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正态分布教学设计


2.4 正态分布教学设计
乾安七中 数学组 杨文波 2014-5-29 一、教学目标 1. 知识目标:理解并掌握(标准)正态分布和正态曲线的概念、意义及性质,并能简单应 用。 2. 能力目标:能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律,引导学生通过观察 并探究规律,提高分析问题,解决问题的能力;培养学生数形结合,函数与 方程等数学思想方法。 3. 情感目标:通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐,形成积极的情感,培 养学生的进取意识和科学精神。 二、教学重点、难点: 重点: 正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。 难点: 正态分布的意义和性质。 三、教学设想 【一】 导入新课

1、 问题引入:在 2007 年的高考中,某省全体考生的高考平均成绩是 490 分, 标准差是 80, 计划本科录取率为 0.4 , 则本科录取分数线可能划在多少分? 2、回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系. 前面我们研究了离散新随机变量,他们只取有限个或可列个值,我们用分布 列来描述总体的统计规律; 而许多随机现象中出现的一些变量,如上节课研究的 某产品的尺寸, 它的取值是可以充满整个区间或者区域的,总体分布通常不易知 道,我们是用什么去估计总体分布的呢?----用样本的频率分布(即频率分布直 方图)去估计总体分布. 回头看上一节得出的 100 个产品尺寸的频率分布直方图,发现:横坐标是产 品的尺寸;纵坐标是频率与组距的比值,什么才是在各组取值的频率呢?---直 方图的面积。设想:当样本容量无限增大,分组的组距无限的缩小时,这个频率 直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线。它能够很好的反映了总 体在各个范围内取值的概率。由概率的性质可以知道(1)整条曲线与 x 轴所夹 的总面积应该是?---1(2)总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内 面积 下面,同学们一起观察一下总体密度曲线的形状,看它具有什么特征? “中间高,两头低,左右对称”的特征。像具有这种特征的总体密度曲线一 般就是或者近似的是以下函数的图像。 (板书函数、标题) : 【二】正态分布 (1)正态总体的函数解析式、正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高,两头低”的特征,像这种类型的总 体密度曲线,一般就是或近似地是以下一个函数的图象:(板书)

1

? 1 f (x) ? e 2??

( x ??) 2 2? 2

, x ? (??,??)



这个总体是具有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布,其图像叫做正 态曲线。 在函数解析式中有两个参数μ 、σ :μ 表示总体的平均数;σ (σ >0)表示总 体的标准差,下面我们来研究一下这两个参数在图像上有怎样的影响呢? 1、μ 表示总体的平均数(它不就是前面学习的随机变量的?---期望,而期望是 反映总体分布的?---平均水平) , (回头看频率分布直方图)大家思考一下,这个 总体分布的平均数在什么位置呢?最高点那个位置, 为什么呢?因为规定的尺寸为 25.40mm,总体在它的左右取值的概率最大,尺寸过大或过小毕竟占少数,所以图 像才会呈现“中间高,两头低”的特征。下面大家看一下 flash (改变μ 的值,肯 定学生的回答,得出 1、2、3 条性质) 用《几何画板》画出三条正态曲线:即①μ =-1,σ =0.5;②μ =0,σ =1;③μ =1,σ =2,其图象如下图所示:

得出正态曲线的前四条性质: ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交。 ②曲线关于直线 x=μ 对称,且在 x=μ 时位于最高点。 ③当 x<μ 时,曲线上升;当 x>μ 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边 无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近。 以上便是参数μ 对正态曲线的影响 2、下面我们再分析若 μ 是定值,即对称轴一定,σ 决定着曲线的什么? σ (σ >0)是总体的标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,反映 了总体分布的集中与离散程度) (再用《几何画板》改变的σ 值,让学生总结规律,得出正态曲线的第五条 性质)σ 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中,那集中在什么位置? ----平均数μ 附近,同理: 若σ 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散, 越远离平均数; ④当μ 一定时,曲线的形状由改变μ 的值确定。σ 越大,曲线越“矮胖” , 表示总体的分布越分散;σ 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中。 结论:正态分布由μ 、σ 唯一确定,因此记为:N(μ ,?2) (利用图像、性质解题)

