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2014届高三数学辅导精讲精练58


2014 届高三数学辅导精讲精练 58
1.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 A.1 C.1 或 3 答案 解析 A m-4 ∵kMN= =1,∴m=1. -2-m ( ) B.4 D.1 或 4 ( )

2.直线 l1,l2 关于 x 轴对称,l1 的斜率是- 7,则 l2 的斜率是 A. 7 7 C. 7

答案 解析 A 7 B.- 7 D.- 7

画出图形, 根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系,再判断其斜

率之间的关系.

如图所示,显然直线 l2 的斜率为 7. 1? ? ?1 ? 3.若 ab<0, 则过点 P?0,-b?与 Q?a,0?的直线 PQ 的倾斜角的取值范围是 ? ? ? ?

( π? ? A.?0,2? ? ? π? ? C.?-π,-2? ? ? 答案 B ?π ? B.?2,π? ? ? ? π ? D.?-2,0? ? ?

)

解析

kPQ=

1 -b-0

a 1 =b<0,又倾斜角的取值范围为[0,π),故直线 PQ 的倾 0-a

?π ? 斜角的取值范围为?2,π?. ? ? 1 4.已知直线 l 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=5,则直线 l 的斜率是( 4 A.-3 4 3 C.- 或- 3 4 答案 解析 A ∵α 为倾斜角,∴0≤α<π. 3 B.-4 4 D.± 3 )

1 4 3 ∵sinα+cosα=5,∴sinα=5,cosα=-5. 4 ∴tanα=-3. x y x y 5.两直线m-n=1 与n-m=1 的图像可能是图中的哪一个 ( )

答案

B

6.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是 A.1 C.- 答案 解析 1 2 D 3 当 2m2+m-3≠0 时,得 m≠1 且 m≠-2. B.2 D.2 或- 1 2 ( )

4m-1 在 x 轴上截距为 2 =1, 2m +m-3 即 2m2-3m-2=0.

1 ∴m=2 或 m=-2. 7.若点 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线,则 a-b 的最小 值等于 A.4 C.1 答案 解析 A ∵A、B、C 三点共线, B.2 D.0 ( )

b-0 -1-0 1 1 ∴kAB=kAC,即 = ,∴a-b=1. 0-a 1-a 1 1 b a b a ∴a-b=(a-b)(a-b)=2-a-b=2+[(-a)+(-b)]≥2+2=4.(当 a=-b= 2 时取等号). 8.过点 M(1,-2)的直线与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点,若 M 恰为线段 PQ 的中点,则直线 PQ 的方程为 A.2x+y=0 C.x+2y+3=0 答案 解析 B 设 P(x0,0),Q(0,y0),∵M(1,-2)为线段 PQ 中点, B.2x-y-4=0 D.x-2y-5=0 ( )

x y ∴x0=2,y0=-4,∴直线 PQ 的方程为2+ =1.即 2x-y-4=0. -4 9.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小, 则直线的方程为 A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案 解析 B 方法一 直线过 P(1,4),代入,排除 A、D,又在两坐标轴上的截距 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 ( )

为正,排除 C,故选 B. 方法二 x y 1 4 设方程为a+b=1,将(1,4)代入得a+b=1.

1 4 b 4a a+b=(a+b)(a+b)=5+(a+ b )≥9,

当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小. x y ∴直线方程为3+6=1,即 2x+y-6=0.

10.已知直线 l1,l2 的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy+d=0,其图像如图所 示,则有 A.ac<0 C.bd<0 答案 解析 C x b x d 直线方程化为 l1:y=-a-a,l2:y=-c-c . B.a<c D.b>d ( )

1 1 b d 由图像知,- c<-a<0,-a>0>- c,a>c>0,b<0,d>0. 11.直线 l 过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率为 k,则 kcosα 的取值 范围为________. 答案 解析 (0,1) π 由题意可得 α∈(2,π),

∴k· cosα=tanα· cosα=sinα∈(0,1). 12.直线 x+a2y-a=0(a>0),当此直线在 x,y 轴上的截距和最小时,a 的 值为________. 答案 解析 1 x y 1 方程可化为 + =1,因为 a>0,所以截距之和 t=a+ ≥2,当且仅 a 1 a a

1 当 a=a,即 a=1 时取等号,故 a 的值为 1. 13.已知点 M 是直线 l: 3x-y+3=0 与 x 轴的交点,将直线 l 绕点 M 旋 转 30° ,求所得到的直线 l′的方程. 答案 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0

解析

在 3x-y+3=0 中, 令 y=0,得 x=- 3, 即 M(- 3,0). ∵直线 l 的斜率 k= 3, ∴其倾斜角 θ=60° . 若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30° 则直线 l′的倾斜角为 60° , +30° =90° , 此时斜率不存在,故其方程为 x=- 3. 若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30° 则直线 l′的倾斜角为 60° , -30° =30° , 3 此时斜率为 tan30° 3 . = 3 故其方程为 y= 3 (x+ 3),即 x- 3y+ 3=0. 综上所述,所求直线方程为 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0. 14.在△ABC 中,已知 A(1,1),AC 边上的高线所在直线方程为 x-2y=0, AB 边上的高线所在直线方程为 3x+2y-3=0.求 BC 边所在直线方程. 答案 解析 2x+5y+9=0 2 kAC=-2,kAB=3.

