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镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题


镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题
2013. 1.25 注意事项: 1. 本试卷共 4 页, 包括填空题 (第 1 题~第 14 题) 解答题 、 (第 15 题~第 20 题) 两部分. 本 试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指 定位置. 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在试卷的指定位置,在其它位置作答 一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. ........ 1.已知集合 M={1 ,2,3, 4,5},N={2,4,6,8,10},则 M∩N= ▲ . ▲ . ▲ .

? ? ? ? 2.已知向量 a ? (1 ? 2 x,2) , b = ? 2, ?1? ,若 a ? b ,则实数 x ?

3.直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? 4.方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 ▲ 个不同的实数根.

5. 已知 ? ? 0 ,函数 y ? 3sin(?? x ?

?
4

) 的周期比振幅小 1,则 ? ?


▲ .



6. 在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C =

7. 在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2 S 4 ? 3 , a6 ? 2 S5 ? 3 ,则此数列的 公比 q 为 ▲ . 3 1 1 3 1 4 1 1 3 1 4 1 × =1- 2, × + × 2=1- , × + × 2 2 1×2 2 1×2 2 2×3 2 3×22 1×2 2 2×3 2

8. 观察下列等式:

5 1 1 + × 3=1- ,…,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N*, 3×4 2 4×23 n+2 3 1 4 1 1 × + × 2+…+ × n= 1×2 2 2×3 2 n?n+1? 2 ▲ .

9. 圆心在抛物线 x 2 ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程 为 ▲ .

10. 在菱形 ABCD 中, AB ? 2 3 , ?B ? 则 EF ? AC ?

? ??? ??? ? ? ???? 2? ??? , BC ? 3BE , DA ? 3DF , 3

??? ???? ?





11.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上, a 2 b2
▲ .

且 PF1 ? 4 PF2 ,则此双曲线离心率的最大值为

12. 从直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 向圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线 PA, PB , A, B 为 切点,则四边形 PACB 的周长最小值为 ▲ .

13. 每年的 1 月 1 日是元旦节,7 月 1 日是建党节,而 2013 年的春节是 2 月 10 日,因为

2sin11? sin 71? sin[(



)? ? 30? ] ? sin 2013? sin 210? ,新年将注定不平凡,请在括

号内填写一个由月份和日期构成的正整数, 使得等式成立, 也正好组成我国另外一个重 要节日. 14. 已知 x,y 为正数,则

x y 的最大值为 ? 2x ? y x ? 2 y





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知 p : 1 ? 2 x ? 8 ; q : 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,
2

若 ? p 是 ? q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分)

??? ???? ? 已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .
(1)求 tan 2 A 的值; ??? ??? ? ? ? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S . 4

17.(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax 3 ? bx( x ? R)图象上相异两点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 , 且 l1 ∥ l2 . (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性;并判断 A, B 是否关于原点对称; (2)若直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,求实数 b 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分) 一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就 先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块 2

1 糖加入盒中, 然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友 3
后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第 n( n ? 1,2,3,? k ) 个小 n ?1

朋友.如果设分给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2)请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存 在,请求出所有的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准 线的距离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标.

20.(本小题满分 16 分)

x2 1 已知函数 f ( x ) ? 2 ,对一切正整数 n ,数列 {an } 定义如下: a1 ? , x ? x ?1 2
且 an ?1 ? f ( an ) ,前 n 项和为 Sn . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间,并求值域; (2)证明 x f ( x ) ? x ? x f ( f ( x )) ? x ; (3)对一切正整数 n ,证明:○ an ?1 ? an ;○ Sn ? 1 . 1 2

?

? ?

?

数学Ⅱ(附加题)
注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 4 个小题供选做,每位考生 在 4 个选做题中选答 2 题,3 题或 4 题均答的按选做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为 必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试用时 30 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.本卷考试结束后,上交答 题卡. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆 珠笔. 21.【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ...... ......... 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演 ... 算步骤. A.(选修 4-1 几何证明选讲) 如图,⊙ 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙ 上一点,AE=AC, O O DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. E A · O C
(第 21-A 题)

F

B D

P

B.(选修 4—2:矩阵与变换)

? ? 求曲线 C : xy ? 1 在矩阵 A ? ? ? ?? ?

2 2 ?    ? 2 2 ? 对应的变换下得到的曲线 C ? 的方程. 2 2?     ? 2 2 ?

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程) 求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ?

? x ? 2 ? 2t , (是参数截得的弦长. ? y ? 1 ? 4t

D.(选修 4—5:不等式选讲) 设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分) 斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. .

