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2014届高三数学辅导精讲精练57


2014 届高三数学辅导精讲精练 57
1.空间四点 A,B,C,D 中,每两点所连线的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为 1 A.2a 3 C. 2 a 答案 B 2 B. 2 a D.a ( )

解析

易知,以 A,B,C,D 为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面

3 体,如右图所示,取 P,Q 分别为 AB,CD 的中点,因为 AQ=BQ= 2 a,所以 PQ⊥AB. 同理可证 PQ⊥CD,故线段 PQ 的长为 P,Q 两点间的最短距离. 在 Rt△APQ 中, PQ= AQ2-AP2 = 3 1 2 ? 2 a?2-?2a?2= 2 a.

故应选 B. 2. 如 图 所 示 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 有 一 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCO—A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ( )

A. 2a

2 B. 2 a

C.a 答案 解析 B

1 D.2a

a 由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a).∴F(a,2,

a a a 0),E(2,2,2). ∴|EF|= = a a a a ?a-2?2+?2-2?2+?0-2?2

a2 a2 2 + = a. 4 4 2

3.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿 x 轴把直角坐标系折成 120° 的二面角,则 AB 的长度为 A. 2 C.3 2 答案 解析 B 设 A、B 在 x 轴上的射影分别为 C、D,则 AC=3,BD=2,CD=5, B.2 11 D.4 2 ( )

→ → → → → → 又AB=AC+CD+DB,AC,DB所夹的角为 60° , → 易求得|AB|= → → → ?AC+CD+DB?2=2 11.

4.如图所示,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AB 与两平面 α、β 所成的角 π π 分别为4和6.过 A、 分别作两平面交线的垂线, B 垂足为 A′、 B′, AB? 则 A′B′ 等于 ( )

A.2?1 C.3?2 答案 解析 A

B.3?1 D.4?3

π 2 在 Rt△ABB′中,AB′=AB· 4= 2 AB. sin

π 1 在 Rt△ABA′中,AA′=AB· 6=2AB. sin 1 在 Rt△AA′B′中,A′B′= AB′2-AA′2=2AB. ∴AB? A′B′=2?1. 5.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,若 E、F 分别是 BC、 DD1 的中点,则 B1 到平面 ABF 的距离为 ( )

3 A. 3 5 C. 3 答案 解析 方法二 D 方法一

5 B. 5 2 5 D. 5

由 VB1-ABF=VF-ABB1 可得解.

建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A(1,0,1),B1(1,1,0). → 1 1 设 F(0,0, ),E( ,1,1),B(1,1,1),AB=(0,1,0). 2 2 → 1 ∴B1E=(-2,0,1), → 1 AF=(-1,0,-2). → → 1 1 ∵AF· 1E=(-1,0,-2)· 2,0,1)=0, B (-

→ → → → → ∴AF⊥B1E,又AB⊥B1E,∴B1E⊥平面 ABF. → 1 平面 ABF 的法向量为B1E=(-2,0,1), → AB1=(0,1,-1). → ?AB1·→ ? 2 5 B1E B1 到平面 ABF 的距离为? = 5 . → ? ? |B1E| ? 6.(2013· 济南统考)等腰 Rt△ABC 中,AB=BC=1,M 为 AC 中点,沿 BM 把它折成二面角,折后 A 与 C 的距离为 1,则二面角 C—BM—A 的大小为( A.30° C.90° 答案 C B.60° D.120° )

解析

如图,由 AB=BC=1,

∠ABC=90° ,得 AC= 2. 2 ∵M 为 AC 中点,∴MC=AM= 2 , 且 CM⊥BM,AM⊥BM. ∴∠CMA 为二面角 C-BM-A 的平面角. 2 ∵AC=1,MC=MA= 2 , ∴∠CMA=90° . 7.二面角 α-l-β 为 60° ,A,B 是棱 l 上的两点,AC,BD 分别在半平面 α, β 内,AC⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为 A.2a C.a 答案 解析 A → |CD|= → CD2 = → → → ?CA+AB+BD?2 B. 5a D. 3a ( )

= a2+a2+4a2+2×a×2acos120° =2a. 8.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3,AA1=1,则顶点 A、B 间的球面距离是________. 答案 解析 2 2π
2 ∵(2R)2=AB2+AD2+AA1=4+3+1=8,

π ∴R= 2.又|AB|=2,∴∠AOB=2. π 2 ∴l=|α|R= · 2= π. 2 2 9.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30° ,AE 垂直 BD 于 E,F 为 A1B1 的中点.

