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高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题


高中数学选修 2-3 随机变量及其分布综合测试题
一、选择题
1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 X;②长江上某水文站观察到一天中的水位 X;③某 超市一天中的顾客量 X 其中的 X 是连续型随机变量的是 A.① B.② C.③ D.①②③ 2.袋中有 2 个黑球 6 个红球,从中任取两个,可以作为随机变量的是 A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率 3.抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 X,则 “X >4”表示试验的结果为 A.第一枚为 5 点,第二枚为 1 点 B.第一枚大于 4 点,第二枚也大于 4 点 C.第一枚为 6 点,第二枚为 1 点 D.第一枚为 4 点,第二枚为 1 点 c 1 5 4.随机变量 X 的分布列为 P (X =k) = , k=1、 3、 其中 c 为常数, P 2、 4, 则 ( ?X? ) 2 2 k (k ? 1) 的值为 A.

4 5

B.

5 6

C.

2 3

D.

3 4

5. 甲射击命中目标的概率是

1 1 1 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 . 现在三 2 3 4

人同时射击目标,则目标被击中的概率为

A.

3 4

2 B. 3

C.

4 5

7 D. 10

6.已知随机变量 X 的分布列为 P(X =k)=

1 ,k=1,2,3,则 D(3X +5)等于 3

A.6 B.9 C.3 D.4 7. 口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 X 表示取出球的最大号码, 则 EX ? A.4 B.5 C.4.5 D.4.75 3 8.某人射击一次击中目标的概率为 ,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 5 81 54 36 27 A. B. C. D. 125 125 125 125 9.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么 k 的值 为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10.已知 X~B(n,p),EX =8,DX =1.6,则 n 与 p 的值分别是 A.100、0.08 B.20、0.4 C.10、0.2 D.10、0.8 11.随机变量 X ? N (? , ? 2 ) ,则随着 ? 的增大,概率 P(| X ? ? |? 3? ) 将会 A.单调增加 B.单调减小 C.保持不变 D.增减不定 12.某人从家乘车到单位,途中有 3 个交通岗亭.假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的,且概率都是 0.4,则此人上班途中遇红灯的次数的期望为: A.0.4 B.1.2 C. 0.4
3

D.0.6

第 1 页 共 7 页

二.填空题
13.一个箱子中装有质量均匀的 10 个白球和 9 个黑球,一次摸出 5 个球,在已知它们的颜
色相同的情况下,该颜色是白色的概率是 . 14.从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地抽取 3 次,每次抽取 1 只,设抽 得次品数为 X,则 E(5X+1)=________________. 15.设一次试验成功的概率为 P,进行 100 次独立重复试验,当 P =________时,成功次数 的标准差最大,其最大值是________________. 16.已知随机变量 X 的分布列为 X 0 1 m



1 5

n

3 10

且 EX =1.1,则 DX=________________.

三.解答题
17.某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布 N(70,100) ,如果规定低于 60 分为不及格, 不低于 90 分为优秀, 那么成绩不及格的学生约占多少?成绩优秀的学生约 占多少?(参考数据: P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826, P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 )

18.如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2,当元件 A、B、C 都正 常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,系 统 N2 正常工作. 已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系统 N1,N2 正常工作的概率 P1、P2.

(N1) (N2)

A A

B B C

C

第 2 页 共 7 页

19. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球命中 的概率为 0.7,求 (1)他罚球 1 次的得分 X 的数学期望; (2)他罚球 2 次的得分 Y 的数学期望; (3)他罚球 3 次的得分 ? 的数学期望.

20.某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试,成绩合格可获得参加竞赛的资 格.其中甲同学表示成绩合格就去参加,但乙、丙同学约定:两人成绩都合格才一同参 2 加,否则都不参加.设每人成绩合格的概率为 ,求 3 (1)三人至少有一人成绩合格的概率; (2)去参加竞赛的人数 X 的分布列和数学期望.

第 3 页 共 7 页

21.某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km 时租车费为 10 元, 若行驶路程超出 4km,则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 lkm 的部分按 lkm 计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机经常驾车在机场与此 宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个 城市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程 X 是 一个随机变量.设他所收租车费为 ? (1)求租车费 ? 关于行车路程 X 的关系式; (2)若随机变量 X 的分布列为 X P 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1

求所收租车费 ? 的数学期望. (3)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因 故停车累计最多几分钟?