23.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2) 若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) ,an ?1 ? ln(2 ? an ) ? an ,n ? N* , 证明 0 ? an ? an ?1 ? 1 .

高三数学期末检测答案及评分标准
2013.01 一、填空题(每题 5 分) 1. ?2,4?; 2. 0; 6. ? 3.

2 ; 3

4. 2; 8. 1 ?

5. 1 ;

1 ; 4

7. 3;

?n ? 1? ? 2 n

1

1 9. ?x ? 1?2 ? ? y ? ? ? 1 ; ? ? 2? ?
13. 101; 【说明】

2

10. ? 12 ; 14. 2 . 3

11.

5 ; 3

12. 4 2 ? 2 ;

13. (10 月 1 日国庆节)本题的一般结论是 4 sin x ? sin 60 0 ? x ? sin 60 0 ? x ? sin 3 x ,可以应用 课本习题中结论 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? 证得. 14. 本题可以进一步推广为:是否存在实数 k ,使得

?

? ?

?

x y x y 当 ? ?k? ? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

xy ? 0 时恒成立?
二、解答题: 15.解: p : 1 ? 2 x ? 8 ,即 0 ? x ? 3 ,……3 分 ? ? p 是 ? q 的必要条件,

? p 是 q 的充分条件,……5 分? 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对 ?x ? ?0,3? 恒成立,……7 分
2

?m ?
?x ?

x2 ? 4 4 ? x ? 对 ?x ? ?0,3? 恒成立,……10 分 x x

4 4 ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? 2 时,等号成立.……13 分 ?m ? 4 .……14 分 x x

【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不 等式应用;考查不等式恒成立问题;考查转化思想. 16.解:(1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c . ??? ???? ? 1 ? AB ? AC ? S ,? bc cos A ? bc sin A ,……2 分 2 2 tan A 4 1 ? ? .……5 分 ? cos A ? sin A , ? tan A ? 2 .……4 分 ? tan 2 A ? 2 3 2 1 ? tan A ??? ??? ? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 ,……6 分 ? tan A ? 2,0 ? A ? ,……7 分 2

? sin A ?

2 5 5 . ……9 分 , cos A ? 5 5

? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . ……11 分 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b? ? sin B ? 5 ,……13 分 sin C sin B sin C ?
1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ? 3 .……14 分 2 2 5 【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查 运算变形和求解能力.
17.解:(1)? f ?? x ? ? a?? x ? ? b?? x ? ? ? ax 3 ? bx ? ? f ?x ? ,……2 分
3

?

?

? f ?x ? 为奇函数.……3 分
设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 且 x1 ? x2 ,又 f ??x ? ? 3ax 2 ? b ,……5 分

? f ?x ? 在两个相异点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ∥ l2 ,
2 2 ? k1 ? f ? ? x1 ? ? 3ax1 ? b ? k2 ? f ? ? x2 ? ? 3ax2 ? b ? a ? 0 ? ,

? x1 ? x2 又 x1 ? x2 ,? x1 ? ? x2 ,……6 分
2 2

又? f ( x ) 为奇函数,

?点 A, B 关于原点对称.……7 分
(2)由(1)知 A?x1 , y1 ?, B?? x1 ,? y1 ? ,

? k AB ?
2

y1 2 ? ax1 ? b ,……8 分 x1

又 f ?x ? 在 A 处的切线的斜率 k ? f ??x1 ? ? 3ax1 ? b , ? 直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,

? k AB ? k ? ?1,
2

?ax

2 1

? b ? 3ax12 ? b ? ?1 ,……9 分

??

?

令 t ? ax1 ? 0 ,即方程 3t 2 ? 4bt ? b 2 ? 1 ? 0 有非负实根,……10 分

? ? ? 0 ? b 2 ? 3 ,又 t1t2 ?

b2 ? 1 4b ?0 , ? ? 0 ? b ? 0 .综上 b ? 3 .……14 分 3 3

【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查 推理论证能力. 21. 解:(1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2

1 ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? 1 ?a2 ? 2? ? 6 .……3 分 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an?1 ? 2? ? n ?an?1 ? 2? ,……6 分 n ?1 n ?1
即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n, ……7 分

a2 ? ?a1 ? 2 ? ?

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,……9 分
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0 .……10 分

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 ,……12 分 n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 ,……14 分 即 (1 ? a0 ) ? 3 ?

1 2

a0 ? a ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 ,……15 分 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列. ……16 分 [注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证 能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上 有 5 名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求 a0 的最小值.

19.解:(1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b
? 椭圆的标准方程为

?c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,……6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m,

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分 2 2

圆心( ?