∴AC:y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0, 2 AB:y-1= (x-1),即 2x-3y+1=0. 3 ?2x+y-3=0, 由? 得 C(3,-3). ?3x+2y-3=0, ?2x-3y+1=0, 由? 得 B(-2,-1). ?x-2y=0, ∴BC:2x+5y+9=0. 15.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y=2m-6.

根据下列条件分别确定实数 m 的值. (1)在 x 轴上的截距是-3; (2)斜率是-1. 解析
2

(1)令 y=0,依题意得 ① ②

?m -2m-3≠0, ? 22m-6 =-3. ?m -2m-3

由①式,得 m≠3 且 m≠-1. 5 由②式,得 3m2-4m-15=0.解得 m=3 或 m=-3. 5 ∵m≠3,∴m=-3.

? (2)由题意,得?m2-2m-3 ?2m2+m-1=-1.
1 由③式,得 m≠-1 且 m≠2.

2m2+m-1≠0,

③ ④

4 由④式,得 3m2-m-4=0.解得 m=-1 或 m=3. 4 ∵m≠-1,∴m=3. 16.如图,过点 P(1,2)作直线 l,与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点, 求△AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程.

解析

设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),

k-2 令 y=0,得 x= k ,令 x=0,得 y=2-k. k-2 ∴A、B 两点坐标分别为 A( k ,0),B(0,2-k). ∵A、B 是 l 与 x 轴、y 轴正半轴的交点,

?k<0, ?k-2 ∴? k >0, ?2-k>0. ?

∴k<0.

1 1 k-2 1 4 S△AOB=2· |OB|=2· k · |OA|· (2-k)=2(4-k-k). 4 由- k>0,-k>0,得 1 S△AOB≥2(4+2 4 ?-k ??-k?)=4.

∴S△AOB 最小值为 4,方程为 2x+y-4=0.

t t 1.(2013· 衡水调研卷)设 s,t 为正整数,直线 l1:2sx+y-t=0 和 l2:2sx-y =0 的交点是(x1,y1),对于正整数 n(n>1),过点(0,t)和(xn-1,0)的直线 l 与直线 l2 的交点记为(xn,yn),则数列{xn}的通项公式为 xn= A. C. 2s n+1 B. s n+1 4s n+1 ( )

3s n+1 A

D.

答案 解析

t t 1 直线 l1:2sx+y-t=0 和 l2:2sx-y=0 的交点是(s,2t),过点(0,t) t xn-1 x + t , 与 l2 的 方 程 联 立 , 得

和 (xn - 1,0) 的 直 线 l 的 方 程 为 y = - t ?2sx-y=0, ? ? t ?y=-xn 1x+t, ?


1 1 1 1 1 1 1 1 1 可得 x=2s+ ,即x =2s+ ,所以x - =2s. xn-1 xn-1 xn-1 n n

1 1 1 因此数列{x }是首项为 s ,公差为2s的等差数列,
n

1 1 1 n+1 2s 则x = s +(n-1)2s= 2s ,故 xn= . n+1 n 2.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段

|PA|2+|PB|2 CD 的中点,则 |PC|2 = A.2 C.5 答案 解析 D B.4 D.10

(

)

如图, C 为原点, 以 CB, 所在直线为 x 轴, 轴, AC y 建立平面直角坐标系. 设 b a b a b2 9a2 A(0,a),B(b,0),则 D(2,2),P(4,4),由两点间的距离公式可得|PA|2=16+ 16 , 10 2 ?a +b2? |PA| +|PB| 16 9b a b a 2 2 |PB| = 16 +16,|PC| =16+16.所以 |PC|2 = 2 =10. a +b2 16
2 2 2 2 2 2

3.若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是 A.(-∞,-1) C.(1,+∞) 答案 解析 C y=kx-1 恒过 C(0,-1)点. B.(-∞,-1] D.[1,+∞) ( )

x+y-1=0,令 x=0,y=0,得 A(0,1),B(1,0). 只需 l 与线段 AB 有交点即可(不含 A、B), 而 kCA 不存在,k2=kCB=1,∴k∈(1,+∞).


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