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2da新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五)


导数复习
一.选择题 (1) 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D. (0,2) ) ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞) )

11.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

12 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) , 导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( A.1 个 ( ) )
y

(2)曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为( A. y ? 3 x ? 4
2

B。 y ? ?3x ? 2

C。 y ? ?4 x ? 3 D。 y ? 4 x ? 5 a

B.2 个 C.3 个 D. 4 个 ) D.2 )
x +y=0 25 x -y=0 25

y ? f ?( x)

(3) 函数 y= a x +1 的图象与直线 y=x 相切, 则a= A.
1 8
3

13. y=esinxcos(sinx),则 y′(0)等于( A.0 B.1 C.-1
x?5

b

B.
2

1 4

C.

1 2

D.1 )

a

O

x

14.经过原点且与曲线 y= x ? 9 相切的方程是( D.5 A.x+y=0 或 C.x+y=0 或
x +y=0 25 x -y=0 25
x

(4) 函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = ( A.2 B.3 C.4

B.x-y=0 或 D.x-y=0 或

(5) 在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 个数是 A.3 B.2 C.1 (

? 的点中,坐标为整数的点的 4 ( ) D.0


15.设 f(x)可导,且 f′(0)=0,又 lim f ?( x) =-1,则 f(0)(
x?0

)

(6)函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 (7)函数 f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ??0,1? 的最大值是( A.
1 2

A.可能不是 f(x)的极值 C.一定是 f(x)的极小值

B.一定是 f(x)的极值 D.等于 0 )

D. a ? 0 )

16.设函数 fn(x)=n2x2(1-x)n(n 为正整数),则 fn(x)在[0,1]上的最大值为( A.0 ) B.1 C. (1 ?
2 n ) 2?n

B.

-1

C. 0

D. 1

D. 4( )

n n?1 ) n?2

(8)函数 f ( x) = x ( x -1) ( x -2)…( x -100)在 x =0 处的导数值为( C、200 D、100! 1 ? 4? (9)曲线 y ? x 3 ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3? 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3
x ?1

17、函数 y=(x2-1)3+1 在 x=-1 处( A、 有极大值 B、无极值

C、有极小值 ) D、 19
3

D、无法确定极值情况

A、0

B、1002

18.f(x)=ax3+3x2+2,f’(-1)=4,则 a=( ) A、 10
3

B、 13
3

C、 16
3

19.过抛物线 y=x2 上的点 M( 1 , 1 )的切线的倾斜角是(
2 4

)

.10 设函数 f ( x) ? x ? a ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ' ( x) ? 0} ,若 M P,则实数 a 的取值范围是 ( )
1

A、300

B、450

C、600

D、900 )

20.函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是(

A、 (0,1) B、 (-∞,1) C、 (0,+∞) D、 (0, 1 )
2

35.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S ? 度为零的时刻是_______________。 三.解答题 )

1 4 3 3 t ? t ? 2t 2 ,那么速 4 5

21.函数 y=x3-3x+3 在[ ? 3 , 5 ]上的最小值是(
2 2

)

A、

89 8
3

B、1
2

C、 33
8

D、5

22、若 f(x)=x +ax +bx+c,且 f(0)=0 为函数的极值,则( A、c≠0 C、b=0 B、当 a>0 时,f(0)为极大值 D、当 a<0 时,f(0)为极小值

36.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2),且在点 M (?1, f (?1)) 处的切 线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 .(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调 区间. )

23、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递增区间是( A、 (2,3) B、 (3,+∞) C、 (2,+∞) ) D、恰好有 5 个元素 D、 (-∞,3)

24、方程 6x5-15x4+10x3+1=0 的实数解的集合中(

A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素

二.填空题 25.垂直于直线 2x+6y+1=0 且与曲线 y = x3+3x-5 相切的直线方程是 。 1 26.设 f ( x ) = x3- x2-2x+5,当 x ? [?1,2] 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 2 的取值范围为 . 3 27.函数 y = f ( x ) = x +ax2+bx+a2,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = , b = 。 3 28.已知函数 f ( x) ? 4x3 ? bx2 ? ax ? 5 在 x ? , x ? ?1 处有极值,那么 a ? ;b ? 2 29.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 30.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值 范围是 31.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 1 是 R 是的单调函数,则实数 m 的取值范围是
王新敞
奎屯 新疆

37.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

3 38.已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

王新敞
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32.设点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x ? 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取 值范围是 。
1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3

2 3

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴公共点的个数。

33 f ?( x ) 是 f ( x) ?



