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高中物理竞赛教程:1.1《库伦定律和电场强度》


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§1、1
1.1.1、电荷守恒定律

库仑定律和电场强度

大量实验证明:电荷既不能创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物 体, 或者从物体的一部分转移到另一部分, 正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。 我们熟知的摩擦

起电就是电荷在不同物体间的转移,静电感应现象是电荷在同一物体 上、不同部位间的转移。此外,液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定 律。

1.1.2、库仑定律
真空中, 两个静止的点电荷 q1 和 q2 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正 比,和它们之间距离 r 的平方成正比;作用力的方向沿它们的连线,同号相斥,异号相吸

F ?k

q1 q 2 r2

式 中 k 是 比 例 常 数 , 依 赖 于 各 量 所 用 的 单 位 , 在 国 际 单 位 制 ( SI ) 中 的 数 值 为 :
k? 1 4?? 0 的 形 式 , ? 0 是 真 空 介 电 常 数 ,

k ? 9 ?10 N ? m / C ( 常 将 k 写 成
9 2 2

? 0 ? 8.85?10?12 C 2 / N ? m2 )
库仑定律成立的条件,归纳起来有三条:(1)电荷是点电荷;(2)两点电荷是静止或 相对静止的;(3)只适用真空。 条件(1)很容易理解,但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元(可视 作点电荷)的集合,再利用叠加原理,求得非点电荷情况下,库仑力的大小。由于库仑定律 给出的是一种静电场分布,因此在应用库仑定律时,可以把条件(2)放宽到静止源电荷对 运动电荷的作用,但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用,因为有推迟效应。关于条件 (3),其实库仑定律不仅适用于真空,也适用于导体和介质。当空间有了导体或介质时,

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无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷,此时必须考虑它们对源电场的影响,但它 们也遵循库仑定律。

1.1.3、电场强度
电场强度是从力的角度描述电场的物理量,其定义式为
E? F q

式中 q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是 q 受到的电场力。 借助于库仑定律,可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为
Qq 2 F Q E? ?k r ?k 2 q q r

式中 r 为该点到场源电荷的距离,Q 为场源电荷的电量。

1.1.4、场强的叠加原理
在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强, 等于每个场源电荷单独存在时在该点 所激发的场强的矢量和。 原则上讲,有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例 1、如图 1-1-1(a)所示,在半径为 R、体电荷密度为 ? 的均匀带电球体内部挖去半 径为 R? 的一个小球,小球球心 O? 与大球球心 O 相距为 a,试求 O? 的电场强度,并证明空腔 内电场均匀。 分析: 把挖去空腔的带电球看作由带电大球 ?R, ? ? 与带异号电的小球

?R?,? ? ? 构成。由公式求出它们各自在 O? 的电场强度,再叠加即得 E0? 。这
是利用不具有对称性的带电体的特点, 把它凑成由若干具有对称性的带电

O
R

O? R?

图 1-1-1(a)
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体组成,使问题得以简化。 在小球内任取一点 P,用同样的方法求出 E P ,比较 E P 和 E0? ,即可证明空腔内电场是均 匀的。采用矢量表述,可使证明简单明确。 解: 由公式可得均匀带电大球(无空腔)在 O? 点的电场强 度 E大球 ,
O

a

O?

B
r
P

E

大球 , o ?

kQa 4 ? ? ?k?a R 3 ,方向为 O 指向 O? 。
3

图 1-1-1(b) (b)

同理, 均匀带异号电荷的小球 ?R?,? ? ? 在球心 O? 点的电场强 度E
大 球, o ?

?0 Eo? ? E ?E
4 o? ? ?k?a 3 ,

所以

大球, o ?

小球

? ? 如图 1-1-1(b)所示,在小球内任取一点 P,设从 O 点到 O? 点的矢量为 a , O?P 为 b ,

OP 为 r 。则 P 点的电场强度 E P 为

?

? ? ? EP ? E大球 , p ? E小球p
?? 4 ? ? 4 ? ?k?r ? ? ? ?k?b ? 3 ? 3 ?
4 4 ? ? ? ? ?k? (r ? b ) ? ?k?a 3 3 ? ? 可见: EP ? E0

因 P 点任取,故球形空腔内的电场是均匀的。

1.1.5、

电通量、高斯定理、

(1)磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数,其大小为 ? ? BS sin ? ,其中 ? 为 截面与磁感线的夹角。与此相似,电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为

? ? ES sin?

? 为截面与电场线的夹角。
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高斯定量:在任意场源所激发的电场中,对任一闭合曲面的总通量可以表示为

? ? 4?k ? qi

k?

1 4?? 0 )



? 0 ? 8.85 ? 10?12 C 2 / Nm 为真空介电常数

式中 k 是静电常量,? qi 为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。 由于高中缺少高等 数学知识,因此选取的高斯面即闭合曲面,往往和电场线垂直或平行,这样便于电通量的计 算。尽管高中教学对高斯定律不作要求,但笔者认为简单了解高斯定律的内容,并利用高斯 定律推导几种特殊电场,这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 (2)利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场 一无限长直线均匀带电,电荷线密度为 ? ,如图 1-1-2(a)所示。考察点 P 到直线的距离为 r。由于 带电直线无限长且均匀带电, 因此直线周围的电场在 竖直方向分量为零,即径向分布,且关于直线对称。 取以长直线为主轴,半径为 r,长为 l 的圆柱面为高 斯面,如图 1-1-2(b),上下表面与电场平行,侧面 与电场垂直,因此电通量

? ? ? ? ? ?

r

P

l

? ? ? ? ? ?

r

P

图 1-1-2 a) (

图 1-1-2 b) (

? ? E ? 2?r ? l ? 4?k ?qi ? 4?kl ??
E? 2 k? r

②无限大均匀带电平面的电场 根据无限大均匀带电平面的对称性,可以判定整个带 电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平面垂直并指向 两侧,在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一柱

E

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形高斯面,使其侧面与带电平面垂直,两底分别与带电平面平行,并位于离带电平面等距离 的两侧如图 1-1-3 由高斯定律:

? ? 2E ? S ? 4?k ? qi
? 4?k ? ?S
E ? 2?k?

