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2015创新设计(高中理科数学)题组训练4-4


第4讲

平面向量应用举例
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2014· 邵阳模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b| =|a||b|,则 tan x 的值等于 A.1 C. 3 解析 由|a· b|=|a||b|知,a∥b. B.-1 2 D.

2 ( ).

所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x, 而 x∈(0,π), π 所以 sin x=cos x,即 x=4,故 tan x=1. 答案 A

2.(2014· 南昌模拟)若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是 3 A. 2 C.2 3 解析 答案 B. 3 1 D.2 ( ).

3 3 a· b=|a||b|cos 30° =8sin 15° cos 15° × 2 =4×sin 30° × 2 = 3. B

→ → → π π 3. (2013· 哈尔滨模拟)函数 y=tan4x-2的部分图象如图所示,则(OA+OB)· AB= ( ).

A.4 C.1 解析

B.6 D.2 由条件可得 B(3,1),A(2,0),

→ → → → → → → → → ∴(OA+OB)· AB=(OA+OB)· (OB-OA)=OB2-OA2=10-4=6. 答案 B

4.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是 π A.-6 π C.3 解析 π B.-3 2π D. 3 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, ( ).

1 即 4|b|2+4×2|b|2cos θ=0,∴cos θ=-2, 2π 又∵0≤θ≤π,∴θ= 3 . 答案 D

5.(2014· 安庆二模)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对应的三角形的 → → → 边长,若 4aBC+2bC A +3cAB=0,则 cos B= 11 A.-24 29 C.36 解析 11 B.24 29 D.-36 → → → 由 4aBC+2bC A +3cAB=0,得 ( ).

→ → → → → → 4aBC+3cAB=-2bC A =-2b(BA-BC)=2bAB+ → 2bBC,所以 4a=3c=2b. b2 4 2 + b -b2 a2+c2-b2 4 9 11 由余弦定理得 cos B= = =- 2ac b2 24. 2· 2· 3b 答案 A

二、填空题 → → → → 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若AB· AC=BA· BC=1, 那么 c=________. 解析 → → → → 由题意知AB· AC+BA· BC=2,

→ → → → → → → 即AB· AC-AB· BC=AB· (AC+CB) → → =AB2=2?c=|AB|= 2. 答案 2

→ → → → → BA· BC 7.(2014· 南通一调)在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3,|AB+AC|=|BC|,则 → |BC| =________. 解析 → → → 易知满足|AB+AC|=|BC|的 A,B,C 构成直角三角形的三个顶点,且

→ → BA· BC → 1 ∠A 为直角,于是 =|BA|· cos∠ABC=1×cos 60° =2. → |BC| 答案 1 2

8.(2013· 东北三校一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 → → (3b-c)cos A=acos C,S△ABC= 2,则BA· AC=________. 解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C,

即 3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,

1 2 2 于是有 cos A=3,sin A= 1-cos2A= 3 , 1 1 2 2 又 S△ABC=2· bcsin A=2bc× 3 = 2, → → 1 所以 bc=3,BA· AC=bccos(π-A)=-bccos A=-3×3=-1. 答案 -1

三、解答题 9.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N → → 在线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. 解 → → 设 M(x0,y0),N(x,y).由MA=2AN,得

?x0=3-2x, (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴? ?y0=3-2y. ∵点 M(x0,y0)在圆 C 上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1. → → 10. (2014· 北京海淀模拟)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若AB· AC → → =BA· BC=k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值. 解 → → → → (1)∵AB· AC=cbcos A,BA· BC=cacos B,

→ → → → 又AB· AC=BA· BC,∴bccos A=accos B, ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. → → b2+c2-a2 c2 (2)由(1)知,AB· AC=bccos A=bc· 2bc = 2 =k,

∵c= 2,∴k=1. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 → → → → 1. 已知向量OB=(2,0), 向量OC=(2,2), 向量CA=( 2cos α, 2sin α), 则向量OA → 与向量OB的夹角的取值范围是 π? ? A.?0,4? ? ? π? ?5 C.?12π,2? ? ? ?π 5 ? B.?4,12π? ? ? ?π 5 ? D.?12,12π? ? ? ( ).

解析

→ → → 由题意,得OA=OC+CA=(2+ 2cos α,2+ 2sin α),所以点 A 的轨

→ 迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当 A 位于使直线 OA 与圆相切时,向量OA → 与向量OB的夹角分别达到最大、最小值,故选 D.

答案

D

→ 1→ → → 2.(2014· 北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形,且AB+2AD=AC, |CD| = 3,那么四边形 ABCD 的面积为( 3 A. 2 C.3 3 解析 3 B.2 9 D.2 3 3 ).

→ → → 1→ → → ?1 → → ? 如图所示,CD=AD-AC=2AD-AB,∴CD2=? AD-AB?2, ?2 ?

→ → → 1→ 即 3=4AD2+AB2-AD· AB, → → ∵|AD|=|AB|, → → → 5→ ∴4|AD|2-|AD||AB|cos 60° =3,∴|AD|=2. → → → 1→ → 1→ 又BC=AC-AB=2AD,∴|BC|=2|AD|=1, → → → ∴|BC|2+|CD|2=|BD|2,∴BC⊥CD. 1 1 3 ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2×22×sin 60° +2×1× 3=2 答案 B 3,故选 B.

二、填空题 3.(2014· 苏锡常镇二调)已知向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=1,且对一切实数 x,|a +xb|≥|a+b|恒成立,则 a 与 b 的夹角大小为________. 解析 |a|= 2,|b|=1,|a+xb|≥|a+b|对一切实数 x 恒成立,两边平方整理

得 x2+2a· bx-2a· b-1≥0 对一切实数 x 恒成立, 所以(2a· b)2+4(2a· b+1)≤0, a· b 2 即(a· b+1)2≤0,所以 a· b=-1,故 cos<a,b>=|a||b|=- 2 ,又<a,b>∈[0, 3π 3π π],所以<a,b>= 4 ,即 a,b 的夹角是 4 . 答案 3π 4

三、解答题 x ? ? 4.(2014· 南通模拟)已知向量 m=? 3sin 4,1?, ? ?

x ? 2x ? n=?cos 4,cos 4?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围. 解 x x x (1)m· n= 3sin 4· cos 4+cos24

x 1+cos 2 3 x ? x π? 1 = sin + =sin?2+6?+ , 2 2 2 ? ? 2 ? x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? π? ? x π? 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6?=2, ? ? ? ? 1 ?2π ? ? π? cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 ∴cos B=2, π 2π ∵0<B<π,∴B=3,∴0<A< 3 . π A π π ?A π? ?1 ? ∴6< 2 +6<2,sin? 2 +6?∈?2,1?. ? ? ? ? ? x π? 1 又∵f(x)=sin?2+6?+2, ? ? ?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ? 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ?


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