34.曲线 y ? x 3 在点 (a, a 3 )(a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积 为
1 ,则 a ? _________ 。 6
2

39.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间;

42 .设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x ) 的最小值为 ?12 . (Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值.

(III)当 x ???1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

43,已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 ( ?1,1) 上是增函数, 40.设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. 求 t 的取值范围。

44,已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. 41.已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函 1 3 数,又 f ?( ) ? . 2 2 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范 围. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

3

45,设 0 ? x ? a ,求函数 f ( x) ? 3x 4 ? 8x 3 ? 6x 2 ? 24x 的最大值和最小值。

48 ,已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 。 2

(1)若 b ? 2 ,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 (2)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C 2 交于点 P, Q ,过线段 PQ 的中点 作 x 轴的垂线分别交 C1 、C 2 于点 M , N 。证明:C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处 的切线不平行。

46 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的 圆心角 ? 多大时,容器的容积最大?

49. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , 当 x ? ?1 时,f ( x) 的极大值为 7; 当 x ? 3 时,f ( x) 有极小值.求(1) a, b, c 的值; (2)函数 f ( x) 的极小值.

47 直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分 , 求 k 的
2

值.

50 已知 f(x)=x3+ax2+bx+c,在 x=1 与 x=-2 时,都取得极值。 ⑴求 a,b 的值; 1 1 ⑵若 x ? [-3,2]都有 f(x)> ? 恒成立,求 c 的取值范围。 c 2

4

参考解答 一.1~9 二. 25~32

BBDDD

CDDA

10~24AAB 2、 m>7 3、 4 -11 4、?18, ?3 5、(??, 0)
t?0

2 2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )

1、 y=3x-5

6、

3 2 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 )
3 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 . 所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 . a 2 3.解: (1) f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1), f ( x) 极小值为 f (1) ? ? 2 a

?1 , ??) 7、 (??, ?1) ? (2, ??) ? ?3

? 2? 8、 [0, ] ? [ ,? ) 33~34(13) 、 ? 1 (14) 、 2 3

三 36~42 . 1 . 解 : ( Ⅰ ) 由 f ( x) 的 图 象 经 过 P ( 0 , 2 ) , 知 d=2 , 所 以

(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ?3( x ? 1)2 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ②若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?
? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;

f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2, f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由 在 M (?1, f (?1)) 处 的 切 线 方 程 是
6x ? y ? 7 ? 0



a ? 0, 2

2 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , a

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2( . 2)f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3.
解 得
x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2.
3

③若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; 故 所 求 的 解 析 式 是 ④若 a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 6( x ? 1)2 ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;
2 1 3 3 ⑤若 a ? 2 , 由 (1) 知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4( ? ) 2 ? ? 0 , ? f ( x) 的图像与 x 轴 a a 4 4 只有一个交点;

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.



2

x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0;

综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴有三 个交点。 4.解(I) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6

1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内 是 增 函 数 , 在
(1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.

2. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, 解得 a ? 1, b ? 0 . ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0. ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x, f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 . 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ? ?) 上是增函数. 若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1, 1) 上是减函数. 所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值. (Ⅱ)解:曲线方程为 y ? x 3 ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上. 3 设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .
5

? ? 2 ?? (II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ? ? ? ? ? m ??
当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?
2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?

1?

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?

