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ch2-习题


例题1:两原子间互作用势为:

u (r ) = ?

α
r
2

+

β
r
8

4eV
0

当两原子构成一稳定分子时,核间距为 3 A ,解离能 为 4eV ,求 α 和 β 。

[解答]
当两原子构成一稳定分子即平衡时,其相互作用势能取 极小值,于是有:

2α 8β du (r ) = 3 ? 9 =0 dr r = r0 r0 r0
由此得平衡时两原子间的距离为:

? 4β ? r0 = ? ? ?α ?
而平衡时的势能为:

1 6

(1)

3α u (r0 ) = ? 2 + 8 = ? 2 r0 r0 4r0

α

β

(2)

根据定义,解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能 量,其值等于 u (r0 ) 。已知离解能为 4eV,因此得:
3α = 4eV 2 4r0
0

(3)

再将 r0 = 3 A , 1eV = 1.602 ×10 ?12 erg 代入(1),(3)两式, 得: α = 7.69 ×10 ?27 erg ? cm 2

β = 1.40 ×10 ?72 erg ? cm8

例题2:雷纳德-琼斯势为:
?? σ ?12 ? σ ? 6 ? u (r ) = 4ε ?? ? ? ? ? ? ?r? ? ?? r ? ? ?

证明: = 1.12σ 时,势能最小,且 u (r ) = ?ε ;当 r r = σ 时, u (r ) = 0;说明 ε 和 σ 的物理意义。

[解答]
u 当 r = r0 时, (r ) 取最小值 u (r0 ),由极值条件:

? du ? ? ? =0 ? dr ? r =r0
得: 于是有:
? σ 12 σ6 ? 4ε ? ? 12 13 + 6 7 ? = 0 ? r0 r0 ? ? ?

r0 = 21 6 σ = 1.12σ
?? σ ?12 ? σ ? 6 ? u (r0 ) = 4ε ?? ? ? ? ? ? ? ? ?r ? ?? r0 ? ? 0? ? ? ? ?1 1? = 4ε ? ? ? ?4 2? = ?ε

再代入u的表示式得:



r = σ 时,则有:

?? σ ?12 ? σ ? 6 ? u (σ ) = 4ε ?? ? ? ? ? ? = 0 ?σ ? ? ?? σ ? ? ?
由于 u (r0 ) 是两分子间的结合能,所以 ε 即是两分子处于平 σ 衡时的结合能。σ 具有长度的量纲,它的物理意义是, 是 互作用势能为0时两分子间的间距。


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