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山东省实验中学高二数学(理科)下学期期末考试试卷


山东省实验中学高二数学(理科)下学期期末考试试卷
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求) 1、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1   2 在复平面上对应的点位于 ( · z A.第一象限 C.第三象限
2


<

br />B.第二象限 D.第四象限 ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

2、 x ? 1 ”是“ x ? x ”的( “ (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

3、在二项式 ( x ? 1)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是(

A . ?15

B . 15

C . ?20

D . 20

4、某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数

f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x ?80 ) 2 200

,则下列命题不正确的是(



A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学标准差为 10 5、某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码,每位上的数字可在 0 到 9 这 10 个数字中选取,该人 记得箱子的密码 1,3,5 位均为 0,而忘记了 2,4 位上的数字,只要随意按下 2,4 位上的数字, 则他按对 2,4 位上的数的概率是( ) A.

2 5

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 100

2 2 6、已知 A(-1,0) ,B(1,0) ,若点 C ( x, y) 满足 2 ( x ? 1) ? y ?| x ? 4 |,则 | AC | ? | BC |?

A.6

B.4

C.2

( ) D.与 x,y 取值有关

7 、 某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码 , 卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定 , 从 “ ???????0000 ” 到 “ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一 律作为 “优惠卡” 则这组号码中 , “优惠卡” 的个数为 ( A. 2000 D. 8320 8、如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向 可以构成一个“锯齿形”的数列:1,3,3,4,6,5,10,?, B. 4096 C. 5904 )

第 1 页 共 7 页

记此数列的前 n 项之和为 Sn ,则 S21 的值为( A.66 C.295 B.153 D.361



二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卷上)

5 ? 9、已知?x cos? ? 1?5 展开式中x 2的系数与 x ? ? 的展开式中 3的系数相等,则 ? ? _ x cos ? ? ? 4?

4

10、在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ?

? y ? sin ? ? 1 ( ? 是参数) ,若以 o 为极点, x ? x ? cos ?

轴的正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程可写为________________. 11、已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

? x ? 0, ? y ? 0, ? 12、在约束条件 ? 下,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ? x ? y ? 3, ?2 x ? y ? 4 ?

.

13、动点 P(x, y)满足 a ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| 3 x ? 4 y ? 10 | ,且 P 点的轨迹是椭圆,则 a 的取值范围 是 .

14、等差数列有如下性质,若数列 {an } 是等差数列,则当 bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 时, 数列{bn } 也是 n
时,数列 {d n } 也是

等差数列;类比上述性质,相应地 {cn } 是正项等比数列,当数列 d n ? 等比数列。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15、 (12 分)在某年一项关于 16 艘轮船的研究中,船的吨位区间从 192 吨到 3246 吨,船员的数目从

? 5 人到 32 人.船员人数 y 关于船的吨位 x 的线性回归方程为 y ? 9.5 ? 0.0062 x
(1)假设两艘轮船吨位相差 1000 吨,则船员平均人数相差多少? (2)对于最小的船估计的船员数是多少?对于最大的船估计的船员数是多少?(保留整数)

4) 0) 0) 16、 (12 分)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, , B(0, , C (c, .
(1)若 c ? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 17、 (14 分)求由 y ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 所围成图形的面积.
2

第 2 页 共 7 页

18、 14 分) ( 如图, 面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若

D

C

M

m n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计值为 S ,假设正 n
方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投 掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 EX ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (?0.03, ) 内的概 ???? 率.附表: P(k ) ?

A

B

?C
t ?0

k

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590

k

2424

P(k )

0.0403

19、 (14 分)已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设 2

两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 20、 (14 分)若对于正整数 k 、 g (k ) 表示 k 的最大奇数因数,例如 g (3) ? 3 , g (20) ? 5 , 并且 g (2m) ? g (m) (Ⅰ)求 S1、S2、S3 ; (Ⅱ)求 Sn ; (III)设 bn ?

(m ? N ? ) ,设 Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ?? g (2n )

3 1 ,求证数列 {bn } 的前 n 顶和 Tn ? . 2 Sn ? 1

第 3 页 共 7 页

山东省实验中学高二数学(理科)下学期期末考试试卷 高二数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分) :1-4 D A C B 二、填空题(每小题 5 分) :9、 ? 12、7 三、解答题: 15、解: (1)依题意设船员平均人数相差为△y 5-8 D B C D 10、 ? ? 2sin ? 13、 (5,+∞)

2 2

11、

1 16

14、 n C1C 2?Cn

? ? 则有△y= y 1- y 2=0.0062×1000=6.2≈6
? (2)根据线性回归方程 y ? 9.5 ? 0.0062 x 可得
?????????5 分

? 最小的船的估计船员 y 3=9.5+0.0062×192≈11 ? 最大的船的估计船员 y 4=9.5+0.0062×3264≈30
?????????11 分

答:当两艘轮船的吨位相差 1000 吨时,船员平均人数相差 6 人,最小船的估计船员数是 11 人, 最大船的估计船员人数是 30 人。 ?????????12 分

??? ? ???? ???? 16、解: (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,若 c=5, 则 AC ? (2, ?4) ,

???? ??? ? 2 5 ?6 ? 16 1 ∴ cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ,∴sin∠A= ;?????????6 分 ? 5 5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 (2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? , 3 ?c ? 0

∴c 的取值范围是 (

25 , ??) ; 3
2

?????????12 分

17、解:如图,作出曲线 y ? 4 x , y ? 2 x ? 4 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积???3 分 由?

