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江苏省宿迁市泗阳县2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


江苏省宿迁市泗阳县 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则 i 2. (5 分)已知函数 f(x)=
2015

=.

,则 f′(x)=.

3. (5 分)按三段论式推理,进行如下推理.大前提:所有的车子都有四个轮子.小前提: 自行车是车子. 结论: . 4. (5 分)已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 分别对应复数 3+3i,﹣2+i,﹣5i, 则第四个顶点 D 对应的复数为. 5. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=5,则 z 的虚部为. 6. (5 分)如图,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线,则 f(5)+f′(5)=.

7. (5 分)用反证法证明命题:“如果 a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能 被 5 整除”时,假设的内容应为. 8. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,则 f′(2)的值等于. 9. (5 分)f(n)=1+ + +…+ (n∈N ) ,计算可得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f (16)>3,f(32)> ,推测当 n≥2 时,有.
* 2

10. (5 分)若 Z∈C,且|Z+2﹣2i|=1,则|Z﹣2﹣2i|的最小值是. 11. (5 分)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(a≠0) ,若函数 f(x)在 x=a 处取到极大值, 则实数 a 的取值范围是.

12. (5 分)已知点 A(x1,a ) ,B(x2,a )是函数 y=a (a>1)的图象上任意不同两点, 依据图象可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立.运用类比思想方法可知,若点 A(x1,sinx1) ,B(x2,sinx2) 是函数 y=sinx(x∈(0,π) )的图象上任意不同两点,则类似地有成立. 13. (5 分)设动直线 x=m 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则|MN| 的最小值为. 14. (5 分)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,f′(x)为 f(x)的导函数,已知 y=f′ (x)的图象如图所示,则 f(x)>2x+4 的解集为.
2

x1

x2

x

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤. 15. (14 分)已知复数 z1=1+2i,z2=﹣2+i, = + .

(1)求 z3; (2)若复数 z 满足 z+z1 为实数,且 z(z2﹣z3)为纯虚数,求 z. 16. (14 分) (1)证明:正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离和为定值. (2)通过对(1)的类比,提出正四面体的一个正确的结论,并予以证明. 17 . (14 分)已知函数 f(x)=ax +3x ﹣12x+1(a∈R) ,且当△ x→0 时, →0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间的最大值与最小值. 18. (16 分)已知 f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)是否存在实数 a 使函数 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明 理由; (3)在(1)的条件下,证明不等式 f(x)> + ,x∈(0,e]恒成立.
3 2

19. (16 分)如图,在圆心角为变量 2θ(0<2θ<π)的扇形 OAB 内作一半径为 r 的内切圆 P,再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆 P 外切的小圆 Q,圆 P 与圆 Q 相切于 C 点, 圆 P 和圆 Q 与半径 OA 分别切于 E,D 两点. (1)当圆 Q 的半径不低于 时,求 θ 的最大值; 取得最大值时, 扇形被称之为“最理想扇形”. 求

(2) 设 BH 为点 B 到半径 OA 的距离, 当 “最理想扇形”的面积.

20. (16 分)设函数 f(x)=e ﹣ax,其中 e 是自然 对数的底数,a∈R. (1)若函数 y=f(x)的图象在 x=ln2 处的切线 l 的倾斜角为 0,求切线 l 的方程; (2)记函数 y=f(x)图象为曲线 C,设点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) ) (x1<x2)是 曲线 C 上不同的两定点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N, 记直线 AB 的斜率为 k.若 x1=﹣x2,试问:曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB? 请说明理由.

x

江苏省宿迁市泗阳县 2014-2015 学年高二下学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 2015 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则 i =﹣i. 考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的周期性、运算法则即可得出. 4 解答: 解:∵i =1. 2015 4 503 3 ∴i =(i ) ?i =﹣i. 故答案为:﹣i. 点评: 本题考查了复数的周期性、运算法则,属于基础题.

2. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f′(x)=



考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 将已知式子写成幂的形式,利用全等公式解答. 解答: 解:原式= 所以 f'(x)= 故答案为: . , = = ;

点评: 本题考查了求导公式的运用;对于根式型函数求导,一般化为幂的形式求导. 3. (5 分)按三段论式推理,进行如下推理.大前提:所有的车子都有四个轮子.小前提: 自行车是车子. 结论:自行车有四个轮子. 考点: 演绎推理的意义. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论 的演绎推理.在三段论中,含有大项的前提叫大前提,如本例中的“所有的车子都有四个轮 子”;含有小项的前提叫小前提,如本例中的“自行车是车子”,另外一个是结论. 解答: 解:大前提:所有的车子都有四个轮子. 小前提:自行车是车子. 结论:自行车有四个轮子 故答案为:自行车有四个轮子. 点评: 三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理.它包含两个性质判断构成的前提, 和一个性质判断构成的结论. 一个正确的三段论有仅有三个词项, 其中联系大小前提的词项 叫中项;出现在大前提中,又在结论中做谓项的词项叫大项;出现在小前提中,又在结论中 做主项的词项叫小项. 4. (5 分)已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 分别对应复数 3+3i,﹣2+i,﹣5i, 则第四个顶点 D 对应的复数为 5﹣3i. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ ∴ 复数的代数表示法及其几何意义. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则即可得出. 解:∵平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 分别对应复数 3+3i,﹣2+i,﹣5i, =(0,﹣5)﹣(﹣2,1)=(2,﹣6) .

=(3,3)﹣(﹣2,1)=(5,2) , =(7,﹣4) ,



+

=(﹣2,1)+(7,﹣4)=(5,﹣3) ,

∴第四个顶点 D 对应的复数为 5﹣3i. 故答案为:5﹣3i. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则,属于基础题.

5. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=5,则 z 的虚部为 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:∵(3﹣4i)z=5, ∴(3+4i) (3﹣4i)z=5(3+4i) , ∴25z=5(3+4i) , ∴z= .

则 z 的虚部为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 6. (5 分)如图,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线,则 f(5)+f′(5)=7.

考点: 导数的几何意 义. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的几何意义,f'(5)是曲线在(5,5)处的切线斜率为: 又 f(5)=5,可得. 解答: 解:由题意,f'(5)= =2,f(5)=5, =2,

所以 f(5)+f′(5)=7; 故答案为:7. 点评: 本题考查了导数的几何意义.属于基础题. 7. (5 分)用反证法证明命题:“如果 a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能 被 5 整除”时,假设的内容应为 a,b 都不能被 5 整除.

考点: 反证法. 专题: 阅读型. 分析: 反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此 得出此命题是成立的. 解答: 解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定 成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除.”的否定是“a,b 都 不能被 5 整除”. 故答案为:a,b 都不能被 5 整除 . 点评: 反证法是命题的否定的一个重要运用, 用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题 的技巧. 8. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,则 f′(2)的值等于 .
2

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 导数的概念及应用. 2 对等式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,求导数,然后令 x=2,即可求出 f′(2)的值. 2 解:∵f(x)=x +3xf′(2)+lnx,

∴f′(x)=2x+3f′(2)+ , 令 x=2,则 f′(2)=4+3f′(2)+ 即 2f′(2)=﹣ , ∴f′(2)=﹣ . 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查导数的计算,要注意 f'(2)是个常数,通过求导构造关于 f'(2)的 方程是解决本题的关键. 9. (5 分)f(n)=1+ + +…+ (n∈N ) ,计算可得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f (16)>3,f(32)> ,推测当 n≥2 时,有 f(2 )≥
n *



考点: 归纳推理. 专题: 规律型.

分析: 已知的式子可化为 f(2)= f(2 )>
5

,f(2 )> .

