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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)


湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)
姓名: 班级 : 分数 :

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个答案中, 只有一项是符合题目要求的.)
1.定义集合运算: A ? B ? ?z | z ? xy, x ? A, y ? B?.设 A ? ?2,0? , B ? ?0,8?

,则集合 A ? B 的所有 元素之和为( A.16 ) B.18 C. 20 D.22

2.已知 ?an ? 是等比数列,a 2 ? 2, a 5 ? A. ?12,16? B. ?8,16?

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? ? ? an an?1 n ? N ? 的取值范围是( 4
C. ?8, ? ? 3?

?

?



? 32 ?

D. ? , ? ?3 3 ? )

?16 32 ?

3.5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作, 则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 ( A.

3 5

B.

1 15

C.

5 8

D.

4.已知 a 、 b 为非零的不共线的向量,设条件 M : b ? a ? b ;条件 N : 对一切 x ? R ,不等式

? ?

50 81

a ? xb ? a ? b 恒成立.则 M 是 N 的(
A.必要而不充分条件 C.充分而且必要条件

) B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

5.设函数 f ( x) 定义在 R 上,给出下述三个命题: ① 满 足 条 件 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 4 的 函 数 图 象 关 于 点 ?2,2? 对 称 ; ② 满 足 条 件

f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 的函数图象关于直线 x ? 2 对称;③函数 f ( x ? 2) 与 f (? x ? 2) 在同一坐标系
中,其图象关于直线 x ? 2 对称.其中,真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分别等于 2 7 和 4 3 ,

M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ③ MN 的最大值为 5 ④ MN 的最小值为 1
其中真命题为( A.①③④ ) B.①②③
0

C.①②④
0

D.②③④
0 0

7.设 a ? sin(sin 2008 ) , b ? sin(cos2008 ) , c ? cos(sin2008 ) , d ? cos(cos2008 ) ,则 a, b, c, d

的大小关系是( ) A. a ? b ? c ? d C. c ? d ? b ? a

B. b ? a ? d ? c D. d ? c ? a ? b )

8. 设函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 14 ,且 f (a) ? 1, f (b) ? 19 ,则 a ? b ? ( A.2 B.1 C.0 D. ? 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 8 分,共 48 分. 请将正确的答案填在横线上.)
9.在平面直角坐标系中,定义点 P?x1 , y1 ? 、 Q?x2 , y 2 ? 之间的“直角距离”为

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若 C ?x, y ? 到点 A?1,3? 、 B?6,9? 的“直角距离”相等,其中实
数 x 、 y 满足 0 ? x ? 10 、 0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为 10.已知集合 ? ? ?x, y ? | x 2 ? y 2 ? 2008 ,若点 P( x, y) 、点 P?( x?, y ?) 满足 x ? x ? 且 .

?

?

y ? y ? ,则称点 P 优于 P ? . 如果集合 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q ,则
所有这样的点 Q 构成的集合为 11.多项式 1 ? x ? x 2 ? ? ? ? ? x100 .

?

? 的展开式在合并同类项后, x
3

150

的系数为

.(用数字作

答) 12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 . 8 13. 将一个 4 ? 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有
棱柱的体积为 不同的染法.(用数字作答) 14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点 Pk ?xk , y k ? 处,其中 x1 ? 1, y1 ? 1,当 k ? 2 时,

? ? k ? 1? ? k ? 2 ? x k ? xk ?1 ? 1 ? 5? ?5 ; ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? y k ? y k ?1 ? ? k ? 1? ? ? k ? 2 ?. ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 ? ? ?
其中, ?a ? 表示实数 a 的整数部分,例如 ?2.6? ? 2 , ?0.6? ? 0. 按此方案,第 2008 棵树种植点的坐标 为 .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 62 分. 要求有必要的解答过程.)

15. (本小题满分 14 分)设实数 a, b ? ?? , ? ? ,求证:

b a ? ? ? ? ? a b ? ?

其中等号当且仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立, ? , ? 为正实数.

16. (本小题满分 14 分) 甲、 乙两人进行乒乓球单打比赛, 采用五局三胜制 (即先胜三局者获冠军) . 对 于每局比赛, 甲获胜的概率为

2 1 , 乙获胜的概率为 . 如果将 “乙获得冠军” 的事件称为 “爆出冷门” . 试 3 3

求此项赛事爆出冷门的概率.

17. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ln?1 ? x ? ? x 在区间 ?0, n? n ? N ? 上的最小值为 bn ,令

?

?

an ? ln?1 ? n? ? bn , pk ?

a1a3 ? ? ? a2k ?1 k ? N? , a2 a4 ? ? ? a2 k

?

?

求证: p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ?

2an ? 1 ? 1.

