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3.2 回归分析(1)


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3.2
教学目标:

回归分析(1)
葛文明

扬州市新华中学

1.通过对典型案例的探究,了解回归的基本思想、方法及初步应用. 2.培养学生的应用意识和解决实际问题的能力. 3.经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法.

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教学重点: 线性回归模型的建立. 教学难点: 线性回归模型系数最佳估计值的探求方法.

教学方法: 问题链导学法.

教学过程: 一、问题情境 对一作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下数据,试估计当 x=9s 时的位置 y 的值, 时刻 x/s 位置观测值 y/cm 1 5.54 2 7.52 3 10.02 4 11.73 5 15.69 6 16.12 7 16.98 8 21.06

根据《数学必修 3》中有关内容,解决这个问题的方法是:先作散点图,如 下图所示.

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25

20 15
10 5 0 0 2 4 6 8 10

从散点图中可以看出,样本点呈直线趋势,时间 x 与位置预测值 y 之间有着 较好的线性关系. 因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系.根据线性回 归系数公式,可以得到线性回归方程为 ?=3.5361 2.1214x ,所以当 x=9 时,由 y + 线性回归方程可以估计其位置值为 ? 22.6287 . y= 问题 1 在时刻 x=9 时,质点的运动位置一定是 22.6287cm 吗?

二、学生活动 由学生思考,讨论:这些点并不都在同一条直线上,上述直线并不能精确的 反映 x 与 y 之间的关系,x 与 y 之间具有的是相关关系,y 的实际值与估计值之 间存在着误差. 通过上述实例,让学生研究产生误差的各种可能的因素. 三、数学建构 1.线性回归模型的定义. 我们将用于估计 y 值的线性函数作为确定性函数,y 的实际值与估计值的误 差记为 ε,则称 y=a+bx+ε 为线性回归模型. 2.线性回归模型的合理性研究. 观察散点图只是一种粗略的方法,如何较为精细地刻画线性相关的程度? 问题 2 如何确定线性回归模型是否合理? 这个问题在后续课中解决,并提出:

教师说明 问题 3

在模型合理的情况下,如何估计 a,b?

? ? 引导学生通过随机误差,利用最小二乘思想得到 a 和 b 的估计值 a 和 b .
四、数学运用

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例1

下表给出了我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料,试根据表中数据

估计我国 2004 年的人口数. 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1171 1246

人口数/百万 542 解 x y

为了简化数据,先将年份减去 1949,得到下表 0 542 5 603 10 672 15 705 20 807 25 909 30 975 35 40 45 50

1035 1107 1171 1246

作出散点图, 根据公式可得线性回归方程为 ?=527.591 14.453x ,由于 2004 y + 对应的 x=55,代入线性回归方程可得 ? 1322.506(百万) ,即 2004 年的人口为 y= 13,23 亿,
1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 10 20 30 40 50 60

练习:P109 练习 1. 五、作业:P112 习题 3.2 第 2 题. 六、要点归纳与方法小结 1. 线性回归模型: 我们将 y=a+bx+ε 称为线性回归模型, 称为随机误差; ε 2.线性回归模型应考虑的问题: (1)模型是否合理; (2)在合理的情况下, 如何求 a,b; 3.线性回归方程.


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