其中在判断框内应填入的条件是( ? ? ?? ? 2 4 6 20



1

A.i>10

B.i<10

C.i>20

D.i<20 ( )

9.函数 y ? 3 ? 4sin x ? cos 2 x 的最大值是 A.0 B.3 C.6
2

D.8

提示:函数 y ? 3 ? 4sin x ? cos 2 x ? ?2 sin x ? 4 sin x ? 4 ,再设 t ? sin x, 且

? 1 ? t ? 1 .于是原函数可化为关于 t 的一元二次函数 y ? ?2t 2 ? 4t ? 4 其中 ? 1 ? t ? 1 .
10.2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方 形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是

1 , 则 sin 2 ? ? cos2 ? 的值等于 25
A.1 B. ? 24 25

( C. 7 25

) D. ? 7 25 ∴ cos ? ? sin ? ?

? 提示:∵ ? cos ? ? sin ? ?2 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? ? 1 ,又 ? ? ? 0, ? ? ? 25 25 ? 4?
2 cos ? sin ? ? 24 , ∴ sin 2 ? 25

1 25

? cos 2 ? ? ? sin ? ? cos ? ?? sin ? ? cos ? ? ? ?

1 ? sin ? ? cos? ? 5

??

1 1 24 7 1 ? 2sin ? cos ? ? ? 1 ? ?? 5 5 25 25

11.已知 p ? 2 2, q ? 3, p, q的夹角为 ,如图,若AB ? 5 p ? 2q, AC ? p ? 3q,

?

??? ?

??? ?

???? D为BD的中点,则 AD 为

4





A.

15 2

B.

15 2

C.7 提示: AD ?

2 2 1 AB ? AC ,而 AD ? AD 。 2

?

D.18

?

12.在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍,向方框中投掷硬币,硬币完全落在正方形外的 不计,则硬币完全落在正方形内的概率为 ( ) A.

1 4
d 测度 D测度

B.

1 8

C.

1 16

D.

4 32 ? ?

提示: P? A? ?

?

22 4 ? 2 2 32 ? ? 4 ? 4 ? 1? 4 ? ? 1
第二卷 (选择题 共90分)
2

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把正确的答案填在题中横线上。 13.已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-λb,n=2a-b,若m//n, 则λ= 。 提示:两个向量共线的充要条件是:存在实数 t ? 0 使得 m ? t n 。 14.函数f(x)=x -x-2,x ? [-5,5],那么在区间[-5,5]上任取一点x0,使 f(x0)≤0的概率为 。
2

提示:由函数f(x)=x -x-2,x ? [-5,5]的图像可知使得 f ?x ? ? 0 的 x 取值范围是 ? 1 ? x ? 2 。于是
2

使f(x0)≤0的概率为:

3 。 10

15.某校为了了解学生的课外阅读情况,随即 调查了50名学生,得到他们在某天阅读时 间及人数的数据,结果用下面的条形图表 示,根据条形图可知这50名学生在这天内 平均每人的课外阅读时间为 小时。 16.函数y=Asin(ωx+φ) ? ? ?

? ?

??
? 2?


部分图象如图,则函数解析式为y= 提示:由图象知 A ? 2, T ? 6? ,所以 ? ?

2? 2? 1 1 ? ? ? ? 。且 ? ? ? ? 0 ,于是 ? ? ? 。 T 6? 3 3 2 6

三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)

? cos(? ? ) ? 4 的值。 已知α ? ( ,π),且4sinα=-3cosα,求 2 sin 2?

18.(本小题满分12分) 根据下面的要求,求满足1+2+3+?+n>500的最小的自然数n。 (Ⅰ)画出执行该问题的程序框图; (Ⅱ)以下是解答该问题的一个程序,但有几处错误,请找出这些错误并予以更正。 程序:i=1 S=1 n=0 DO S<=500 S=S+i i=i+1 n=n+1 WEND PRINT n+1
3

END

4

19.(本小题满分12分) 抛掷两颗骰子,计算: (1)事件“两颗骰子点数相同”的概率; (2)事件“点数之和小于 7”的概率; (3)事件“点数之和等于或大于 11”的概率。

20.(本小题满分12分) 如图,已知 AB =(6,1), CD =(-2,-3),设 BC =(x,y), (Ⅰ)若四边形ABCD为梯形,求x、y间的函数的关系式; (Ⅱ)若以上梯形的对角线互相垂直,求 BC 。
B C

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

A

D

5

21.(本小题满分12分) 某地区100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下: [0,0.5],4;[0.5,1],8;[1,1.5],15;[1.5,2],22;[2,2.5],25;[2.5,3],14;[3,3.5],6; [3.5,4],4;[4,4,5],2。 (Ⅰ)列出样本的频率分布表; (Ⅱ)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的众数; (Ⅲ)当地政府制定了人均月用水量为 3t 的标准,若超出标准加倍收费,当地政府解释说,85%以上的居 民不超出这个标准,这个解释对吗?为什么?