1

?1, ???

f ?( x )
f ( x)

?0

0 极小值

?0

0 极大值

?0

则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 9 ? 8c ? c 2 , 解得 c ? ?1 或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) (9, ? ?) . 2 6.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 , ?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 b ? ? a. ?3a ? 2b ? c ? 0, ? ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? ,? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2 x3 ? 3x2 . ?2? 4 2 2 (Ⅱ)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x3 ? 3x 2 ? x ≤ 0 , 1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 . 2 1 又 f ( x) ≤ x 在区间 ?0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤ 2 7.(Ⅰ)∵ f ( x) 为奇函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) 即 ?ax3 ? bx ? c ? ?ax3 ? bx ? c ∴c ? 0 ∵ f '( x) ? 3ax2 ? b 的最小值为 ?12 ∴ b ? ?12 1 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 6 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x) ? 2x3 ?12x .
f '( x) ? 6x2 ?12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,列表如下:
(? 2, 2) ( 2, ??) 2 ? 2 ? f '( x ) 0 0 ? f ( x) 极大 极小 所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??)

调调递减

单调递增

单调递减

2? ? 故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减, m? ?

在 (1 ?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

(III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0
2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m

又 m ? 0 所以 x 2 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
4 ? ? m又m ? 0 3 4 所以 ? ? m ? 0 3

? 4 ? 即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? ? 3 ?

5.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . ?6 ? 6a ? 3b ? 0, 即? ?24 ? 12a ? 3b ? 0. 解得 a ? ?3 , b ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) . 1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, 当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .
6

x

(??, ? 2) ?

∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 43~48(17) (本小题满分 10 分)

解:由题意知: f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,则

故 f ( x) 在 ( ?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 (2)曲线方程为 y ? x 3 ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。 设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0 由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2 3

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t
∵ f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上是增函数,∴ f ' ( x) ? 0 即 t ? 3x 2 ? 2 x 在区间 ( ?1,1) 上是恒成立,
1 1 设 g ( x) ? 3x 2 ? 2 x ,则 g ( x) ? 3( x ? ) 2 ? ,于是有 3 3

t ? g ( x) max ? g (?1) ? 5
∴当 t ? 5 时, f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上是增函数
1 14 又当 t ? 5 时, f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? 5 ? ?3( x ? ) 2 ? , 3 3

y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 (19) (本小题满分 14 分) 解: f ' ( x) ? 12x 3 ? 24x 2 ? 12x ? 24 ? 12( x ? 1)(x ? 1)(x ? 2) 令 f ' ( x) ? 0 ,得: x1 ? ?1, x2 ? 1, x3 ? 2 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表: ┅┅ (3 分)
3 3 2

2

在 ( ?1,1) 上,有 f ' ( x) ? 0 ,即 t ? 5 时, f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上是增函数 当 t ? 5 时,显然 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上不是增函数 ∴t ? 5 (18) (本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意,

?3a ? 2b ? 3 ? 0, f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 ,即 ? 解得 a ? 1, b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
∴ f ' ( x) ? x 3 ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1

x
f ' ( x)

(0,1)

1
0

(1,2)

2
0

(2,??)

?



?

f ( x)

若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数;
1) ,则 f ' ( x) ? 0 若 x ? (?1,
7

单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

∴极大值为 f (1) ? 13,极小值为 f (2) ? 8 又 f (0) ? 0 ,故最小值为 0。 最大值与 a 有关:

(1)当 a ? (0,1) 时, f ( x) 在 (0, a ) 上单调递增,故最大值为:

由 R? ? 2?r 得 ? ?

f (a) ? 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 ? 24a
(2)由 f ( x) ? 13 ,即: 3x 4 ? 8x 3 ? 6 x 2 ? 24x ? 13 ? 0 ,得: 即圆心角 ? ?

2 6 ? 3

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3 2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

( x ? 1) 2 (3x 2 ? 2x ? 13) ? 0 ,∴ x ? 1 或 x ?
1 ? 2 10 3

1 ? 2 10 3

答:扇形圆心角 ? ?

又 x ? 0 ,∴ x ? 1 或 x ?