1 22.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 ,从 B 中 3 摸出一个红球的概率为 p. (1) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. (i)求恰好摸 5 次停止的概率; (ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 X,求随机变量 X 的分布率及数学期望 E X. (2) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红
球的概率是

2 ,求 p 的值. 5

第 4 页 共 7 页

选修 2-3 随机变量及其分布参考答案
一、选择题
BBCBA ACACD CB

二、填空题
13.
2 3

14. 3

15. p ?

1 ,最大值是 5 2

16.0.49

三、解答题
17.解:因为由题意得: ? ? 70,? ? 10 P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826, P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544

1 ? 0.6826 =0.1587, 2 1 ? 0.9544 ? 0.0228 . (2) 2
(1) 答:成绩不及格的学生约占 15.87%,成绩优秀的学生约占 2.28% . 18.解:记元件 A、B、C 正常工作的事件分别为 A、B、C, 由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1) 因 为 事 件 A 、 B 、 C 是 相 互 独 立 的 , 所 以 , 系 统 N1 正 常 工 作 的 概 率 P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1 正常工作的概率为 0.648. (2)系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A)· [1-P( B ? C )] =P(A)· [1-P( B )P( C )] =0.80×[1-(1-0.90)(1-0.90)]=0.792. 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792. 19.解: (1)因为 P( X ? 1) ? 0.7 , P( X ? 0) ? 0.3 ,所以 1× P( X ? 1) +0× P( X ? 0) ? 0.7 . EX ? (2)Y 的概率分布为 Y P 0 1
1 C2 ? 0.7 ? 0.3

2

0.32

0.7 2

所以 EY ? 0 ? 0.09 + 1 ? 0.42 + 2 ? 0.49 =1.4. (3) ? 的概率分布为

?
P
所以




1 C3 ? 0.7 ? 0.32

2
2 C3 ? 0.7 2 ? 0.3

3

0.33

0.7 3

E? ? 0 ? 0.027 + 1 ? 0.189 + 2 ? 0.441 ? 3 ? 0.343 ? 2.1 .

第 5 页 共 7 页

20.解:用 A、B、C 表示事件甲、乙、丙成绩合格.由题意知 A、B、C 相互独立,且 2 P(A)=P(B)=P(C)= . 3 (1)至少有 1 人成绩合格的概率是 1 26 . 1 ? P( ABC) ? 1 ? P( A) P( B) P(C) ? 1 ? ( )3 ? 3 27 (2)X 的可能取值为 0、1、2、3.

P( X ? 0) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) 12 2 1 2 1 5 ? ( ) ? ? ( 2) ? ? ( 3 ) ? ; 3 3 3 3 3 27 P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) 2 1 2 1 1 2 10 ; ? ( )2 ? ? ( )2 ? ? ( )2 ? ? 3 3 3 3 3 3 27 4 ; P( X ? 2) ? P( ABC ) ? P( A)P(B)P(C ) ? 27 8 . P( X ? 3) ? P( ABC) ? P( A) P( B) P(C ) ? 27 所以 X 的分布列是

X P









5 10 4 27 27 27 5 10 4 8 42 X的期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? . ? 27 27 27 27 27

8 27

21.解:(1)依题意得

? ? 2( X ? 4) ? 10 ,即 ? ? 2 X ? 2 .

(2) EX ? 15 ? 0.1 ? 16 ? 0.5 ? 17 ? 0.3 ? 18 ? 0.1 ? 16.4 ∵ ? ? 2X ? 2 ∴ E? ? 2E? ? 2 ? 34.8 (元) 故所收租车费 η 的数学期望为 34.8 元. (3)由 38=2 X +2,得 X =18,5 ? (18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟.

?1? ? 2? 1 8 22. 解: (1)(i) C ? ? ? ? ? ? ? ? . ? 3 ? ? 3 ? 3 81
2 4

2

2

(ii)随机变量 X 的取值为 0,1,2,3.
k k 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn ? k ? ? Cn p ?1 ? p ? n?k

,得

第 6 页 共 7 页

32 ? 1? ; P ? X ? 0 ? ? C ? ?1 ? ? ? ? 3 ? 243
0 5

5

1? 80 1 1 ? ; P ? X ? 1? ? C5 ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 3 ? 243 80 ?1? ? 1? ; P ? X ? 2 ? ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
2 5 2 3

4

1 17 ?1? P( X ? 3) ? C ? ? ? ? (1 ? )2 ? . 3 81 ? 3?
3 5

3

随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3

P

32 243

80 243

80 243

17 81

X 的数学期望是: EX ?

32 80 80 17 131 . ?0? ?1 ? ?2? ?3? 243 243 243 81 81

(2)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球.

1 m ? 2mp 13 2 3 由 . ? ,得 p ? 30 3m 5

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