(1)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的大小; (3)求点 A 到平面 BDF 的距离. 解析 方法一 (1)连接 B1D1,过 F 作 B1D1 的垂线,垂足为 K,∵BB1 与两

底面 ABCD,A1B1C1D1 都垂直,

? ??FK⊥平面 BDD1B1. B1D1∩BB1=B1?
FK⊥BB1 FK⊥B1D1



AE⊥BD

? ??AE⊥平面 BDD1B1, BB1∩BD=B?
AE⊥BB1

因此 FK∥AE, ∴∠BFK 为异面直线 BF 与 AE 所成的角,连接 BK,由 FK⊥面 BDD1B1, 得 FK⊥BK. 从而△BKF 为 Rt△. 在 Rt△B1KF 和 Rt△B1D1A1 中, FK A1D1 A1D1· 1F B 由B F=B D ,得 FK= B D 1 1 1 1 1 1 AD·AB 2 = = BD 2 3 3×1 1 = . 2 2 22+?3 3?2

FK 2 又 BF= 2,∴cos∠BFK=BF = 4 . 2 ∴异面直线 BF 与 AE 所成的角为 arccos 4 . (2)

由于 DA⊥面 AA1B,过点 A 作 BF 的垂线 AG,垂足为 G,连接 DG,由三垂 线定理知 BG⊥DG. ∴∠AGD 即为平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的平面角. 且∠DAG=90° , 在平面 AA1B 中,延长 BF 与 AA1 的延长线交于点 S, 1 ∵F 为 A1B1 的中点,A1F=2AB, ∴A1、F 分别为 SA、SB 的中点, 即 SA=2A1A=2=AB. ∴Rt△BAS 为等腰直角三角形,垂足 G 点实为斜边 SB 的中点 F,即 F、G

重合. 1 易得 AG=AF=2SB= 2. 2 在 Rt△AGD 中,AD=3 3. 2 3 AD 3 6 ∴tan∠AGD=AG= =3. 2 6 ∴∠AGD=arctan 3 . 6 即平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的大小为 arctan 3 . (3)由(2)知平面 AFD 是平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的平面角所在的平 面. ∴面 AFD⊥面 BDF. 在 Rt△ADF 中, A 作 AH⊥DF 于 H, AH 即为点 A 到平面 BDF 的距离. 由 则 由 AH· DF=AD· AF,得 AD· AF AH= DF = 2 3 3× 2 2 =5 5. 2 ?3 3?2+? 2?2

2 所以点 A 到平面 BDF 的距离为5 5.

方法二

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在

直线为 y 轴,AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图). 由已知 AB=2,AA1=1,可得 A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1). 又 AD⊥平面 AA1B1B,从而 BD 与平面 AA1B1B 所成的角即为∠DBA=30° , 2 3 又 AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD= 3 .

1 3 2 3 从而易得 E(2, 2 ,0),D(0, 3 ,0). → 1 → 3 (1)∵AE=(2, 2 ,0),BF=(-1,0,1). → → -1 → → 2 AE· BF 2 ∴cos〈AE,BF〉= = =- 4 . → → 2 |AE||BF| 2 即异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos 4 . (2)易知平面 AA1B 的一个法向量 m=(0,1,0), 设 n=(x,y,z)是平面 BDF 的一个法向量. → 2 3 BD=(-2, 3 ,0). → ?n⊥BF, 由? → ?n⊥BD → ?n· =0, BF ?? → ?n· =0 BD

?-x+z=0, ?? 2 3 2x- 3 y=0 ?

?x=z, ?? ? 3x=y.

取 n=(1, 3,1), m· n 3 15 ∴cos〈m,n〉=|m||n|= = 5 . 1× 5 即平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)大小为 15 arccos 5 . → (3)点 A 到平面 BDF 的距离,即AB在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对 值. → → → → AB· n 所以距离 d=||AB|· cos〈AB,n〉|=||AB|· | → |AB|· |n| → |AB· n| 2 2 5 = |n| = = 5 . 5 2 5 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 5 . 10.如下图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AC=BC=a,D、

E 分别为棱 AB、BC 的中点,M 为棱 AA1 上的点,二面角 M-DE-A 为 30° .

(1)证明:A1B1⊥C1D; (2)求 MA 的长,并求点 C 到平面 MDE 的距离.

解析

(1)证明:连接 CD.

∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC. ∴CD 为 C1D 在平面 ABC 内的射影. ∵△ABC 中,AC=BC,D 为 AB 中点, ∴AB⊥CD,∴AB⊥C1D. ∵A1B1∥AB,∴A1B1⊥C1D. (2)方法一 过点 A 作 CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F,连接 MF.

∵D、E 分别为 AB、BC 的中点,∴DE∥AC. 又∵AF∥CE,CE⊥AC,∴AF⊥DE. ∵MA⊥平面 ABC,∴AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影. ∴MF⊥DE. ∴∠MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角,∠MFA=30° . 1 a 3 在 Rt△MAF 中,AF=2BC=2,∠MFA=30° ,∴AM= 6 a. 作 AG⊥MF,垂足为 G. ∵MF⊥DE,AF⊥DE,∴DE⊥平面 AMF. ∴平面 MDE⊥平面 AMF. ∴AG⊥平面 MDE.

a 在 Rt△GAF 中,∠GFA=30° ,AF=2. a a ∴AG=4,即 A 到平面 MDE 的距离为4. ∵CA∥DE,∴CA∥平面 MDE. a ∴C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等,为4. 方法二 过点 A 作 CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F,连接 MF.