22.(本小题满分 14 分) 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序研究函数 f(x)= 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其在 [?? , ? ] 上的图象.

6

[参考答案] 一、选择题 1 D 二、填空题 (13) 2 A 3 B 4 A 5 A 6 C 7 C 8 A 9 D 10 D 11 A 12 D

1 2

(14)

3 10

(15)0.9

(16) y ? 2sin( x ?

1 3

?
6

)

三、解答题 17.解:? 4sin ? ? ?3cos ? , 且? ? ( ,?)

?

2 3 4 3 ? tan ? ? ? , cos ? ? ? ,sin ? ? 4 5 5
cos(? ?

?

2 (cos ? ? sin ? ) 2 1 1 2 5 5 35 2 . 4 ? 2 ? ( ? )? ( ? )? sin 2? 2 sin ? cos ? 4 sin ? cos ? 4 3 4 48 )

?

18.解: (Ⅰ)如下图 (Ⅱ)错误 1:S=1 改为 S=0 错误 2:DO,改正为 WHILE 错误 3:PRINA n+1 改正为 PRINA n.

19.解: 解:我们用列表的方法列出所有可能结果: 掷第 二颗 得到 掷第 1 的点 一颗 得到 数 的点 数 1 2 3 4 5 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

2

3

4

5

6

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

7

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

由表中可知,抛掷两颗骰子,总的事件有 36 个。 (1)记“两颗骰子点数相同”为事件 A,则事件 A 有 6 个基本事件, ∴ P( A) ?

6 1 ? 36 6 15 5 ? 36 12

(2)记“点数之和小于 7”为事件 B,则事件 B 有 15 个基本事件, ∴ P( B) ?

(3)记“点数之和等于或大于 11”为事件 C,则事件 C 有 3 个基本事件,

3 1 ? 36 12 ???? ??? ??? ??? ? ? ? 20.解:(Ⅰ) AD ? AB ? BC ? CD ? (4 ? x, ?2 ? y )
∴ P(C ) ?

??? ??? ? ? ? AB与CD不共线,四边形ABCD为梯形,

??? ???? ? ? BC // AD ? x( y ? 2) ? y (4 ? x) ? 0 1 ?y ?? x 2 ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? (Ⅱ) AC ? AB ? BC ? (6 ? x,1 ? y ), BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3)

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AC ? BD ? AC ? BD ? 0
(6 ? x)( x ? 2) ? ( y ? 1)( y ? 3) ? 0

1 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0, 又y ? ? x代入上式,得 2 ? x ? ?6 ? x ? 2 即? 或? y ?3 ? ? y ? ?1 ??? ? ? BC ? (?6,3)或(2, ?1)
21.解: (Ⅰ)

8

(Ⅱ)

这组数据的众数为 2.25。 (Ⅲ)人均月用水量在 3t 以上的居民的比例为 6﹪+4﹪+2﹪=12﹪,即大约是有 12﹪的居民月均用水量在 3t 以上,88﹪的居民月均用水量在 3t 以下,因此,政府的解释是正确的。 22.解:① ∵ ?

?1 ? sin x ? 0 ∴ f ? x ? 的定义域为 R ② ?1 ? sin x ? 0

∵ f ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ? x ? ∴f(x)为偶函数; ③ ∵f(x+ ? )=f(x), ∴f(x)是周期为 ? 的周期函数; ④ ∵ f ( x) ? ? sin x ? cos x ? ? ? sin x ? cos x ? ?| sin x ? cos x | ? | sin x ? cos x | ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2
? ? ? ?
2 2

? ? x ∴当 x ? [0, ] 时 f ? x ? ? 2 cos x ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin 2 2 2 2 ? x (或当 x ? [0, ] 时 f(x)= ( 1 ? sin x ? 1 ? sin x ) 2 ? 2 ? 2 | cos x | ? 2 cos ) 2 2
∴当 x ? [0, ] 时 f ? x ? 单减;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? 单增; 又∵ f ? x ? 是周期为 ? 的偶函数 2 2 ∴f(x)的单调性为:在 [k? ?

?

?

?
2

? , k? ? ? ] 上单增,在 [k? , k? ? ] 上单减。
2

? ? x ⑤ ∵当 x ? [0, ] 时 f ? x ? ? 2cos x ? ? 2,? ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin ? ? 2,? 2? ? 2? 2 2 2 ? 2
∴ f ? x ? 的值域为: [ 2 ,2] ⑥由以上性质可得: f ? x ? 在 ? ?? ,? ? 上的图象如上图所示:

9


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