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高中数学必修1课件


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知识回顾

1.集合的含义: 我们把研究对象统称为元素,把 一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 2.集合元素的性质:确定性,互 异性,无序性; 3.元素与集合的关系; a ∈ A a A

?

4.数集及有关符号: 正整数集 记作 N ? 或 N ? 非负整数集(或自然数集) 记作N

有理数集 记作Q 实数集 记作R 整数集 记作Z 5. 集合的表示方法; (1)列举法 (2)描述法

1.子集的定义:对于两个集合A,B 如果集合A中 任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为 集合B的子集,记作 A ? B(或 B ? A ) 如果集合 A ? B, 但 存 在 2.真子 集的定义: A是集合 B的真子集 . 元 素x ? B,且x ? A,集合 记作 A ? ?B 3.集合相等的定义: 集合A是集合B的子集,且集 合B是集合A的子集,因此,集合A与集合B相等. 4.子集的性质: (1). 空集是任何集合的子集; (2).任何一个集合是它本身的子 集; 若A ? B, B ? C,则A ? C . (3).传递性: n (4).若集合A的元素个数为n ,则它的子集有 2 .

1.并集的定义: A ? B ? { x | x ? A, 或x ? B} 2.交集的定义: A∩B={x|x∈A,且x∈B}

3.几个结论: (1).A∪A =A ,A∩A =A ; (2).A∪φ=A, A∩φ= φ; (3).若 A ? B, 则A ? B ? B, A ? B ? A
4.补集的定义: CU A ? { x | x ? U,且x ? A} 映射的定义:设A,B 是两个非空集合,如果按照某 种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个 元素x ,在集合 B中都有唯一确定的元素y和它对 应,那么就称 f : A ? B 为从集A到集合B的一个映 射。

1.函数的定义: 设A,B 是非空数集,如果按照某种确定的对 应关系f ,使对于集合A 中的任一个数x ,在集 合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就 称 f : A ? B 为从集A到集合B的一个函数,记作 y=f(x), x ? A. 其中,x 叫自变量,x 的取值范 围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值 叫做函数值,函数值的集合 f ( x) x ? A 叫做函 数的值域。

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2.函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.函数三种表示法: 解析法;列表法;图象法。

1.增函数的定义:如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)< f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. 2.减函数的定义:如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 3.最大(小)值的定义: 设函数y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满 足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ? M (或 ? ;) (2)存在x0 ∈I,使得f(x0)=M.则称M是函数y=f(x) 的最大(小)值.

知识回顾 如果对于函数f(x)的定义域内任 1.偶函数的定义: 意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

2.奇函数的定义: 如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做 奇函数. 3.几个结论: (1)偶函数的图象关于y轴对称. (2)奇函数的图象关于原点对称.
(3)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件是---定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数. (4)判断一个函数是否为奇(偶)函数还可用f(-x)±f(x)=0 f ( x) ? ?1 . 或
f (? x )

例题讲解
例1 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数 (1) A=R,B=(0,+?),x ? A,对应法则f:x ? |x|

(2) A ? R, B ? { y | y ? R且y ? 1}, x ? A, 对应法则f:x ? y=x2 ? 2 x ? 2
解:(1)不是函数.因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应.

(2)是函数.满足函数的概念.
例2 函数f(x)=-x 2 ? 6 x ? 9在区间[a , b](a ? b ? 3)有最大值9, 最小值 ? 7, 求 a , b的值.
解:对称轴x=3

注意 : 开口方向,对称轴的位置

?函数f ( x )在[a, b]上是增函数
? ? a 2 ? 6a ? 9 ? ?7 ? 2 ? ? ? b ? 6b ? 9 ? 9 ?a ? b ?
? a ? ?2, b ? 0

例题讲解
px 2 ? 2 5 例3 已知函数f ( x ) ? 是奇函数, 且f (2) ? 3x ? q 3 (1)求实数p, q的值. (2)判断函数f ( x )在( ? ? , ?1)上的单调性, 并加以证明.
解:(1)?函数f(x)为奇函数 ? f ( ? x ) ? f ( x ) px 2 ? 2 px 2 ? 2 4p? 2 5 ?q?0 ? ? ? f (2) ? ? ? p?2 ?3 x ? q ?3 x ? q 6 3 2 2x ? 2 (2) f ( x ) ? 3x 设x1 ? x2 ? ?1 则x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1

x x ?1 2 x 1 2 ? 1 x2 2 ? 1 2 ?0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 3 x1 x2 3 x1 x2
? f ( x1 ) ? f ( x2 )

即函数f ( x )在( ? ?, ?1)上是增函数.

例题讲解
例4 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-?,0)上是增函数,并且

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+?)上是减函数
1 8 1 1 而2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? )2 ? ? 0, 3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? )2 ? ? 0 4 7 3 3 ?由f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 2a ? 1
? a 2 ? 3a ? 0 ? 0 ? a ? 3

练习
1.下面四组中的函数f ( x )与g( x ), 表示同一个函数的是(C ) B. f ( x ) ? x , g( x ) ? x 2 A. f ( x ) ? x, g( x ) ? ( x )2
C . f ( x ) ? x , g( x ) ?
3

x3

D. f ( x ) ?| x 2 ? 1 |, g( x ) ?| x ? 1 |

2.求函数y ? ax ? 1在[0,2]上的最值.

当a ? 0时, y的最大值为2a ? 1, 最小值为1;当a ? 0时, y的最大值为1, 最小值为2a ? 1 : 当a ? 0时, y ? 1
3.求函数y ? 3 | x ? 1 | 的单调增区间. [1, ??)

4.若奇函数f ( x )是定义在[?1,1]上的减函数, 且f (1 ? a ) ? f (1 ? a 2 ) ? 0, 求a的取值范围.
1? a ? 2






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