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抛物线


抛物线
考点 1:抛物线的定义 基本知识:
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做 抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离}

例1
若动点 P 到点 F(1,0)的距离比它到直线 l:x+2=0 的距离小 1. 求动点 P 的轨迹 C

的方程;

例2
过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线 l,交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 y1+y2=6, 则|AB|等于 ( ) .

例3
直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的长是 8, AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线的方程是( ) 2 2 2 A. y =12x B. y =8x C. y =6x D. y2=4x

例4
已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过点 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴 上方相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,求△AKF 的面积.

例5
过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作抛物线的弦 AB, 若 AB 中点 Q 的横坐标为 3, 求弦 AB 的长.

例6
已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2). (1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标; 1 1 (2)求点 P 到点 B(- ,1)的距离与点 P 到直线 x=- 的距离之和的最小值. 2 2

考点 2:抛物线的性质
y 2 ? 2 px ( p ? 0)
抛 物 线
l y

y ? ?2 px ( p ? 0)
2

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y l

y F

l F O x l F O x O

O

x

F

x

范围 对称性

x ? 0, y ? R
关于 x 轴对称

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0
关于 y 轴对称

x ? R, y ? 0

焦点

p ( 2 ,0)
焦点在对称轴上

?
(

p 2 ,0)

p (0, 2 )

?
(0,

p 2 )

顶点 离心率 准线 方程

O(0, 0)

e =1
x?? p 2
x? p 2

y??

p 2

y?

p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

焦 点弦 长

AB

( x1 ? x2 ) ? p

?( x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

例 1:
抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( )

例2
抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( )

例3
抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( )

例4
设抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 y 轴上,且抛物线上的点 P(k,-2)到点 F 的距离为 4,则 k 的值为________.

例5
对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( A. (-∞,0) B. (-∞,2] C. [0,2] D. (0,2) )

考点 3:求解抛物线的方程 基本方法:
1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线 的距离 p 的值. 2.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,许多圆锥曲线问题均可根据定义而获得简捷、 直观的求解.“由数想形,由形悟数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.

例1
已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点 F 的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程.

例2
直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的长是 8, AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线的方程是( )

考点 4:直线与抛物线 基础知识:
1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 ,

,消 y 得: (1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线不一定相切吗

基本方法:
1.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一 般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离、斜率等问题时,要注意利用韦达定 理, “设而不求” “整体代入” “点差法”以及定义的灵活应用,以避免求交点坐标的复 杂运算. 2.有关直线与抛物线的弦长问题, 要注意直线是否过抛物线的焦点, 若过抛物线的焦点, 可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. 抛物线的定义实现了点到点的距离与点到线的距离的转化,解题时注意灵活应 用.即“遇焦点想准线,遇到准线想焦点” ,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途 径. 3.直线与抛物线交于 A,B 两点,题目中需要写出直线 AB 的方程时,不要忘记考虑直线 斜率不存在时是否符合题意.

例 1【弦长公式】
设过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过抛物 线的焦点 F.求: (1)直线 l 的方程; (2)|AB|的长.

例 2【改上例,用点差法】
本例中将“以 AB 为直径的圆恰好过抛物线的焦点 F”改为“AB 的中点为(m,3)”,求 l 的方 程.

例3
已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,A、B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为 M(2,2), 则△ABF 的面积等于 ( ) .

例4
设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________.

例5
25 过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=12,|AF|<|BF|, 求|AF|得值。

例6
如图,倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y2=8x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点.

(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (2)若 α 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,求证:|FP|-|FP|cos2α 为定 值,并求此定值.

例7
9 在已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 y=-kx+2对称,求 k 的取值 范围.


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