? ?

Q S

式中 ? 为电荷的面密度,由公式可知,无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。 平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成, 其间场强为 E ? , 则由场强叠加原 理可知
E ? ? 4?k?

③均匀带电球壳的场强 有一半径为 R,电量为 Q 的均匀带电球壳,如图 1-1-4。由于电荷分布的 对称性,故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性,因此可在球壳内 外取同心球面为高斯面。对高斯面 1 而言:
2 1

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 0, E ? 0 ;
对高斯面 2:

图 1-1-4

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ , E ?
? o ? E ? ? kQ ? r2 ?
r?R r?R

kQ r 。

④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上,如图 1-1-4, 对高斯面 1,

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r3 kQr ? ? E ? 4?r ? 4?k ? qi ? 4?k 3 Q, E ? 3 R R ;
2

对高斯面 2,

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ , E ?

kQ r2 。

? kQr ? E?? R kQ ? ? r
3 2

r?R r?R

⑤电偶极子产生的电场 真空中一对相距为 l 的带等量异号电荷的点电荷系统 ?? q,?q ? , l 远小于讨论中所涉及 且 的距离,这样的电荷体系称为电偶极子,并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线,将 电量 q 与两点电荷间距 l 的乘积定义为电偶极矩。 a.设两电荷连线中垂面上有一点 P,该点到两电荷连线的距离为 r,则 P 点的场强如图 1-1-5 所示,其中
E? ? E? ? k q r2 ? l2 4
E

E?

?

E ? 2 E? cos? ? 2k

q r2 ? l2 4

?

l 2 r2 ? l2 4
?q

E?

r
?
l/2 l/2 q

?k

ql ql ?k 3 2 3 r l (r 2 ? ) 2 4

图 1-1-5

b.若 P? 为两电荷延长线上的一点, P? 到两电荷连线中点的距离为 r,如图 1-1-6 所示, 则

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E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

, E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

,

? ? ? ? 1 1 ? E ? E? ? E? ? kq? ? 2 2 ?? l? ? l? ? ?? r ? ? ? r ? ? ? 2? ? 2? ? ??
q ?k 2 r
?k
?2 ?2 ?? l ? l ? ? ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2r ? ? ?? 2r ? ? ?

?q

?q

P?

E?
E?

l/2

l/2

r

图 1-1-6

q? l l? 1 ? ?1 ? ? 2 ? r ? r r?
2ql r3

?k

c.若 T 为空间任意一点,它到两电荷连线的中点的距离为 r,如图 1-1-7 所示,则 ql? 在 T 点产生的场强分量为
ql 2ql sin ? E? ? k 3? ? k r r3 ,
ET E?

?
T

E//

由 ql// 在 T 点产生的场强分量为
E// ? k 2ql // 2ql cos ? ?k 3 r r3
?q

?q


ql 2 2 ET ? E? ? E// ? k 3 3 cos 2 ? ? 1, r

图 1-1-7
E? sin ? 1 ? ? tan? E// 2 cos? 2

tan? ?

例 2、如图所示,在-d≤x≤d 的空间区域内(y,z 方向无限延伸)均匀分布着密度为ρ 的正电荷,此外均为真空 (1)试求 x ≤d 处的场强分布; (2)若将一质量为 m,电量为 ? ? 的带点质点,从 x=d 处由静止释放,试问该带电质 点经过过多长时间第一次到达 x=0 处。
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解: 根据给定区域电荷分布均匀且对称,在 y、 z 方向无限伸展的特点,我们想象存在这样一个圆柱 体,底面积为 S,高为 2x,左、右底面在 x 轴上的坐标 分别是-x 和 x,如图 1-1-8 所示。可以判断圆柱体左、 右底面处的场强必定相等, 且方向分别是逆 x 轴方向和 顺 x 轴方向。 再根据高斯定理, 便可求出坐标为 x 处的 电场强度。 (1)根据高斯定律 E ? 2S ? 4?k ? ? ? S ? 2 x 。坐标为 x 处的场强:
E ? 4?k?x ( x ≤d),x>0 时,场强与 x 轴同向,x<0 时,场强与 x 轴反向。
P

E

O ?d 2x

S

d

x

图 1-1-8

(2)若将一质量为 m、电量为 ? q 的带电质点置于此电场中,质点所受的电场力为:
F ? ?qE ? ?4?k?qx ( x ≤d)

显然质点所受的电场力总是与位移 x 成正比, 且与位移方向相反, 符合准弹性力的特点。 质点在电场力的运动是简谐振动,振动的周期为

T ? 2?

m ?m ? 4?k?q k?q

当质点从 x=d 处静止释放,第一次达到 x=0 处所用的时间为

t?

T T ?m ? 4 4 k?q

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