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复合函数的单调性


广州四中数学科七步教学法导学案——复合函数的单调性

复合函数的单调性
一、目标 1.理解 y ? f [ g ( x)] 型复合函数的定义,会用换元法将复合函数拆分成两个函数 2.理解复合函数单调性法则,能用“法则”解决一些复合函数的单调性问题 二、新知 1.四种函数的单调性: 函数 单调性 y ? kx ? b 当 k ? 0 时, 当 k ?

0 时, 函数在 R 上 函数在 R 上 (k ? 0)

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

当 a ? 0 时, 函数在 函数在 当 a ? 1 时, 函数在 当 a ? 1 时, 函数在 上 上单调递减 上单调递增

当 a ? 0 时, 函数在 函数在 当 0 ? a ? 1 时, 函数在 当 0 ? a ? 1 时, 函数在
2

上单调递减 上单调递增

y?a (a ? 0,a ? 1)
x



y ? loga x (a ? 0,a ? 1)





2.我们常常会遇到一些复杂的函数,如, y ? 0.7 x 、 y ? log2 ( x2 ? 2x) . 如何求这些函数的单调性呢?下面以 y ? 0.7 x 为例,来进行研究. (1)先换元,将其拆分成两个简单的函数:令 y ? 0.7u , u ? x .
2
2

y 是 u 的函数, y ? f (u) ? 0.7u ;

u 是 x 的函数, u ? g ( x) ? x2 ,
y 关于 x 的函数 y ? 0.7 x 可以写成 y ? f [ g ( x)] ,叫做 f 和 g 的复合函数.
(2)复合函数的单调性与 f 和 g 都有关. ①当 x ? (??, 0) 时, u ? g ( x) ? x2 是 x 的减函数,
2

0) ,且 x1 ? x2 时,有 u1 ? u2 ; 即任取 x1、x2 ? (??,
而 y ? f (u) ? 0.7u 在 R 上是 u 的减函数,即当 u1 ? u2 时,有 y1 ? y2 ;

0) ,且 x1 ? x2 时,有 y1 ? y2 . 即任取 x1、x2 ? (??,
故 y ? 0.7 x 在 (??, 0) 上单调递增. ②当 x ? (0, ? ?) 时, u ? g ( x) ? x 是 x 的
2
2

函数,

0) ,且 x1 ? x2 时,有 u1 即任取 x1、x2 ? (??,
而 y ? f (u) ? 0.7 在 R 上是 u 的
u

u2 ; u2 时,有 y1 y2 ; y2 .


函数,即当 u1

? ?) ,且 x1 ? x2 时,有 y1 即任取 x1、x2 ? (0,
? ?) 上单调递 故 y ? 0.7 在 (0,
x x2
2

0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递减. 综上, y ? 0.7 在 (??,
1

广州四中数学科七步教学法导学案——复合函数的单调性

3.复合函数单调性法则

u ? g ( x)
增函数 减函数 增函数 减函数

y ? f (u )

y ? f [ g ( x)]

增函数 减函数 减函数 增函数

增函数 增函数 减函数 减函数

(口诀:同增异减) 4.求复合函数单调性的步骤 (1)第一步,求函数的定义域; (2)第二步,换元,将函数拆分成两个函数; ( 3 )第三步,结合定义域,考虑 f 和 g 的单调区间,利用复合函数单调性法则,得到 y ? f [ g ( x)] 的单调性. 三、典例 例 1 求函数 y ? log2 ( x2 ? 2x) 的单调递增区间、单调递减区间.

四、练习 (1)函数 y ? 2 x 在 (??, 0) 上单调递
2

1

,在 (0, ? ?) 上单调递



(2)求函数 y ? log0.5 ( x ? 4x ? 3) 的单调递增区间、单调递减区间.

2


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