(21) (本小题满分 12 分)

∴当 a ? [1 ,

1 ? 2 10 ] 时,函数 f ( x) 的最大值为: f (1) ? 13 3 1 ? 2 10 ,??) 时,函数 f ( x) 的最大值为: 3

? y ? kx 解:解方程组 ? 得:直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 2 的交点的横坐标为 2 ?y ? x ? x
x ? 0和 x ? 1? k

(3)当 a ? (





线

y ? x ? x2



x





















f (a) ? 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 ? 24a
(20) (本小题满分 12 分) 解:设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,则 由 h 2 ? r 2 ? R 2 ,所以
1 1 1 1 V ? ?r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 ) h ? ?R 2 h ? ?h 3 , (0 ? h ? R ) 3 3 3 3

1 1 1 1 S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) |1 0? 0 2 3 6 1 ? k 1? k S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ? kxdx 由题设得 0 0 2

??

1? k

0

(1 ? k ) 3 ( x ? x ? kx)dx ? 6
2

又S ?

1 1 ,所以 (1 ? k ) 3 ? , 6 2

从而得: k ? 1 ? (22)

3

4 2
b?2

1 3 R ∴ V ' ? ?R 2 ? ?h 2 ,令 V ' ? 0 得 h ? 3 3

解 :( 1 )

时 , 函 数

1 h( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x 2

, 且

易知: h ?

3 R 是函数 V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 3

1 ax2 ? 2 x ? 1 h' ( x) ? ? ax ? 2 ? ? x x

∵函数 h( x) 存在单调递减区间,∴ h' ( x) ? 0 有解。 又∵ x ? 0 ,∴ ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解。 ① 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1 为开口向上的抛物线, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总有
8

∴当 h ?

3 R 时,容积最大。 3

把h ?

3 6 R 代入 h 2 ? r 2 ? R 2 ,得 r ? R 3 3

x ? 0 的解;

令 h(t ) ? ln t ?

2(t ? 1) , t ? 1 ,则 1? t

② 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1 为开口向下的抛物线,而 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有
x ? 0 的解,则

1 4 (t ? 1) 2 h' (t ) ? ? ? t (1 ? t ) 2 t (t ? 1) 2
当 t ? 1 时, h' (t ) ? 0 ,所以 h(t ) 在 [1,??) 上单调递增。 故 h(t ) ? h(1) ? 0 ,从而 ln t ?
2(t ? 1) 这与①矛盾,假设不成立, 1? t

? ? 4a ? 4 ? 0 ,且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,此时,

?1 ? a ? 0

(2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,且 0 ? x1 ? x2 ,则 点 M , N 的横坐标为 x ?
x1 ? x 2 , 2

∴ C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平行。

┅┅┅┅

(14 分)

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 ; | x1 ? x2 ? x ? x x1 ? x2 2

49、解: (1)由已知得 f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b

? f / (?1) ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 ?a ? ?3 ? / ? ? ? f (3) ? 0 ? ?27 ? 6a ? b ? 0 ? ?b ? ?9 ? f (?1) ? 7 ??1 ? a ? b ? c ? 7 ?c ? 2 ? ? ?

a( x1 ? x2 ) C 2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? (ax ? b) | x1 ? x2 ? ? b 。 ┅ (9 分) x? 2 2
假设 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 ,即
a( x1 ? x 2 ) 2 ? ?b 2 x1 ? x2

(2)由(1) , f / ( x) ? 3( x ? 1)( x ? 3) 当 ?1 ? x ? 3 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? 3 时, f / ( x) ? 0 故 x ? 3 时, f ( x) 取得极小值,极小值为 f (3) ? ?25 50、解:a=
3 7 1 1 3 ? 13 3 ? 13 ,b=-6. 由 f(x)min=- +c> - 得 ? c ? 0 或c ? c 2 2 2 2 2



2( x2 ? x1 ) a 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x2 2
a 2 a 2 ? ( x 2 ? bx 2 ) ? ( x1 ? bx1 ) ? y 2 ? y1 ? ln x 2 ? ln x1 2 2

x2 ? 1) x1 x2 所以 ln ? x x1 1? 2 x1 2(

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(11 分)

设t ?

x2 2(t ? 1) ,t ? 1 , ,则 ln t ? 1? t x1



9


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