【例 1】 (2007 全国 2 理 14)在某项测量中,测量结果?服从正态分布 N(1,
?2) (?>0) , 若?在 (0, 1) 内取值的概率为 0.4, 则?在 (0, 2) 内取值的概率为 。 解.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,?2) (?>0) ,正态分布 图象的对称轴为 x=1,? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在(1, 2)内取值的概率于 ? 在(0, 1)内取值的概率相同, 也为 0.4, 这样随机变量 ξ 在(0,
2

2)内取值的概率为 0.8。
1 ?2 (5) 当μ =0, σ =1 时, 相应的函数解析式大大的简化了: f (x) ? e ,x ?R 。 2?
x2

其图像也简单了,关于 y 轴对称,我们把这样的正态总体称为标准正态总体,相 应的曲线称为标准正态曲线。 由于标准正态总体 N(0,1)在正态总体研究中有非常重要的作用,人们专门 制定了《标准正态分布表》以供查用(P—65) (在课件上,调出标准正态分布表,教学生查阅) 1、在这个表中,相应于 x0 的值Φ (x0)是指总体取值小于 x0 的概率 即Φ (x0)=p(x<x0) ? P( x ? x0 ) 。 (如图) 2、利用标准正态曲线的对称性说明等式Φ (x0)=1-Φ (-x0) 3、 标准正态总体在任一区间(x1,x2)内取值概率 p ( x1 ? x ? x 2 ) =Φ (x0)-Φ (x1) 的几何意义。

【例 2】

求标准正态总体在(-1,2)内取值的概率。

解:利用等式 p=Φ (x0)-Φ (x1)有 p=Φ (2)-Φ (-1)= Φ (2)-[1-Φ (1)] 【三】 课堂练习
1) , 1 (2007 湖南卷) 设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0, 已知 ? (?1.96) ? 0.025 ,

则 P(| ? |? 1.96) =( C A.0.025

) C.0.950 D.0.975

B.0.050

1) , ? P(| ? |? 1.96) ? P(?1.96 ? ? ? 1.96) ? 【分析】 ? 服从标准正态分布 N (0,

?(1 . 9 6 ?) ? ? ( 1 .? 9 6? ) ?1 ?2 ( ? 1.9 ?6 ) ? 1 2? 0 . 0 2 5

0.950.

【五】新的问题,激发兴趣 我们通过标准正态曲线的对称性以及标准正态分布表,可以求出标准正态总 体 N(0,1)在任一区间(x1,x2)内取值的概率 P ( x1 ? x ? x 2 ) =Φ (x0)-Φ (x1) 我们知道任何一对不同的μ ,σ 就有一个不同的正态总体,对于一般的正态 总体 N(μ , σ 2), 在任一区间(a,b)内的取值概率如何进行计算呢?可否也通过查 标准正态分布表来求出它呢?回答是肯定的,否则制定了标准正态分布表就失去了它的意义。 2.正态总体 N(μ ,σ 2)在任一区间取值的概率计算(点拨思路,计算应用)。 一般的正态总体 N(μ ,σ 2)均可以化成标准正态总体 N(0,1)进行研究.可 以证明,对任一正态总体 N(μ ,σ 2),取值小于 x 的概率 F( x 0 )=P(x< x 0 ) 转化公式为:
? x0 ? ? ? F ( x 0 ) ? ?? ? ? ? ? ? ?

3

x ? ? ? 的严格证明要用到积分变换的知识,它有 向学生指出,等式 F( x ) ? ?? ? ? ? ? ?

待在今后的学习中解决。
x ? ? ? 的应用。 最后,可向学生展示公式 F( x ) ? ?? ? ? ? ? ?