18. (本小题满分 18 分) 过直线 l : 5x ? 7 y ? 70 ? 0 上的点 P 作椭圆 切点分别为 M 、 N ,联结 MN . (1)当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q ; (2)当 MN ∥ l 时,定点 Q 平分线段 MN .

x2 y2 ? ? 1 的切线 PM 、PN , 25 9

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)详细解答
1.解:集合 A ? B 的元素: z1 ? 2 ? 0 ? 0 , z 2 ? 2 ? 8 ? 16 , z3 ? 0 ? 0 ? 0 , z 4 ? 0 ? 8 ? 0 ,故集 合 A ? B 的所有元素之和为 16. 选 A.

1 a 1 1 3 2. 解: 设 ?an ? 的公比为 q ,则 q ? 5 ? 4 ? ,进而 q ? . 2 a2 2 8
所以,数列 ?an an?1 ?是以 a1a 2 ? 8 为首项,以 q ?
2

1 为公比的等比数列. 4

a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? ? ? a n a n ?1

1 ? ? 8?1 ? n ? 4 ? 32 ? ? ? 1 ? 4 ?n . 1 3 1? 4

?

?

显然, 8 ? a1 a 2 ? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? ? ? a n a n ?1 ?

32 . 选 C. 3
5

3. 解: 5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆的方法数为 3 ? 243种. 每个场馆至少有一名志愿者的
1 3 2 情形可分两类考虑: 第1类 , 一个场馆去 3 人, 剩下两场馆各去 1 人, 此类的方法数为 C3 ? C5 ? A2 ? 60 1 1 2 种;第 2 类,一场馆去 1 人,剩下两场馆各 2 人,此类的方法数为 C3 ? C5 ? C4 ? 90 种. 故每个场馆

至少有一名志愿者的概率为 P ?

60 ? 90 50 ? .选 D. 243 81

4. 解:设 OA ? a , OB ? b ,则 xb 表示与 OB 共线的任一向量, a ? xb 表示点 A 到直线 OB 上 任一点 C 的距离 AC ,而 a ? b 表示点 A 到 B 的距离. 当 b ? a ? b 时, AB ? OB . 由点与直线之间 垂直距离最短知,AC ? AB , 即对一切 x ? R , 不等式 a ? xb ? a ? b 恒成立. 反之, 如果 AC ? AB 恒成立,则 ? AC?min ? AB ,故 AB 必为点 A 到 OB 的垂直距离, OB ? AC ,即 b ? a ? b . 选 C. 5 . 解 : 用 x ? 2 代 替 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 4 中 的 x , 得 f ( x) ? f (4 ? x) ? 4 . 如 果 点 ? x, y ? 在

? ?

? ?

y ? f ( x) 的 图 象 上 , 则 4 ? y ? f (4 ? x) , 即 点 ? x, y ? 关 于 点 ?2,2? 的 对 称 点 ?4 ? x,4 ? y ? 也 在 y ? f ( x) 的 图 象 上 . 反 之 亦 然 , 故 ① 是 真 命 题 . 用 x ? 2 代 替 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 中 的 x , 得 f ( x) ? f (4 ? x) .如果点 ? x, y ? 在 y ? f ( x) 的图象上,则 y ? f (4 ? x) ,即点 ? x, y ? 关于点 x ? 2 的
对称点 ?4 ? x, y ?也在 y ? f ( x) 的图象上, 故②是真命题.由②是真命题, 不难推知③也是真命题.故三

个命题都是真命题.选 D. 6. 解:假设 AB 、 CD 相交于点 N ,则 AB 、 CD 共面,所以 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,而过圆的 弦 CD 的中点 N 的弦 AB 的长度显然有 AB ? CD ,所以②是错的.容易证明,当以 AB 为直径的圆 面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时, MN 最大为5,故③对.当以 AB 为直径的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时, MN 最小为 1,故④对.显然是对的.①显然是对的.故选A. 7. 解:因为 2008 ? 5 ? 360 ? 180 ? 28 ,所以,
0 0 0 0

a ? sin(? sin 280 ) ? ? sin(sin 280 ) ? 0 ; b ? sin(? cos280 ) ? ? sin(cos280 ) ? 0 ; c ? cos(? sin 280 ) ? cos(sin280 ) ? 0 ; d ? cos(? cos280 ) ? cos(cos280 ) ? 0 .
0 0 又 sin 28 ? cos28 ,故 b ? a ? d ? c. 故选 B.

