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15【数学】3.1.1《方程的根与函数的零点》课件(新人教A版必修1)


提出问题:

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根与 2 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象有什么 关系?
2

先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的 二次函数的图象: 方程 方程
x2 - 2 x - 3 ? 0
2 x - 2x ? 1 ? 0 2 x - 2x ? 3 ? 0

与函数 与函数

y ? x2 - 2 x - 3 y ? x2 - 2 x ? 1 y ? x2 - 2x ? 3

方程

与函数

指出: (1)方程x2-2x-3=0 的根与函数

8

6

y= 间的关系;

x2-2x-3的图象之

h?x? = ?x2-2?x?+3 g?x? = ?x2-2?x?+1
4

f?x? = x2-2?x-3

(2)方程x2-2x+1=0 的根与函数 y= 间的关系; x2-2x+1的图象之
-5 2

(3)方程x2-2x+3=0 的根与函数
y= x2-2x+3的图象之 间的关系.

O

5

-2

-4

一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二 次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的图象有如下关系:
判别式 ?=b2-4ac

?>0
y

??0
y

?<0
y

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根

x1

x2

x

x1=x2

x

x

有两个不等的 实数根x1,x2 (x1,0), (x2,0)

有两个相等实 数根x1=x2 (x1,0)

没有实数根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 的交点

没有交点

结论:一元二次方程的根与相应的二次函数 图象的关系是
若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函 数的图象与x轴交点的横坐标; 若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图 象与x轴没有交点.

想一想:推广到一般情形又怎样呢?
推广到一般情形是: 函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况 方程f(x)=0的实根情况

引出函数零点的概念

定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 剖析概念,你能得出什么结论吗?

结论:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实
数根。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

想一想,怎样求函数的零点呢? 求函数的零点有两种方法: ①代数法:求方程f(x)=0的实数根; ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点。 下面我们来探究二次函数的零点情况 1、用代数法探究 2 结论:二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) (1)△>0,二次函数有两个零点; (2)△=0,二次函数有一个二重零点或二阶 零点; (3)△<0,二次函数没有零点。

2、用数形结合法探究(以 y ? x - 2 x - 3 为例) 2 观察二次函数 y ? x - 2 x - 3 的图象,填空:
2

①在区间[-2,1]上有零点 -1 ; f(-2)= 5 ;f(1)= - 4 ; f(-2)· f(1) < 0。 ②在区间[2,4]上有零点 3 f(2)· f(4) < 0。

y

; -1 0
-4

1

3

x

想一想:怎样判断一个函数在给定区间 上是否存在零点呢? 让我们来看一个例子

观察下面函数y=f(x)的图象

①在区间[a,b]上 有 (有/无 零点;f(a)· f(b) < 0.

·

a

·

b

· ·

c

d

②在区间[b,c]上 有 (有/无零点); f(b)· f(c) < 0. ③在区间[c,d]上 有 (有/无零点);f(b)· f(c)

< 0.

?你知道判断一个函数在给定 区间上是否存在零点的方法了吗?

连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得 f(c )=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,是否 一定有f(a)· f(b)<0?

巩固深化

例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
分析:先说明它存在零点,再求零点的个数。
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 (表3--1)和图象(图3.1--3).

表3--1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

6

由表3--1和图3.1--3 可知,f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· <0,说明 f(3) 这个函数在区间(2,3) 内有零点。 由于函数f(x)在定义 域(0,+∞)内是增函数, 所以它仅有一个零点.
-5

4

2

f?x? = ?ln?x?+2 ?x?-6

0

1

2

3

4

5

10

-2

-4

图3.1--3

2 f 练习.函数 ( x) ? ln x 的零点所在的大致 x 区间是( )

A . (1, 2)

B . (2, 3) D . (e, +∞)

1 C . (1, ) 和(3, 4) e

分析:从已知的区间(a,b) ,求f(a),f(b),判 断是否有f(a)· f(b)<0. 解:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,故在(1,2)内 没有零点,非A.又f(3)=ln3-2/3>0,所以 f(2)· f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点,选 B.

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次 函数y= ax2+bx+c (a≠0)的图象的关系; 2、函数零点的概念;

3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法。

习题3.1

第2、3题


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