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【三维设计】2014届高考数学一轮 (基础知识+高频考点+解题训练)任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案


第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[知识能否忆起] 1.任意角 (1)角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角 α 相同的角可写成 α +k?360°(k∈Z). (3)弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.

②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α |= ,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与 角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. 1 1 2 ⑤弧长公式:l=|α |r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r . 2 2 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义: 设 α 是一个任意角,角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么角 α 的正弦、余弦、 正切分别是:sin α =y,cos α =x,tan α = ,它们都是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知, P 的坐标为(cos_α , 点 sin_α ), P(cos_α , 即 sin_α ),其中 cos α =OM,sin α =MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点
1

l r

l r

y x

的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP、

AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦 线 有向线段 AT 为正切 线

[小题能否全取] 1.-870°的终边在第几象限( A.一 C.三 ) B.二 D.四

解析:选 C 因-870°=-2?360°-150°.-150°是第三象限角. 2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的最小正值是( A. C. 2π 3 5π 6 B. D. 11π 6 3π 4 )

-1 1 解析:选 B ∵sin α = =- ,且 α 的终边在第四象限, 2 2 11 ∴α = π . 6 3.(教材习题改编)若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 )

解析:选 C 由 sin α <0,知 α 在第三、第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上,由 tan α >0,知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限. 2π 4.若点 P 在 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于________. 3 2π 解析:因 tan =- 3=-y,∴y= 3. 3 答案: 3 5.弧长为 3π ,圆心角为 135°的扇形半径为________,面积为________. 3 解析:弧长 l=3π ,圆心角 α = π , 4

2

由弧长公式 l=α ?r 得 r=

3π 1 = =4,面积 S= lr=6π . α 3 2 π 4

l

答案:4



1.对任意角的理解 (1)“小于 90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的角”不等同于“第一象限 的 角 ” . 其 实 锐 角 的 集 合 是 {α |0°<α <90°} , 第 一 象 限 角 的 集 合 为 {α |k?360°<α <k?360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角 函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α =y,cos α =x,tan α = ,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α = ,cos α = ,tan α = .

y x

y r

x r

y x

角的集合表示及象限角的判定

典题导入 [例 1] 已知角 α =45°, (1)在-720°~0°范围内找出所有与角 α 终边相同的角 β ; (2)设集合 M=?x?x= 2 ? ? ?
? ? ? k N=?x?x= ? ? ? ?

?

k

?180°+45°,k∈Z?,
? ? ? ? ? ?

? ?

?

4

?180°+45°,k∈Z?,判断两集合的关系.

[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为: β =45°+k?360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k?360°<0°, 765 45 得-765°≤k?360°<-45°,解得- ≤k<- , 360 360 从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β =-675°或 β =-315°. (2)因为 M={x|x=(2k+1)?45°,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角

3

的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)?45°,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角 的集合,从而:M?N. 由题悟法 1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 2.已知角 α 的终边位置,确定形如 kα ,π ±α 等形式的角终边的方法:先表示角 α 的范围,再写出 kα 、π ±α 等形式的角范围,然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边 位置. 以题试法 1.(1)给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400°是第四角限角;④-315°是第 4 3 一象限角.其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

(2)如果角 α 是第二象限角,则 π -α 角的终边在第________象限. 3π 4π π 4π 解析: (1)- 是第三象限角, 故①错误. =π + , 从而 是第三象限角正确. - 4 3 3 3 400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. π (2)由已知 +2kπ <α <π +2kπ (k∈Z), 2 π 则-π -2kπ <-α <- -2kπ (k∈Z), 2 π 即-π +2kπ <-α <- +2kπ (k∈Z), 2 π 故 2kπ <π -α < +2kπ (k∈Z), 2 所以 π -α 是第一象限角. 答案:(1)C (2)一

三角函数的定义 典题导入 [例 2] (1)已知角 α 的终边上有一点 P(t, +1)(t>0), tan α 的最小值为( t 则 A.1 B.2
2

)

4

C.

1 2

D. 2

2π ? ? 2π (2)(2012?大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为?sin ,cos ?,则角 α 3 3 ? ? 的最小正值为( A. C. 5π 6 5π 3 ) B. D. 2π 3 11π 6

[自主解答] (1)根据已知条件得 tan α = 取得最小值 2.

t2+1 1 =t+ ≥2,当且仅当 t=1 时,tan α t t

(2)由题意知点 P 在第四象限,根据三角函数的定义得 cos α =sin π 11π 2kπ - (k∈Z),所以 α 的最小正值为 . 6 6 [答案] (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种情况

2π 3 = ,故 α = 3 2

(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后利用三角函 数的定义求解. (2)已知角 α 的终边所在的直线方程, 则可先设出终边上一点的坐标, 求出此点到原点 的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写 出角 α 的三角函数值. 以题试法 2. (1)(2012?东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x, A. 3 C. 3 3 B.± 3 D.± 3 3

? ?

