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2014年福建高考信息优化整合卷文科数学


2014 年福建高考信息优化整合卷
数学(文史类)试题(2014.2)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写 学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 参考公式: 1.棱锥的体积公式: V ?

>1 s ? h (S 为棱锥的底面面积,h 为棱锥的高) 3
2 2

( x ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ?( xn ? x) 2.样本数据 x1 , x2 ,? xn 的方差公式: s ? 1 (其 n
中 x 为样本平均数)

第Ⅰ卷(选择题
一项符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1 .设集合 A ? {x | x ? 1} , 集合 B ? {x | y ? 3 ? x} ,则

A? B ?
A. [0,??) C. [1,??) B. (??,1) D. (1,3]

2.已知复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则 z 的虚部为 A.l C.-3 B.3 D.-1

3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为 A.-1 C.3 B.0 D.1

4.已知 {an } 为等差数列,且 a2 ? a8 ? 8 , a6 ? 5 则 Sl0 的值为 A.50 B.45 C.55 D.40

5.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列说法正确的是 A.若 m ? ? , m ? ? 则 ? //? C.若 m ? ? , m ? ? 则 ? ? ? 6.函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是
x ?x

B.若 m//n, m ? ? , 则 n ? ? D.若 m//? ,? ? ? ? n, 则 m //n

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数学(文史类)试题及答案

第 1 页 共 8 页

7.把函数 y ? sin( 2 x ?

? ? ) 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸 3 6
? ) D. y ? sin 4 x 3

长到原来的 2 倍,则所得图象对应的函数解析式是 A. y ? sin( x ?

? ) 6

B. y ? sin x

C. y ? sin( 4 x ?

8.如右图所示的三棱柱,其正视图是 一个边长为 2 的正方形,其俯视图是一个正 三角形,该三棱柱侧视图的面积为 A. 2 3 C. 2 2 B. 3 D.4

9.下列四个命题中真命题的个数是 ①“0 是自然数也是偶数” ; ②“若 x, y 都是无理数,则 x ? y 是无理数”的逆命题; ③“若 q ? 1 ,则方程 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的否命题;
2

④“当 a ? 1 时,函数 y ? log a x 在 ? 0, ??? 上是增函数”的逆否命题; A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知 a、b 是正常数,a≠b, x、y ? (0,??) ,不等式 x ? y ?

a2

b2

( a ? b) 2 x? y (*式)

恒 成 立 ( 等 号 成 立 的 条 件 是 ay ? bx ) , 利 用 ( * 式 ) 的 结 果 求 函 数

f ( x) ?

2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值 x 1? 2x 2
B.169 C.25 D.11+6 2

A.121

x2 y2 ? ?1 1 , F2 , 1PF 2的 11. 动点 P 为椭圆 25 16 上任意一点, 左右焦点分别是 F 直线 l 为 ?F
外角平分线,过 F1 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹方程是

A.x 2 ? y 2 ? 25

B.x 2 ? y 2 ? 16

C.x 2 ? y 2 ? 25

D.x 2 ? y 2 ? 16

12 .设函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (4 ? x) ? f (? x) , 当 x ? (??,2] 时 , 有

f ( x) ? 2 ? x -5.若函数 f ( x) 在区间 (k , k ? 1)(k ? Z) 上有零点,则 k 的值为
A.-3 或 7 B.-4 或 7 C.-4 或 6 D.-3 或 6

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第 2 页 共 8 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13 . 已 知 两 点 A(?1,0) , B(1,3) , 向 量 a ? (2k ? 1,2) , 若 AB // a , 则 实 数 k 的 值 为 . 14.若 a1,a2,?a10 这 10 个数据的样本平均数为 x ,方差为 0.33,则 a1,a2,?a10, x 这 11 个数据的方差为________.

?x ? 2 y ? 0 ? 15. 设 z=x+y, 其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 2014, 则 k 的值为_______. ?0? y?k ?

a ? b ? mod m? ,已知 a ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32013 , b ? a ? mod 3? ,则 b 的值可以
是________. ①1007;②2013;③3003;④6002 三、解答 题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 cos( ? A) ? (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=12,b=6,求 a 的值.

16. 设 a,b,m 为正整数,若 a 和 b 除以 m 的余数相同,则称 a 和 b 对 m 同余.记

? 4

2 . 10

18. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,甲乙两人分别 从盒子中随机不放回的各抽取一张. (Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概 率.

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,N 为线段 PB 的中点,G 在线段 BM 上,且 (Ⅰ)求证:AB⊥PD; (Ⅱ)求证:GN//平面 PCD.

BG ? 2. GM

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20.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 中各项均为正数,b1 =1, 且 b2 ? S2 ? 12 ,数列{bn}的公比 q ?

S2 . b2

(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 2 ? ? ? ?? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

21.(本小题满分 13 分) 已知动圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 相外切, 与圆 C2 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 相内切, 设动 圆圆心 C 的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (Ⅰ) 求轨迹 T 的方程; (Ⅱ) 已知直线 l:y=kx+m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上) .若以 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

22.(本小题满分 13 分)
2 x 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x ? ax ? 3)e (a 为实数) .

(Ⅰ) 当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值;
x (Ⅲ) 若存在两不等实根 .......x1, x2 ? [ e ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的

1

取值范围.

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第 4 页 共 8 页

2014 年福建高考信息优化整合卷
数学(文史类)参考答案及评分标准(2014.2)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 A 9 C 10 C 11 A 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.