2

,f(2 )>

3

,f(2 )>

4



,由此规律可得 f(2 )≥

n

解答: 解:已知的式子 f(2)= , f(4)>2, f(8)> , f(16)>3, f(32)> ,… 可化为:f(2)= f(2 )> f(2 )> f(2 )> f(2 )> … 以此类推,可得 f(2 )≥ 故答案为:f(2 )≥ 点评: 本题考查归纳推理,把已知的式子变形找规律是解决问题的关键,属基础题. 10. (5 分)若 Z∈C,且|Z+2﹣2i|=1,则|Z﹣2﹣2i|的最小值是 3. 考点: 复数的基本概念;复数求模. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 考虑|Z+2﹣2i|=1 的几何意义,表示以(﹣2,2)为圆心,以 1 为半径的圆,|Z﹣2 ﹣2i|的最小值,就是圆上的点到(2,2)距离的最小值,转化为圆心到(2,2)距离与半径 的差. 解答: 解:|Z+2﹣2i|=1 表示复平面上的点到(﹣2,2)的距离为 1 的圆, |Z﹣2﹣2i|就是圆上的点,到(2,2)的距离的最小值,就是圆心 到(2,2)的距离减去半径, 即:|2﹣(﹣2)|﹣1=3 故答案为:3 点评: 本题考查复数的基本概念,复数求模,考查转化思想,是基础题.
n n 5 4 3 2



, , , ,



11. (5 分)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(a≠0) ,若函数 f(x)在 x=a 处取到极大值, 则实数 a 的取值范围是(﹣1,0) . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先对 f′(x)进行因式分解,再讨论 a 的正负,以及 a 与﹣1 的大小,分别判定在 x=a 处的导数符号,确定是否在 x=a 处取到极大值,即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意得,f′(x)=a=a(x+1) (x﹣a) , ∵f(x)在 x=a 处取到极大值, ∴必有 x<a 时,f′(x)>0,且 x>a 时,f′(x)<0, (1)当 a>0 时, 当﹣1<x<a 时,f′(x)<0,当 x>a 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; (2)当 a=0 时,函数 f(x)无极值,不符合题意; (3)当﹣1<a<0 时, 当﹣1<x<a 时,f′(x)>0,当 x>a 时,f′(x)<0, 则 f(x)在 x=a 处取到极大值,符合题意; (4)当 a=﹣1 时,f′(x)≤0,函数 f(x)无极值,不符合题意; (5)当 a<﹣1 时, 当 x<a 时,f′(x)<0,当 a<x<﹣1 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; 综上所述﹣1<a<0, 故答案为: (﹣1,0) . 点评: 本题考查了函数在某点取得极值的条件,以及导数与函数的单调性、极值的关系 , 考查了分类讨论思想,属于中档题. 12. (5 分)已知点 A(x1,a ) ,B(x2,a )是函数 y=a (a>1)的图象上任意不同两点, 依据图象可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立.运用类 比思想方法可知,若点 A(x1,sinx1) ,B(x2,sinx2) 是函数 y=sinx (x∈ (0, π) ) 的图象上任意不同两点, 则类似地有 成立. 考点: 类比推理. 专题: 探究型;推理和证明. 分析: 由类比推理的规则得出结论, 本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函 数,而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数,其类比方式可知. x 解答: 解:由题意知,点 A、B 是函数 y=a (a>1)的图象上任意不同两点,函数是变化 率逐渐变大的函数,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结 成立;
x1 x2 x

而函数 y=sinx(x∈(0,π) )其变化率逐渐变小,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图 象的下方,故可类比得到结论 故答案为: . .