? y2 ? 4x ? y ? 2x ? 4

得交点坐标为 (1, ?2), (4, 4) ,

y
B ( 4,4 )

(或答横坐标) 方法一:阴影部分的面积

??????????5 分

C(2,0 )

0

S ? 2? 2 xdx ? ? [2 x ? (2 x ? 4)]dx ????8 分
0 1

1

4

A(1, ?2)

x

第 4 页 共 7 页

4 3 1 4 3 4 ? 2( x 2 ) |0 ?( x 2 ? x 2 ? 4 x) |1 ???????12 分 3 3
?9
??????????14 分

方法二:阴影部分的面积 S ?

?

4

?2

(

y ? 4 y2 ? )dy 2 4

???????????8 分

1 1 ? ( y 2 ? 2 y ? y 3 ) |42 ? 4 12
= 9 18、解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ?

???????12 分

????????????14 分

1 . 4

??????????2 分

依题意知 X ~ B ?10000, ? .??????????4 分 (Ⅰ) EX ? 10000 ?

? ?

1? 4?

1 ? 2500 .??????????8 分 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

? ?

X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

t ? 2426 2574

?C ?

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2425 t ?0

?

t ? 2426

t t C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .??????????14 分
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 19、解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 , x

??????????2 分

由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) .

第 5 页 共 7 页

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 2 ? 即? 由 x0 ? 2a ? 2 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . 即有 b ?

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a .??????????4 分 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
1

当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1 ? ? ? 1 ? 3 ? 故 h(t ) 在 ? 0, e ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ?

1

? 于是 h(t ) 在 (0, ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ?
? ?
(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

?

1

?

2 3 3 e .??????????7 分 2

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) ,??????????8 分 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) .??????????10 分 x x

? 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ∞) 为增函数,

? 于是函数 F ( x) 在 (0, ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) .????????14 分 20、解: (Ⅰ) S1 ? g (1) ? g (2) ? 1 ? 1 ? 2 ??1 分 ??2 分

S2 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 6

S3 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? g (5) ? g (6) ? g (7) ? g (8) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1? 5 ? 3 ? 7 ? 1 ? 22
??3 分 (Ⅱ)? g (2m) ? g (m) , n ? N? ??4 分

? Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ?? g (2n ?1) ? g (2n )
? [ g (1) ? g (3) ? g (5) ? ? ? g (2n ?1)] ? [ g (2) ? g (4) ? ?? g (2n )]
第 6 页 共 7 页

? [1 ? 3 ? 5 ? ?? (2n ?1)] ? [ g(2 ?1) ? g(2 ? 2) ? ?? g(2? n?1)] ??5 分 2
? (1 ? 2n ? 1)?2n?1 ? [ g (1) ? g (2) ? ? g (2n?1 )] 2
??6 分

? 4n?1 ? Sn?1
则 Sn ? Sn?1 ? 4n?1

??7 分

? Sn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn?2 ) ? ?? (S2 ? S1 ) ? S1
? 4n?1 ? 4n?2 ? ? ? 42 ? 4 ? 2

??8 分

?

4(4n ?1 ? 1) 1 2 ? 2 ? ?4n ? 4 ?1 3 3

??9 分

(Ⅲ) bn ?

1 3 3 3 3 1 1 ? n ? n 2 ? n ? ( n ? n ) ??10 分 n S n ? 1 4 ? 1 (2 ) ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1

Tn ?

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 ( 1 ? )? ( 2 ? 2 )? ( 3 ? 3 ) ??? ( n ? n ) 2 2 ?1 2 ? 1 2 2 ?1 2 ? 1 2 2 ?1 2 ? 1 2 2 ?1 2 ? 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ?1 ? n ? n ] 2 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ( ? ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n )? n ] ??11 分 2 3 3 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 3 ??12 分 ? 当 n ? 1 时, T1 ? b1 ? 1 ? 成立 2

1 2n ? 1 ? 2n?1 ? 1 2n?1 ? 2 当 n ? 2 时, n?1 ? ? ? ? 0 ??13 分 2 ? 1 2n ? 1 (2n?1 ? 1)(2n ? 1) (2n?1 ? 1)(2n ? 1) 1
3 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? [1 ? ( ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ( n ?1 ? n )? n 2 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 3 3 ? ?? 1 ??14 分 2 2

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