8. 解:由 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 14 ? ?x ? 1? ? 3?x ? 1? ? 10,令 g ( y) ? y 3 ? 3 y ,则 g ( y ) 为奇函
3

数且单调递增. 而 f (a) ? ?a ? 1? ? 3?a ? 1? ? 10 ? 1 , f (b) ? ?b ? 1? ? 3?b ? 1? ? 10 ? 19,
3 3

所以 g (a ? 1) ? ?9 , g (b ? 1) ? 9 , g (?b ? 1) ? ?9 ,从而 g (a ? 1) ? g (?b ? 1) , 即 a ? 1 ? ?b ? 1 ,故 a ? b ? ?2 .选 D. 9. 解:由条件得 x ? 1 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9 当 y ? 9 时,①化为 x ? 1 ? 6 ? x ? 6 ,无解; 当 y ? 3 时,①化为 x ? 1 ? 6 ? x ? 6 ,无解; 当 3 ? y ? 9 时,①化为 2 y ? 12 ? x ? 6 ? x ? 1 ② ①

若 x ? 1, 则 y ? 8.5 , 线段长度为1; 若1 ? x ? 6 , 则 x ? y ? 9.5 , 线段长度为 5 2 ; 若 x ? 6, 则 y ? 3.5 , 线 段 长 度 为 4 . 综 上 可 知 , 点 C 的 轨 迹 的 构 成 的 线 段 长 度 之 和 为

1 ? 5 2 ? 4 ? 5 2 ? 1 .填 5 2 ? 1 .
10. 解: P 优于 P ? ,即 P 位于 P ? 的左上方, “不存在 ? 中的其它点优于 Q ” ,即“点 Q 的左上方不存 在 ? 中的点”.故满足条件的点的集合为

?

?

?

?

??x, y? | x

2

? y 2 ? 2008 , x ? 0且y ? 0 .填 ?x, y ? | x 2 ? y 2 ? 2008 , x ? 0且y ? 0 .
s ? t ? r ? 150


? ?

?

11.解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程

2 的不超过去 100 的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为 C152 .

下面求方程①的超过 100 自然数解的组数.因其和为 150,故只能有一个数超过 100,不妨设 s ? 100 .将方程①化为

(s ? 101 ) ? t ? r ? 49
2 记 s ? ? s ? 101 ,则方程 s ? ? t ? r ? 49 的自然数解的组数为 C51 .

因此, x

150

2 1 2 的系数为 C152 ? C3 C51 ? 7651.填 7651.

12.解:因为底面周长为 3,所以底面边长为

1 3 3 ,底面面积为 S ? . 2 8

又因为体积为 填

9 2 ,所以高为 3 .该球的直径为 1 ? 8

? 3?

2

4 4 ? 2 ,球的体积 V ? ?R 3 ? ? . 3 3

4 ?. 3

2 13.解:第一行染 2 个黑格有 C 4 种染法.第一行染好后,有如下三种情况:

(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
2 (2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有 C 4 种染法,第四行的染法随之

确定; (3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有 4 种,而在第一、第二这两 行染好后,第三行染的黑格必然有 1 个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有 2 种,第四行的 染法随之确定. 因此,共有染法为 6 ? ?1 ? 6 ? 4 ? 2? ? 90 种.填 90. 14.解:令 f (k ) ? ? ,则 ? ? 5 ? ? ? ? 5 ? ?

? k ? 1? ? k ? 2 ?

? k ? 5 ? 1? ? k ? 5 ? 2 ? ? k ? 1 ? ? k ? 2 ? ? k ? 1 ? ? k ? 2 ? f (k ? 5) ? ? ? ? 1? ? 1? ? ? ? f (k ) ? 5 5 ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 ? ?
故 f ( k ) 是周期为 5 的函数. 计算可知: f (2) ? 0 ; f (3) ? 0 ; f (4) ? 0 ; f (5) ? 0 ; f (6) ? 1 . 所以,

x2008 ? x2007 ? 1 ? 5 f (2008 ) ; x2007 ? x2006 ? 1 ? 5 f (2007 ) ;?; x2 ? x1 ? 1 ? 5 f (2) .
以上各式叠加,得 x2008 ? x1 ? 2007? 5? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (2008 )?

? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (6)? ? f (2) ? f (3)? ? x1 ? 2007? 5?401

? x1 ? 2007? 5 ? 401? 3 ;
同理可得 y2008 ? 402. 所以,第 2008 棵树的种植点为 ?3,402? .填 ?3,402? .

15.证明:由对称性,不妨设 a ? b ,令

a ? t ,则因 ? ? a ? b ? ? ,可得 b

? a ? ? t ? ? . ??????????(3 分) ? b ?
设 f (t ) ? t ?

1 ?? 1 ?? ,则对 t 求导,得 f ?(t ) ? 1 ? 2 .????(6 分) ? ?t ? ? ? ? t ?? t ??

易知,当 t ? ?

?? ? ? ?? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递减;当 t ? ?1, ? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调 ,1? ? ? ?? ?? ?

递增. ?????????????????????????(9 分) 故 f (t ) 在 t ?

? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 或t ? 处有最大值且 f ? ? ? ? 及 f ? ? ? ? 两者相等. ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?