E 3 D E 3 2 ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D ? m ○,……9 分 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○,……10 分 3

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0, 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ? 2 两式相加得: 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,
x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x1 ? x2 ? (1 ?
2 2

x1 4

2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

? y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○.……12 分

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2

由○○○解得: D ? 2 3 4

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 所以: ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).……16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? 5 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○.……8 分 4 2? ?
方程○与方程○为同解方程. 1 5

1 2m 2( m 2 ? 1) , ……11 分 ? ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ……12 分 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,……13 分 (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问 题;考查运算求解能力和推理论证能力.
20.解:(1)定义域 x ? R,

f ??x ? ?

2 x x 2 ? x ? 1 ? x 2 ?2 x ? 1?

?

?x

?

2

? x ?1

?

2

?

?x

? x2 ? 2x
2

? x ?1

?

2

,……1 分

f ??x ? ? 0 ? 0 ? x ? 2 , f ??x ? ? 0 ? x ? 0或x ? 2 .……2 分 ? 函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?0,2 ? ,单调减区间为 ?? ?,0 ?和?2, ? ? .……3 分
(法一) f ?0 ? ? 0 , f (2) ?

4 ,当 x ? ? 时, f ? x ? ? 3

1 1 ?1? 1? ? ? ? x ?x?
2

? 1 ,……4 分

x ? ( ??,0] 时, f ( x ) 为减函数, f ( x ) ? [0,1) ;
4 ? 4? 当 x ? [0, ??) 时, f ( x ) ? [0, ] ;函数 f ( x ) 的值域为 ?0, ? .……5 分 3 ? 3?
(法二)当 x ? 0 时, f ?0 ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 1? 1 ?1? ?? ? x ?x?
2

?

1 4 ? , 1 1 3 3 ( ? )2 ? x 2 4

且 f ( x ) ? 0 , f (2) ? (法三)判别式法(略)

4 ? 4? ,?函数 f ( x ) 的值域为 ?0, ? .……5 分 3 ? 3?

(2)设 A ? ?x f ( x ) ? x?, B ? ?x f ( f ( x )) ? x? , 设 x0 ? A ,则 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 ,则 x0 ? B ,? A ? B .……6 分 当 x ? 0 时, ? ( x ? 1) 2 ? 0 ?

x x2 ?1? 2 ? x ? f ( x ) ? x 恒成立. x2 ? x ? 1 x ? x ?1

当且仅当 x ? 0,1 时, f ( x ) ? x. ……7 分 令 t ? f ( x ) ,当且仅当 x ? 1 时, t ? f ( x ) ? 1. 当 x ? 0 时,由(1) f ( f ( x )) ? f (t ) ? 0 ,

?当 x ? 0 时, f ( f ( x )) ? x 无解……8 分

当 0 ? x ? 1 时, ? f ( f ( x )) ? f (t ) ? t ? f ( x ) ? x ,

?当 0 ? x ? 1 时, f ( f ( x )) ? x 在无解.……9 分
综上,除 x ? 0,1 外,方程 f ( f ( x )) ? x 无解,

? A ? B.

? x f ( x ) ? x ? x f ( f ( x )) ? x .……10 分

?

? ?

?

an 2 an 2 1 ? (3) ○显然 an ?1 ? 2 1 ,又 a1 ? ,? an ? 0 , 1 2 3 2 a n ? an ? 1 ( a ? ) ? n 2 4

?

an ?1 a 1 1 ? 2 n ? ? ? 1 ,……11 分 an a n ? an ? 1 a ? 1 ? 1 2 ? 1 n an

所以, an ?1 ? an . 若 an ?1 ? an ,则 an ? 1 矛盾.所以 an ?1 ? an .……12 分

a n ?2 1 1 1 1 1 1 2 ○(法一) an ? a 2 ? a 1 ? 1 , ? a ? 1 ? a ? a 2 , ? a ? 1 ? ? a ? a 2 , n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1
? 1 1 ?1 an ? ? 1 1 1 ? an ?1 an ?12 ? ( 1 1 1 ? 1) an ?1 an ?1 ? 1 1 ?1 an ?1 ? 1 , 1 an ?1

? an ?1 ?

1 1 ? (n ? 2), ……14 分 1 1 ?1 ?1 an ?1 an
n ?1 i ?2

? S ? ? ai ?1 ? ? (
i ?2

n ?1

1 1 1 1 a ? )? ? ? 1 ? n ?1 , ……15 分 1 1 1 1 1 ? an ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ai ?1 ai a1 an ?1
?S ? 1? an ?1 ? 1. ……16 分 1 ? an ?1

? 0 ? an ?1 ? an ?