3? 则 ?, tan α =( 2?

)

4 (2)(2012?潍坊质检)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α =- ,则 m 等于 5 ( ) 11 A.- 4 C.-4 B. 11 4

D.4

5

3 2 2 解析:(1)选 B 由|OP| =x + =1, 4 1 得 x=± ,tan α =± 3. 2 (2)选 C 由题意可知,cos α = 又 m<0,解得 m=-4.

m 4 =- , 2 5 m +9

扇形的弧长及面积公式

典题导入 [例 3] (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [自主解答] (1)设圆心角是 θ ,半径是 r,

?2r+rθ =10 ? 则?1 2 ?2θ ?r =4 ?
1 故扇形圆心角为 . 2

?r=1, ? ?? ? ?θ =8

?r=4, ? (舍),? 1 ?θ =2, ?

(2)设圆心角是 θ ,半径是 r, 则 2r+rθ =40.

S= θ ?r2= r(40-2r)=r(20-r)
=-(r-10) +100≤100, 当且仅当 r=10 时,Smax=100. 所以当 r=10,θ =2 时,扇形面积最大.
2

1 2

1 2

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是 ________.

解析:设圆半径为 R,则圆内接正方形的对角线长为 2R, ∴正方形边长为 2R,∴圆心角的弧度数是 答案: 2 2R

R

= 2.

6

由题悟法 1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 1 1 2 2.记住下列公式:①l=α R;②S= lR;③S= α R .其中 R 是扇形的半径,l 是弧长, 2 2 α (0<α <2π )为圆心角,S 是扇形面积. 以题试法 3.若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形的周长取到最小值? 1 解:设扇形的圆心角为 α ,半径为 R,弧长为 l,根据已知条件 lR=S 扇,则扇形的周 2 2S扇 2S扇 长为:l+2R= +2R≥4 S扇,当且仅当 =2R,即 R= S扇时等号成立,此时 l=2 S扇,

R

R

α = =2, 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形的周长取到最小值.

l R

1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( A. π 3 B. π 6

)

π C.- 3

π D.- 6

解析:选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 1 故 A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ?2π =- . 6 3 2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 C.4 B.1 D.8
2

)

?l+2r=6, ? 解析:选 A 设扇形的半径和弧长分别为 r,l,则易得?1 ?2lr=2, ?
解得?
? ?l=4 ? ?r=1

或?

? ?l=2, ? ?r=2.

故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1.

7

π 3.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β =- ,则 sin α =( 3 A.- 3 2 B. D. 3 2 1 2

)

1 C.- 2

π 解析:选 D 因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α +β =2kπ + (k 2 π 5π 1 ∈Z),又 β =- ,所以 α =2kπ + (k∈Z),即得 sin α = . 3 6 2 θ θ ? θ? 4.设 θ 是第三象限角,且?cos ?=-cos ,则 是( 2? 2 2 ? A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 )

θ θ ? θ? 解析:选 B ∵θ 是第三象限角,∴ 为第二或第四象限角.又∵?cos ?=-cos , 2? 2 2 ? θ θ ∴cos <0,知 为第二象限角. 2 2 5.(2012?宜春模拟)给出下列各函数值:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③ 7π sin cos π 10 tan(-10);④ ,其中符号为负的是( 17π tan 9 A.① C.③ B.② D.④

)

解析:选 C sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°) =cos(-40°)=cos 40°>0;tan(-10)=tan(3π -10)<0; 7π 7π sin cos π -sin 10 10 7π 17π = ,sin >0,tan <0,∴原式>0. 17π 17π 10 9 tan tan 9 9 6.已知 sin θ -cos θ >1,则角 θ 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2

)

解析:选 B 由已知得(sin θ -cos θ ) >1,1-2sin θ cos θ >1,sin θ cos θ <0, 且 sin θ >cos θ ,因此 sin θ >0>cos θ ,所以角 θ 的终边在第二象限. 7.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐标为__________.
8

解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°, 设点 B 坐标为(x, ), y 所以 x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°= 3, B(-1, 3). 即 答案:(-1, 3) 3π ? ? 3π 8.若 β 的终边所在直线经过点 P?cos ,sin ?,则 sin β =________,tan β = 4 4 ? ? ________. 3π ? ? 3π 解析:因为 β 的终边所在直线经过点 P?cos ,sin ?,所以 β 的终边所在直线为 4 4 ? ?

y=-x,则 β 在第二或第四象限.
所以 sin β = 答案: 2 2 或- ,tan β =-1. 2 2 -1

2 2 或- 2 2

9.如图,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1)交于第二 3? ? 象限的点 A?cos α , ?,则 cos α -sin α =________. 5? ? 3 4 解析:由题图知 sin α = ,又点 A 在第二象限,故 cos α =- . 5 5 7 ∴cos α -sin α =- . 5 7 答案:- 5 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解:设圆的半径为 r cm, 弧长为 l cm,
2

?1lr=1, ? 则?2 ?l+2r=4, ?
∴圆心角 α = =2.

