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详解2012年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题


详解 2012 年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题
1. 函数 f (x)= x+1 的值域为_______. x2+4x+7 解法一 由题意可知 f (x)的定义域为 x≥-1,令 t=x+1≥0, x=t-1.当 t=0 时,f (x)=0; t t 1 1 当 t>0 时,g(t)= = = ≤ , 4 6 ( t-1)2+4( t-1)+7 t2+2t+4 t+

2+ t 又 g(t)>0,于是 g(t)∈ 0, 所以,函数 f (x)= , ( 1 6]

x+1 6 的值域为 0, . 6 x2+4x+7

[ ] [ ]

解法二. 令 A=f 2 (x)≥0.则 Ax2+(4A-1)x+7A-1=0, 1 1 等价于△=(4A-1)2-4A(7A-1)≥0,解得- ≤A≤ ,又 A≥0. 2 6 所以,函数 f (x)= x+1 6 的值域为 0, . 6 x +4x+7
2

Ax2+Bx+C 小结:解法一是着眼于转换初等函数的方法,一般的对于 f (x)= 2 型函数考虑 Dx +Ex+F 以下变形 A A A A A (Dx2+Ex+F)+(B- )x+(C- ) (B- )x+(C- ) 2 D D D D A Ax +Bx+C D = = + f (x)= 2 D Dx +Ex+F Dx2+Ex+F Dx2+Ex+F 2 Ax +Bx+C A A 1 然后在令 t=(B- )x+(C- ),把函数 f (x)= 2 型转化为 y=Mt+N +P型. D D t Dx +Ex+F 当 MN>0 时,利用重要不等式求值域;当 MN<0,利用函数单调性求值域. Ax2+Bx+C 值域问题转化方程(A - 解法二是着眼于函数与方程的关系,把函数 y = 2 Dx +Ex+F y D)x2+(B-y E) x+C-y F=0 有解的问题. 2. 已知 3sin2α+2sin2β=1, 3(sin α+cos α)2-2(sin β+cos β)2=1, 则 cos2(α+β)=_____. 2 2 ① ?3sin α+2sin β=1, ?3cos2α+2cos 2α=3, 解: 由? 则? 2 2 ② ?3(sin α+cos α) -2(sin β+cos β) =1, ?3sin 2α-sin 2β=0, 1 2 2 由① +② 得 cos2(α+β)=- . 3 小结:本题考察三角函数的变换,变换的本质就是变形,变形包含角的变形和函数的变 形,变形的原则就是尽可能让已知和问题中的角和函数统一.本题函数都是弦函数,所以考 虑角,已知中的角是 α、β,而问题中的角 2(α+β)(或看成 2α+2β).比较已知与问题中的 角之间关系,确定思路是 α、β?2α、2β?2α+2β. tan(α+β) ? 练习:已知 2sinβ=sin (2α+β),且 α≠kπ+ ,k∈Z.则 =_______. 2 tan α 答案:3.


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