点评: 本题考查类比推理, 求解本题的关键是理解类比的定义, 及本题类比的对象之间的 联系与区别,从而得出类比结论. 13. (5 分)设动直线 x=m 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则|MN| 的最小值为 .
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 两个函数作差,得到函数 y=f(x)﹣g(x) ,再求此函数的最小值,即可得 到结论. 解答: 解:设函数 y=f(x)﹣g(x)=x ﹣lnx(x>0) ,求导数得 y′=2x﹣ = >0) , 令 y′<0,∵x>0,∴0<x< 令 y′>0,∵x>0,∴x> ∴x= ,∴函数在(0, )上为单调减函数,
2

(x

,∴函数在(

,+∞)上为单调增函数,

时,函数取得最小值为

= + ln2

即|MN|的最小值为 + ln2 . 故答案为; + ln2 点评: 本题考查导数知识的运用,解题的关键是构造函数,确定函数的单调性,从而求出 函数的最值 14. (5 分)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,f′(x)为 f(x)的导函数,已知 y=f′ (x)的图象如图所示,则 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) .

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象. 专题: 导数的综合应用.

分析: 令 g(x)=f(x)﹣2x﹣4,求出 g(x)的导数,得到 g(x)在 R 上单调递增,由 g(﹣1)=0,从而求出 f(x)>2x+4 的解集. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, ∴g′(x)=f′(x)﹣2, 而 f′(x)>2, ∴g′(x)>0, ∴g(x)在 R 上单调递增, ∵g(﹣1)=f(﹣1)﹣2×(﹣1)﹣4=0, ∴f(x)>2x+4 的解集是(﹣1,+∞) , 故答案为: (﹣1,+∞) . 点评: 本题考察了函数的单调性,考察导数的应用,构造新函数 g(x)是解题的关键, 是一道基础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤. 15. (14 分)已知复数 z1=1+2i,z2=﹣2+i, = + .

(1)求 z3; (2)若复数 z 满足 z+z1 为实数,且 z(z2﹣z3)为纯虚数,求 z. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)利用复数的运算法则、模的计算公式即可的; (2)利用复数为实数、纯虚数的定义即可得出. 解答: 解: (1)由复数 z1=1+2i,z2=﹣2+i,∴ =1 +2 =5,
2 2

=(﹣2) +1 =5.

2

2



=

+

=

=

=﹣1+2i.

故 z3=﹣1﹣2i; (2)设 z=x+yi(x,y∈R) . 由 z+z1 为实数,得 y+2=0,即 y=﹣2. 又 z2﹣z3=(﹣2+i)﹣(﹣1﹣2i)=﹣1+3i, 则 z(z2﹣z3)=(x﹣2i) (﹣1+3i)=6﹣x+(3x+2)i 为纯虚数,得 ,

∴x=6, ∴z=6﹣2i. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数为实数、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 16. (14 分) (1)证明:正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离和为定值. (2)通过对(1)的类比,提出正四面体的一个正确的结论,并予以证明.

考点: 类比推理;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 证明题;推理和证明. 分析: (1)利用等面积,即可证明结论; (2)根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质,一般遵循“点到线”,“线到面”, “面到体”等原则,由在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”,是 一个与线有关的性质, 由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质, 再由割补法可证明结 论. 解答: (1)证明:图 1 所示,设 P 是正三角形 ABC 内任一点(不与顶点重合) , 点 P 到正三角形三边的距离分别为 h1,h2,h3,三角形边长为 a,高为 h, 则三角形的面积 S= ah= ah1+ ah2+ ah3,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 即 h=h1+h2+h3. 所以,正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离和为定值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)类比的结论是:正四面体内任一点(不与顶点重合) 到它的四个面的距离和为定值.﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 下面给出证明:如图 2: 设点 P 为正四面体 ABCD 内部任一点,且点 P 到四个面的距离分别为 PM1,PM2,PM3, PM4,正四面体的高为 h, 则点 P 将四面体分成四个共顶点的三棱锥. 因为 ABCD 为正四面体,所以四个面面积相同, 由 VP﹣BCD+VP﹣ACD+VP﹣ABD+VP﹣ABC=VABCD 得:PM1+PM2+PM3+PM4=h.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (14 分)

点评: 本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的 相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的命题 (猜 想) . 17. (14 分)已知函数 f(x)=ax +3x ﹣12x+1(a∈R) ,且当△ x→0 时, →0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间的最大值与最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意可得 f′(1)=0,求出导数,解方程可得 a=2,由导数大于 0,可得增 区间,由导数小于 0,可得减区间;
3 2