1 2

(法二)? an ?

a n ?2 1 1 1 ……13 分 ? ? 2 1 1 an ?1 ? an ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1

?

1 1 1 1 ……14 分 ? ? ? ? an ?1 ? 1 1 1 1 1 1 ( ? 1) ?1 ? ? 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2

? ?an ?1 ? an ? 2 ?

1 ? 1 an ?3 ? 1
2 an ?3

? ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ?

1 1 ?1 a1

……15 分

? 1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ,

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 .……16 分

【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景,考查函数的图象与性质、导数 的运算与应用;考查函数思想;考查推理论证能力、运算能力. 其中第 2 问证法较多. 本题 可以进一步设计证明

an ?1 1 1 ,可证明对任意正整数 m, n 有 bm , bn 互素. ? n . 如令 bn ? 1 ? an ?1 2 an

理 科 附 加 题 答 案
21.【选做题】 A.证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC,……2 分 又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP,……6 分 从而∠PFD=∠OCP. ……7 分 故△PDF∽△POC.……10 分 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P, ∠PFD=∠OCP,

? ? B.解:设 P( x0 , y0 ) 为曲线 xy ? 1 上的任意一点,在矩阵 A 变换下得到另一点 P?( x0 , y0 ) ,

? 2 2? ?    ? ? ? x0 ? ? x0 ? ? 2 x0 ? ? 2 ?? ? ? 则有 ? ? ? ? ? ,……4 分 即 ? ?? ? ? ? y0   ? 2 2 ? ? y0  ?     ? y0 ? ?? ? ? ? 2 2 ?
? ? x0 ? ? 所以 ? ? ? y0 ? ? 2 ? ? ( x0 ? y0 ), 2 ……8 分 2 ? ? ( x0 ? y0 ), 2

2 ( x0 ? y0 ), 2 2 ( y0 ? x0 ), 2

……6 分

又因为点 P 在曲线 xy ? 1 上,所以 x0 y0 ? 1 ,

? ? 故有 x0 2 ? y0 2 ? 2

即所得曲线方程 x 2 ? y 2 ? 2 .…… 10 分

C. 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:

? ? 3cos ? 即: x 2 ? y 2 ? 3x ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ;……4 分
? x ? 2 ? 2t , 即: 2 x ? y ? 3 ,…… 6 分 ? ? y ? 1 ? 4t ,
3 2? ? 0 ? 3 2 22 ? (?1) 2

3 2

9 4

d?

? 0 ,…… 8 分

即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为 3 .…… 10 分
y y= x+1 + x-2

D. 解:(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象(如图所示),
-3 -2 -1

5 y=5 4 3 2 1 O 1 2 3 x

知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .……5 分

(2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a 由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ? a ? 3, ? a ? ?3 .……10 分 [必做题] 22.解:设直线方程: y ? x ? m , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?, M ?x, y ? 将 y ? x ? m 代入 y 2 ? 2 x ,得 x 2 ? ?2m ? 2 ?x ? m 2 ? 0 ,……2 分
? ? ? ? 2m ? 2 ?2 ? 4m 2 ? 0, ? ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2m, ……6 分 ? x x ? m2 , ? 1 2 ?

?m?

x ? x2 1 1 ,x? 1 ? 1 ? m ? , y ? x ? m ? 1 ,……9 分 2 2 2

1? ? 线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: y ? 1? x ? ? .……10 分 2? ?
23.解:(1)? 函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

? f ??x ? ?

?1 ? a ? 0 在区间 (0,1) 上恒成立,……2 分 2? x

?a ?

1 1 ,又 g ?x ? ? 在区间 (0,1) 上是增函数 2? x 2? x

? a ? g ?1? ? 1 即实数 a 的取值范围为 a ? 1 .……3 分
(2)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 . 当 n ? 1 时, a1 ? (0,1) 成立, ……4 分 假设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 成立,……5 分 当 n ? k ? 1 时,由(1)知 a ? 1 时,函数 f ?x ? ? ln ?2 ? x ? ? x 在区间 (0,1) 上是增函数

? ak ?1 ? f ?ak ? ? ln ?2 ? ak ? ? ak
即 0 ? ak ?1 ? 1 成立, 下证 a n ? an ?1 .

? 0 ? ln 2 ? f ?0 ? ? f ?ak ? ? f ?1? ? 1 ,……7 分

? 当 n ? N ? 时, 0 ? an ? 1 成立.……8 分

? 0 ? an ? 1, ? an ?1 ? an ? ln ? 2 ? an ? ? ln1 ? 0. ……9 分

?a n ? an ?1 .

综上 0 ? an ? an ?1 ? 1 .……10 分


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