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第2讲 空间几何体的表面积与体积 2


第2讲
考纲直击:

空间几何体的表面积与体积

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与 球的接切问题相结合,难度有所增大.

复习指导:
本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简 单的问题.

基础

梳理
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 圆柱 圆锥 积 体 积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π(r2 3 3 1 +r2 2+r1r2)h 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和. S 侧=Ch 1 S 侧= Ch′ 2 1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4πR2 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

S 侧=2πrh S 侧=πrl

圆台

S 侧=π(r1+r2)l

两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形, 明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正

方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体 的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的 轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点” 作出截面图. (2)等积法: 等积法包括等面积法和等体积法. 等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或 体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别 是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形 (或三棱锥)的 高,而通过直接计算得到高的数值.

双基自测
1.(人教 A 版教材习题改编)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个 圆柱的侧面积是( A.4πS C.πS ). B.2πS 2 3 D. πS 3

2.(2012· 东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为( A.3πa2 B.6πa2 ). C.12πa2 D.24πa2

3.(2011· 北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( A.8 C.10 B.6 2 D.8 2 ).

. 图1 图2

4.(2011· 湖南)如图 2 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( 9 A. π+12 2 C.9π+42 9 B. π+18 2 D.36π+18

).

5.若一个球的体积为 4 3π,则它的表面积为________.

考向一 空间几何体与三视图 例 1. 一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为(



A

B

C

D

练习 1.如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为( A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 、



例 2.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是

图1

A

B

C

D

练习 2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(



考向二

几何体的表面积

例 3、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ).

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进 行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

练习 3、某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

( A. 180 B. 200 C. 220 D. 240



考向三

几何体的体积

例 2、(2011· 广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为( ).

A.18 3

B.12 3

C.9 3

D.6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公式求解.

以三视图为载体考查几何体的体积, 解题的关键是根据三视图想象原几何体的形 状构成, 并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, 然后在直观图中求解. 训练、 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( 28 A. π 3 4 C. π+8 3 16 B. π 3 D.12 π ).


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