(2)由(1)可得 x=﹣2 取得极大值,x=1 处取得极小值,求得 f(﹣3)和 f(3) ,即可得 到最值. 解答: 解: (1)当△ x→0 时,
2

→0,即 f′(1)=0,

又 f′(x)=3ax +6x﹣12,则 3a+6﹣12=0,故 a=2; 2 所以 f′(x)=6x +6x﹣12, 令 f′(x)>0,解得 x<﹣2 或 x>1, 所以函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣2)和(1,+∞) ; 令 f′(x)<0,解得﹣2<x<1,所以函数 f(x)的单调减区间为(﹣2,1) ; 3 2 (2)f(x)=2x +3x ﹣12x+1, 由(1)列表如下: x ﹣3 (﹣3,﹣2) ﹣2 (﹣2,1) 1 (1,3) 3 f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 10 递增 21 递减 ﹣6 递增 46 从上表可知,函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极大值,在 x=1 时取得极小值, 又因为 f(﹣3)=10>﹣6,f(3)=46>21, 所以函数 f(x)在区间上的最大值是 46,最小值是﹣6. 点评: 本题考查导数与极限的关系,导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查运算能 力,属于中档题. 18. (16 分)已知 f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)是否存在实数 a 使函数 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明 理由; (3)在(1)的条件下,证明不等式 f(x)> + ,x∈(0,e]恒成立.

考点: 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函 数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)将 a=1 代入函数的表达式,求出 f(x)的导数,得到函数 f(x)的单调区间, 从而求出函数的极值; (2)先求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,得到函数的单调区间,从而求出 a 的 值; (3)令 g(x)= + ,x∈(0,e],通过求出 g(x)的导数,得到 g(x)的单调区间,

从而求出故 g(x)max,进而得到 f(x)min>g(x)max,问题得证. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ = 令 f′(x)>0,解得:1<x≤e,令 f′(x)<0,解得:0<x<1, ∴函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,e]上单调递增, 且当 x∈(0,e]时,f(x)有极小值 f(1)=1; (2)由 f(x)=ax﹣lnx,得 f′(x)=a﹣ = ,x∈(0,e], ,x∈(0,e],

当 a≤ 时,有 f′(x)≤0 恒成立,此时函数在(0,e]上单调递减, ∴f(x)min=f(e)=ae﹣lne=ae﹣1=3,∴a= (舍) , 当 a> 时, 令 f′(x)>0,解得: <x<e,令 f′(x)<0,解得:0<x< , ∴函数 f(x)在(0, )单调递减,在( ,e)上单调递增, ∴f(x)min=f( )=1﹣ln =3,∴a=e , 综上,a=e 时满足条件. (3)由(1)知,当 x∈(0,e)时,f(x)有极小值 f(1)=1, 令 g(x)= + ,x∈(0,e],则 g′(x)= ,
2 2

当 x∈(0,e]时,g(x)>0,则 g(x)在(0,e]上单调递增, 故 g(x)max=g(e)= + , ∴f(x)min>g(x)max, 因此,不等式 f(x)> + ,x∈(0,e]恒成立.

点评: 本题考察了函数的单调性,极值问题,考察导数的应用,是一道中档题. 19. (16 分)如图,在圆心角为变量 2θ(0<2θ<π)的扇形 OAB 内作一半径为 r 的内切圆 P,再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆 P 外切的小圆 Q,圆 P 与圆 Q 相切于 C 点, 圆 P 和圆 Q 与半径 OA 分别切于 E,D 两点. (1)当圆 Q 的半径不低于 时,求 θ 的最大值; 取得最大值时, 扇形被称之为“最理想扇形”. 求