∵D、E 分别为 AB、CB 的中点, ∴DE∥AC. 又∵AF∥CE,CE⊥AC,∴AF⊥DE. ∵MA⊥平面 ABC.∴AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影, ∴MF⊥DE. ∴∠MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角,∠MFA=30° . 1 a 在 Rt△MAF 中,AF=2BC=2,∠MFA=30° , 3 ∴AM= 6 a. 设 C 到平面 MDE 的距离为 h. ∵VM-CDE=VC-MDE, 1 1 ∴3S△CDE· MA=3S△MDE· h, 1 a2 3 S△CDE=2CE· DE= 8 ,MA= 6 a, 1 1 AF 3 2 S△MDE=2DE· MF=2DE· = cos30° 12 a . 1 a2 3 1 3 ∴3× 8 × 6 a=3× 12 a2×h. a a ∴h=4,即 C 到平面 MDE 的距离为4. 11.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2,侧棱长为 4,E、 F 分别为棱 AB、BC 的中点. (1)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离.

解析

(1)证明

建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),

B(2 2,2 2,0),E(2 2, 2,0), F( 2,2 2,0),D1(0,0,4), B1(2 2,2 2,4). → ∴EF=(- 2, 2,0), → → DB=(2 2,2 2,0),DD1=(0,0,4). → → → → ∴EF· =0,EF· 1=0. DB DD ∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D. ∴EF⊥平面 BDD1B1. 又 EF?平面 B1EF, ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. → (2)由(1)知D1B1=(2 2,2 2,0), → → EF=(- 2, 2,0),B1E=(0,- 2,-4). 设平面 B1EF 的法向量为 n,且 n=(x,y,z), → → 则 n⊥EF,n⊥B1E. → 即 n· =(x,y,z)· EF (- 2, 2,0)=- 2x+ 2y=0, → n· 1E=(x,y,z)· B (0,- 2,-4)=- 2y-4z=0. 2 令 x=1,则 y=1,z=- 4 . 2 ∴n=(1,1,- 4 ),∴D1 到平面 B1EF 的距离

→ |D1B1· n| d= |n| =

16 17 = 17 . 2 12+12+?- 4 ?2

|2 2+2 2|

12.(2012· 重庆)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3, D 为 AB 的中点.

(1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值. 解析 (1)由 AC=BC,D 为 AB 的中点,得 CD⊥AB.又 CD⊥AA1.故 CD⊥平

面 A1ABB1,所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD= BC2-BD2= 5.

(2)方法一

如图,取 D1 为 A1B1 的中点,连接 DD1,则 DD1∥AA1∥CC1.又

由(1)知 CD⊥面 A1ABB1,故 CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1 为所求的二面 角 A1-CD-C1 的平面角.

因 A1D 为 A1C 在面 A1ABB1 上的射影,又已知 AB1⊥A1C,由三垂线定理的 逆定理得 AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA 都与∠B1AB 互余,因此∠A1AB1= ∠A1DA,所以 Rt△A1AD∽Rt△B1A1A. AA1 A1B1 因此 AD = AA ,即 AA2=AD· 1B1=8,得 AA1=2 2. A 1
1

从而 A1D= AA2+AD2=2 3. 1 DD1 AA1 6 所以,在 Rt△A1DD1 中,cos∠A1DD1= A D =A D= 3 . 1 1 方法二 如图,过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于 D1,在直三棱柱中,易知 DB,

DC,DD1 两两垂直.以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz.

设直三棱柱的高为 y,则 A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0, 5, → → → → 0),C1(0, 5,h),从而AB1=(4,0,h),A1C=(2, 5,-h).由AB1⊥A1C,有 8-h2=0,解得 h=2 2. → → → 故DA1=(-2,0,2 2),CC1=(0,0,2 2),DC=(0, 5,0). → → 设 平 面 A1CD 的 法 向 量 m = (x1 , y1 , z1) , 则 m ⊥ DA1 , m ⊥ DC , 即 ? 5y1=0, ? ?-2x1+2 2z1=0. 取 z1=1,得 m=( 2,0,1). 设平面 C1CD 的法向量为 n=(x2,y2,z2), ? 5y2=0, → → 则 n⊥DC,n⊥CC1,即? ?2 2z2=0. 取 x2=1,得 n=(1,0,0). m· n 所以 cos〈m,n〉=|m|· = |n| 2 6 =3. 2+1×1

6 所以二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值为 3 .


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