故 f (t ) 的最大值为

? ? 1 ? ? ? ,即 f (t ) ? t ? ? ? .??????(12 分) ? ? t ? ?



a b a ? ? ? t ,得 ? ? ? ,其中等号仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立. b a b ? ?

????????????????????????????(14 分) 16. 解:如果某方以 3 : 1 或 3 : 0 获胜,则将未比的一局补上,并不影响比赛结果.于是,问 题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率” .????(3 分) 乙胜五局的概率为 ? ? ;??????????????????(6 分)

?1? ? 3?

5

?1? 2 乙胜四局负一局的概率为 C ? ? ? ;????????????(9 分) ? 3? 3
1 5

4

?1? ? 2? 乙胜三局负二局的概率为 C ? ? ? ? ? . ???????????(12 分) ? 3? ? 3?
2 5

3

2

以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为

17 . ?????(14 分) 81

17. 解: (1)因为 f ( x) ? ln?1 ? x ? ? x ,所以函数的定义域为 ?? 1,??? ,?(2 分)

又 f ?( x) ?

1 x ?1 ? ? .?????????????????(5 分) 1? x 1? x

当 x ? ?0, n?时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 ?0, n? n ? N ? 上是减函数,故

?

?

bn ? f (n) ? ln?1 ? n? ? n. an ? ln?1 ? n? ? bn ? ln?1 ? n? ? ln?1 ? n? ? n ? n. ??????????(8 分)
因为

?2k ? 1??2k ? 1? ? 4k 2 ? 1 ? 1 ,所以 4k 2 ?2k ?2
2

?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?2k ? 1? ? ?2k ? 1??2k ? 1? ? 1 ? 1 . 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?2k ? ? ? 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ? ? ? ? ? 2k ? 1 2k ? 1 ?2k ?2 ? ?
????????????????????????????(12 分) 又容易证明

1 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ,所以 2k ? 1

pk ?

a1a3 ? ? ? a2 k ?1 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?2k ? 1? 1 ? ? ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 k ? N ? , a2 a4 ? ? ? a2 k 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?2k ? 2k ? 1

?

?

????????????????????????(14 分)

p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ?

? 3 ?1?? ? 5 ? 3?? ? ? ? ? ?

2n ? 1 ? 2n ? 1

?

? 2n ? 1 ? 1 ? 2a n ? 1 ? 1 .


p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 2an ? 1 ? 1. ????????(16 分)
18. 证明: (1)设 P?x0 , y0 ? 、 M ?x1 , y1 ? 、 N ?x2 , y 2 ? . 则椭圆过点 M 、 N 的切线方程分别为

x1 x y1 y x x y y ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 .????????????????(3 分) 25 9 25 9
因为两切线都过点 P ,则有

x1 x0 y1 y 0 x x y y ? ? 1, 2 0 ? 2 0 ? 1 . 25 9 25 9
这表明 M 、N 均在直线

x0 x y 0 y ? ?1 25 9

①上.由两点决定一条直线知, 式①就是直线 MN 的

方程,其中 ?x0 , y0 ? 满足直线 l 的方程.???????(6 分) (1)当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x0 取遍一切实数,相应的 y0 为

y0 ?
代入①消去 y0 得

5 x0 ? 10. 7


x0 5 x ? 70 x? 0 y ?1 ? 0 25 63

对一切 x0 ? R 恒成立. ??????????????????????(9 分) 变形可得

? x 5 y ? ? 10y ? x0 ? ? ? ? ? ? 1? ? 0 ? 25 63 ? ? 9 ?

? x 5y ? 0, ? ? 对一切 x0 ? R 恒成立.故有 ? 25 63 10 y ? ? 1 ? 0. ? 9
由此解得直线 MN 恒过定点 Q?

? 25 9 ? ,? ? .???????????(12 分) ? 14 10 ?

x0 5x0 ? 70 63 ? ? 1 . 解得 x ? 4375 . (2)当 MN ∥ l 时,由式②知 25 ? 0 533 5 ?7 ? 70 533 ?0 代入②,得此时 MN 的方程为 5 x ? 7 y ? ③ 35
将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得

533 2 533 128068 x ? x? ? 0. ????????????????(15 分) 25 7 1225
由此可得,此时 MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q?

? 25 9 ? ,? ? 的横坐标,即 ? 14 10 ?

x ? x2 x? 1 ?? 2

? 533 25 7 ? . 533 14 2? 25
? 25 9 ? ,? ? 的纵坐标,即 ? 14 10 ?

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q?

y?

5 25 533 1 ? 125 533? 9 ? ? ? ? ? ??? . 7 14 7 ? 35 49 ? 2 2 ? 10

这就是说,点 Q?

? 25 9 ? ,? ? 平分线段 MN .???????????(18 分) ? 14 10 ?


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