(2) 设 BH 为点 B 到半径 OA 的距离, 当 “最理想扇形”的面积.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意得 OA= 解不等式解正弦函数的单调性可得; ,QD= r,由 QD≥ 可得 sinθ 的不等式,

(2)可得

=2cosθ(1+sinθ) ,设 f(θ)=cosθ(1+sinθ) ,θ∈(0,

) ,由导数法可得函

数的最值,可得结论. 解答: 解: (1)由题意得 OP= 又 OP+PE=OA,∴ 又 OQ= ∴QD= = , r, = +QD+r,

+r=OA,∴OA=

且 OP=OQ+CQ+PC,∴ r ,即 QD≥ 也即

则当圆 Q 的半径不小于
2

r≥

r,

整理得 10sin θ﹣7sinθ+1≤0,即 ≤sinθ≤ , 又 θ∈(0, ) ,y=sinθ 在 θ∈(0, ; r=2cosθ(1+sinθ)r, ) , )单调增,

故 θ 的最大值为

(2 )∵BH=OBsin2θ=sin2θ× ∴

=2cosθ(1+sinθ) ,设 f(θ)=cosθ(1+sinθ) ,θ∈(0,
2 2

则 f′(θ)=﹣s inθ(1+sinθ)+cos θ=﹣2sin θ﹣sinθ+1 令 f′(θ)>0 可解得﹣1<sinθ< ,可得 θ∈(0, 同理令 f′(θ)<0 可得 θ∈( 则当 θ∈(0, , ) , , )时,f(θ)为减函数, ) ,

)时,f(θ)为增函数,当 θ∈(

∴当 θ=

时,

取得最大值,此时 OA=

r=3r,

故“最理想扇形”的面积为

=

=

点评: 本题考查导数和三角函数的综合应用, 涉及新定义和导数法判函数的单调性, 属难 题. 20. (16 分)设函数 f(x)=e ﹣ax,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)若函数 y=f(x)的图象在 x=ln2 处的切线 l 的倾斜角为 0,求切线 l 的方程; (2)记函数 y=f(x)图象为曲线 C,设点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) ) (x1<x2)是 曲线 C 上不同的两定点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N,
x

记直线 AB 的斜率为 k .若 x1=﹣x2,试问:曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB? 请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用函数 y=f(x)的图象在 x=ln2 处的切线 l 的倾斜角为 0,求出 a, 即可求切线 l 的方程; (2)设出线段 AB 的中点 M 的坐标,得到 N 的坐标,由两点式求出 AB 的斜率,再由导数 得到曲线 C 过 N 点的切线的斜率,由斜率相等得 调性,即可得出结论. 解答: 解:f′(x)=e ﹣a.﹣﹣﹣﹣(1 分) (1)由函数 y=f(x)的图象在 x=ln2 处的切线 l 的倾斜角为 0, 即 f′(ln2)=tan0=0, ln2 则 e ﹣a=0,即 a=2,﹣﹣﹣(3 分) 又 f(ln2)=2﹣2ln2, 故切线 l 的方程为 y=2﹣2ln2;﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)由题意知 x1=﹣x2,k= ﹣a= ﹣a,﹣﹣﹣﹣(8 分)
x

﹣a=1﹣a,构造函数,确定单

点 N 的横坐标

=0 为,

曲线 C 在点 N 处切线斜率 k′=f′(0)=1﹣a,﹣﹣﹣﹣(10 分) 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB, 则
x

﹣a=1﹣a,即



﹣2x2=0,其中 x2>0,﹣﹣﹣﹣(12 分)
x

设 g(x)=e ﹣

﹣2x(x>0) ,g′(x)=)=e +

﹣2≥0,

则 g(x)在(0,+∞)上单调递增,则 g(x)>g(0)=0,﹣﹣﹣﹣(14 分) 故 ﹣ ﹣2x2=0 不成立,

因此曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB.﹣﹣﹣﹣(16 分) 点评: 本题考查利用导数求函数的切线方程, 训练了利用构造函数法证明问题, 是压轴题.


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