7 6

14.

0.3

15.1007

16.

①④

三、解答 题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. 解: (Ⅰ)由 cos(

?
4

? A) ?

2 2 2 得 (sin A ? cos A) ? 10 2 10

所以 sin A ? cos A ?
2 2

1 ??????????????3 分 5

又 sin A ? cos A ? 1 解得 sin A ? (Ⅱ) S ?

4 ????????????????6 分 5

1 bc sin A ? 12 ,又 b ? 6 ,解得 c ? 5 ,????????8 分 2 1 3 4 由 sin A ? cos A ? , sin A ? 得 cos A ? ? ????????9 分 5 5 5 3 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 36 ? 25 ? 2 ? 6 ? 5 ? (? ) ? 97 ?????11 分 5
∴ a ? 97 .?????????????????????????12 分

18. 解: (Ⅰ)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张,基本事件有

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), , (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1)(4,2), (4,3), (4,5) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) 共 20 个???????????????2 分
设事件 A ? “甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数” 则事件 A 包含的基本事件有

(1,3), (1,5), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2), (5,1), (5,3) 共 8 个???4 分
所以 P ( A) ?

8 2 ? .????????????????6 分 20 5

(Ⅱ)剩下的三边长包含的基本事件为:

(1, 2,3),(1, 2, 4),(1, 2,5),(1,3, 4),(1,3,5), (1, 4,5),(2,3, 4),(2,3,5),(2, 4,5),(3, 4,5) 共 10 个;

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????????????????????8 分 设事件 B ? “剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“ 则事件 B 包含的基本事件有: (2,3,4), (2,4,5), (3,4,5) 共 3 个????????10 分 所以 P ( B ) ?

3 .????????12 分 10

P

(备注:第二问也可看做 20 个基本事件,重复一倍。 ) 19.(Ⅰ)证明: 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AB ,???? 2 分 又因为 AD ? AB ,所以 AB ? 平面 PAD ,????4 分 又 PD ? 平面 PAD ,所以 AB ? PD .?????6 分 (Ⅱ)因为 ?ABC 是正三角形,且 M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,?????????????? 7 分
? 在直角三角形 AMD 中, ?MAD ? 30 ,所以 MD ?

N A D G B M C

1 AD , 2

在直角三角形 ABD 中, ?ABD ? 30 ,
?

所以 AD ? 又因为

1 1 BD ,所以 MD ? BD ,???????????????10 分 2 4

BG ? 2 ,所以 BG ? GD ,又 N 为线段 PB 的中点,所以 GN // PD , GM GN ? 平面 PCD , PD ? 平面 PCD ,所以 GN // 平面 PCD ????????12 分

20. 解: (Ⅰ)由于 S2 ? 12 ? b2 ? 12 ? q ,可得 q ? 解得: q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) ,

12 ? q ,??????2 分 q
?????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分 ?????????6 分

S2 ? 9 , d ? a2 ? a1 ? S2 ? 2a1 ? 3 , ? an ? 3 ? (n ?1)3 ? 3n

bn ? 3n?1
(Ⅱ)证明:由 an ? 3n ,得 ? Sn ?
? Sn ? n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 分 ? ????????? ? ? ( 7? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

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?

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ????9 分 ? ? … ? ? (1 ? ? ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? ) S1 S2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ?1

? n ? 1 ?0 ?

1 1 1 2 1 2 ? ? ? (1 ? )? n ?1 2 3 3 n ?1 3 1 1 1 1 2 ? ? ?…? ? 3 S S S 3 1 2 n 故

????11 分

????12 分

21.解: (Ⅰ) CC1 ? r ? 1 , CC2 ? 3 ? r ,∴ CC1 + CC 2 = 4 ∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点(c=1) ,长轴长 2a= 4 的椭圆 ∴点 C 的轨迹 T 的方程是

???2 分 ??????4 分

]

x2 y2 ? ?1 4 3

??????????????6 分

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .

?8km 4m2 ? 12 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . (*式) 4k ? 3 4k 2 ? 3

???????????8 分

, ? MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0) ???? ? ???? ? AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . ???????????10 分

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,代入(*式)
得: 7m ? 16km ? 4k ? 0 ,
2 2

?

m 2 m ? ? 或 ? ?2 都满足 ? ? 0 , k 7 k m ,0 ) , k

????????12 分

由于直线 l : y ? kx ? m 与 x 轴的交点为( ? 当

m ? ?2 时,直线 l 恒过定点 (2, 0) ,不合题意舍去, k m 2 2 2 ? ? ? ,直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) .?????????13 分 k 7 7 7
2 x 22.解:(Ⅰ )当 a ? 5 时 g( x ) ? (? x ? 5 x ? 3) ? e , g (1) ? e .

???1 分 ???2 分 ???4 分

g?( x ) ? (? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e .

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(Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x )
f ( x)

1 (0, ) e

1 e
0

1 ( , ??) e

?
单调递减

?
单调递增
???6 分

极小值(最小值)

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
???7 分

所以 f ( x )min ? f (t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e
???8 分
2

所以 f ( x )min ? f ( 1 ) ? ? 1 e e (Ⅲ) 由 g( x) ? 2e x f ( x) ,可得: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,

???9 分

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 令 h( x) ? x ? 2 ln x ? 3 , h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x2 x

x
h ?( x) h( x)

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?
单调递减

0

?
单调递增
???11 分

极小值(最小值)

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e
???12 分

? 实数 a 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

3 . e

???13 分

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