【例 3】

已知正态总体 N(1,4), .求 F(|x|<3)。

(4)学习正态分布有什么意义? 服从正态分布的总体特征 一般地,当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果,而每一 种因素都不能起到压倒其他因素的作用时,这个随机变量就被认为服从正态分 布. 像产品尺寸这一类典型总体,它的特征是:生产条件正常稳定,即工艺、设 备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定,而且不存在产生系 统误差的明显因素.所以它服从正态分布 下面,大家一起来找找实际生活中那些现象都服从或近似服从正态分布? 生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标、测量的误差(如电子管的 使用寿命、零件的尺寸等) 在生物学中,同一群体的某种特征(如 08 年广西区高考考生体检的身高、 体重、肺活量) ,在一定条件下生长某农作物的产量等, 在气象中,梧州今年五月份的平均气温、平均降雨量等,两江的水位等 在生活中,某一时间段的车流量、人流量,同学的考试成绩,喝的饮料等 总之:正态分布广泛存在于各个领域当中,在概率和统计中都占有重要地位 【五】课堂小结 1.本节课我们主要学习了正态分布的若干性质,服从正态分布的总体的特 征,如何使用《标准正态分布表》 ,要求同学们能知道正态曲线的大致形状以及 从图象上直观得到正态分布的性质,并能利用《标准正态分布表》及相关等式进 行计算。 2.本节课介绍了如何利用标准正态分布表计算一般正态分布在任一区间取
x ? ? ? ,应 值的概率的方法。这种方法体现了化归的思想方法。对公式 F( x ) ? ?? ? ? ? ? ?

在理解的基础上加以运用。 【三】 课堂练习 1 、设随即变量 ? 服从正态分布 N ( 2,4) , 求 P (2 ? ? ? 4) 。 (参考数据:

? (1) ? 0.8413 ;

? ( 2) ? 0.9 7 7, 2 ? (0.5) ? 0.6915 )
2

2、 在 2007 年的高考中,某省全体考生的考试成绩服从正态分布 N(490,80 ) ,若 该省计划本科录取率为 0.4 ,则本科录取分数线可能划在多少分? (参考数据:

? (0.25) ? 0.6 )
A.500 分
【六】布置作业:

B.505 分

C.510 分

D.515 分

4

1、 (2007 浙江卷 5)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) ,
P(? ≤ 4 ) ? 0 . ,则 8 4 P(? ≤ 0) ? ( A )
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D, 0.84

2.(2006 年湖北卷)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服 从正态分布 N ?70,100? .已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名. (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅱ) 若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为 多少分? 可供查阅的(部分)标准正态分布表 ? ?x0 ? ? P?x ? x0 ?

x0 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1

0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821

1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826

2 0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830

3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834

4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838

5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842

6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846

7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850

8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854

9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

16. 点评:本小题主要考查正态分布,对独立事件的概念和标准正态分布的 查阅,考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)设参赛学生的分数为 ? ,因为 ? ~N(70,100),由条件知, P( ? ≥90)=1 -P ( ? <90 )=1- F(90)= 1- ? ( =0.228. 这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%,因 此, 参赛总人数约为
12 ≈526(人) 。 0.0228

90 ? 70 ) = 1 - ? (2)= 1 - 0.9772 10

(Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则 P( ? ≥x)=1-P( ? <x)=1-F(x)=1- ? ( 即? (
x ? 70 50 )= =0.0951, 10 526

x ? 70 x ? 70 ) =0.9049,查表得 ≈1.31,解得 x=83.1. 10 10

故设奖得分数线约为 83.1 分。

5

[附:板书设计] 正 一、正态分布与正态曲线 定义 说明 态 分 布 四、简单计算 例1 例2

二、 标准正态分布与标准正态曲线 三、性质说明 (1) 定义 (2) (3) 说明 (4) (5)

[教学反思] 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、 数学教学、 数学学习等方面产生深刻的 影响。 我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的有机整合, 以利于学生认识数学的本质。 本节课我们用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容,增大了课堂容量,使学生对重点 内容的掌握更深入。

6


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