解得?

? ?r=1, ? ?l=2.

l r

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1?sin 1=sin 1(cm), ∴AB=2sin 1(cm). 11.如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆

?3 4? 与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为? , ?,△AOB 为正三角形. ?5 5?

9

(1)求 sin∠COA; (2)求 cos∠COB. 4 解:(1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°, 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60°) =cos∠COAcos 60°-sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = ? - ? = . 5 2 5 2 10 12.(1)设 90°<α <180°,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α = α 与 tan α 的值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ ,cos θ . 解:(1)∵r= x +5,∴cos α = 2 x x= 2 , 4 x +5
2

2 x,求 sin 4

x , x2+5

从而

解得 x=0 或 x=± 3. ∵90°<α <180°, ∴x<0,因此 x=- 3. 5 10 故 r=2 2,sin α = = , 4 2 2 5 15 tan α = =- . 3 - 3 (2)∵θ 的终边过点(x,-1), 1 ∴tan θ =- ,

x

又 tan θ =-x,∴x =1,∴x=±1. 当 x=1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ = ; 2 2 2 2 ,cos θ =- . 2 2

2

当 x=-1 时,sin θ =-

1.(2013?聊城模拟)三角形 ABC 是锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A
10

-cos B,cos A-sin C),则 A.1 C.3

sin θ cos θ tan θ + + 的值是( |sin θ | |cos θ | |tan θ | B.-1 D.4

)

解析: B 因为三角形 ABC 是锐角三角形, 选 所以 A+B>90°, A>90°-B, sin A>sin 即 则 sin θ (90°-B)=cos B,sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限, |sin θ | + cos θ tan θ + =-1+1-1=-1. |cos θ | |tan θ | 2.(2012?山东高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆 的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴 上 沿 正 向 滚 动 . 当 圆 滚 动 到 圆 心 位 于 (2,1) 时, OP 的 坐 标 为 ________. 2 解析:设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 P A 长为 2,∠ABP= =2. 1

??? ?

? π? 设 P(x , y),则 x = 2-1?cos ?2- ? = 2 -sin 2, y =1 + 2? ? ? π? 1?sin?2- ?=1-cos 2, 2? ?
∴ OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案:(2-sin 2,1-cos 2) 3.(1)确定 tan? -3? 的符号; cos 8?tan 5

??? ?

(2)已知 α ∈(0,π ),且 sin α +cos α =m(0<m<1),试判断式子 sin α -cos α 的 符号. 解:(1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0,∴原式大于 0. π (2)若 0<α < , 则如图所示, 在单位圆中, =cos α , =sin α , OM MP 2 ∴sin α +cos α =MP+OM>OP=1. π 若 α = ,则 sin α +cos α =1. 2

?π ? 由已知 0<m<1,故 α ∈? ,π ?. ?2 ?
于是有 sin α -cos α >0.

11

1.已知点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π ]内,α 的取值范围是 ( ) A.? C.?

?π ,3π ?∪?π ,5π ? 4 ? ? 4 ? ?2 ? ? ? ?π ,3π ?∪?5π ,3π ? 4 ? ? 4 2 ? ?2 ? ? ?

B.? D.?

?π ,π ?∪?π ,5π ? ? ? 4 ? ?4 2? ? ? ?π ,π ?∪?3π ,π ? ? ? ? ?4 2? ? 4 ?

5π ? ?π π ? ? 解析:选 B 由已知 sin α -cos α >0,tan α >0 故? , ?∪?π , ?. 4 2? ? 4 ? ? 2.已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 解:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t,

r= x2+y2= ? 4t?
当 t>0 时,r=5t, sin α = =

2

+?

-3t?

2

=5|t|,

y -3t 3 =- , r 5t 5

x 4t 4 cos α = = = , r 5t 5
tan α = =

y -3t 3 =- ; x 4t 4 y -3t 3 = , r -5t 5

当 t<0 时,r=-5t,sin α = =

x 4t 4 cos α = = =- , r -5t 5
tan α = =

y -3t 3 =- . x 4t 4

3 4 3 综上可知,sin α =- ,cos α = ,tan α =- ; 5 5 4 3 4 3 或 sin α = ,cos α =- ,tan α =- . 5 5 4 π 3.已知 0<α < ,求证: 2 (1)sin α +cos α >1; (2)sin α <α <tan α . 证明:如图,设 α 的终边与单位圆交于 P 点,作 PM⊥x 轴,垂足为

M,过点 A(1,0)作 AT⊥x 轴,交 α 的终边于 T,则 sin α =MP,cos α
=OM,tan α =AT.

12

(1)在△OMP 中,∵OM+MP>OP, ∴cos α +sin α >1. (2)连接 PA,则 S△OPA<S 扇形 OPA<S△OTA, 1 1 1 即 OA?MP< OA?α < OA?AT, 2 2 2 即 sin α <α <tan α .

13


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