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数学:3.1.1《方程的根和函数的零点》课件(新人教A版必修1)


3.1.1方程的根与函数的零点

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象:
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的 交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

x1 ? ?1 x2 ? 3

y=x2-2x-3 ?? 1,0?, ?3,0?

y=x2-2x+1 x1 ? x2 ? 1 y=x2-2x+3 无实根

?1,0?
无交点

一般一元二次方程与相应二次函数的关系 ⊿=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x轴的交点 的根
⊿>0 ⊿=0 ⊿<0

x1,x2 x1=x2 无实根

(x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。 注意:
零点指的是一个实数;

零点是一个点吗?

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

探究
观 察 二 次 函 数 f (x) ? x2 ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 区间 ? ? 2,1 ? 上有零点。计算
f ( ? 2 ) 和 f (1)
y 5 4
3

的乘

2 1
-2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x

积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间

? 2, 4 ? 上是否也具有这种特点呢?

结 论 并且有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,那么,函数 y ?

如果函数 y ?

f ( x ) 在区间 ? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,

f ( x ) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a , b ? ,使得 f ( c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的根。


a

b

a

b

a

b

a

b

例1:求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

练习:

1.二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) , a ? c ? 0
2

则函数的零点个数是( ) 2.求下列函数的零点个数

?1 ? f ( x ) ?

x ? x ? 4x ? 4
3 2
x ?1

?2 ? f ( x ) ? 3

?x ?2
2

?3 ? f ( x ) ? log 3 x ? 2 x ? 4

例2:
1.函数 f ( x ) ?
In x ? 2 x

的零点所在的大致区间是(
? 1? C.? 1, ? 和 ? 3, 4 ? ? e?



A. ? 1, 2 ?

B. ? 2 , 3 ?

D. ? e , ? ? ?

2.若方程 2 ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一解, 求实数a的取值范围。
2

3. 方程在 x ? 求k的取值范围.

2

3 2

x ? k ? 0(-1,1)上有实根,

作业: P92

A组 2, 作业本A本P28 4.5

1.若函数 f(x)=ax+b有一个零点2,求函数
g(x)=bx2-ax的零点 2. 已知关于x的方程 3 x ? 5 x ? a ? 0 的一个根在 (-2,0)内,另一根在(1,3)内,求实数a的取值范 围.
3 .已知 a ? R ,讨论关于 的实数解的个数 x 的方程 x ? 6x ? 8 ? a
2

2


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