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“不等式证明的单元小结”说课稿


“不等式证明的单元小结”说课稿 横林中学 魏民 一. 教材分析
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研究性课题: 分期付款中 的有关计算 图书馆 (两位数加一位数 的进位加法) 教案 说课: 数 列 你能证明它们吗 2 你能证明他们吗 平均数(第一课时) 相似三角形初步认识 ( 课 堂教学实录) 三角形的内角和 (第一课 时) 说课— 《等差数列前 n 项 和的公式》 圆和圆的位置关系 教案 《生活中的立体图形》 教 案设计与说明 关于 《两个平面垂直的判 定定理》说课 不等式证明(第六课时) 集合第五教时 集合第二教时

1.教材的地位与作用


本节课是在学生学习了基本不等式和不等式证明的几种常用方法的基础上, 进一步强化巩固 上述内容,使不等式证明的能力有较大的提高。 “不等式证明”是《不等式》这一章的重点和难点之一,近年来高考对不等式证明的难度有 所降低,单纯不等式证明的题目较少,主要以综合题型出现,1996 和 1998 年的压轴题均与 不等式证明有关。由于不等式题型多变,技巧性强,且无固定规律可循,所以在具体证明时 有一定的难度。解决这一点的关键在于掌握常用方法,理解不等式证明中的数学思想,熟练 地运用性质和基本不等式。因此,本节课内容非常重要,它有利于学生的逻辑推理论证能力 的培养和数学思想方法的理解和掌握。 2.教学目标的确定及依据 《代数下册》教学参考书和教学大纲明确指出:使学生掌握不等式证明的几种常用方法,能 运用基本不等式解决一些有关的问题。同时从高考的角度看,不等式证明常出现在综合解答 题中。所以熟练地掌握不等式证明的常用方法非常重要。再从教学原则上看,明确要求要把 思想教育渗透到明确中去。根据上述分析,我制定了本节课的教学目标: ⑴ 知识目标:掌握本单元的知识结构,熟练地掌握不等式证明的几种基本方法。 ⑵ 能力目标:培养学生的逻辑推理论证能力,分析问题、解决问题的能力。 ⑶ 德育目标:培养学生辩证唯物主义观点。 3.重点、难点的确定及依据 由于不等式题型多变,技巧性强。为此,在教学过程中应把不等式证明的几种常用方法的熟 练掌握、不等式证明中的思想方法的理解、不等式性质和基本不等式熟练运用作为解决问题 的关键。因此,本节课的重点、难点是不等式证明的基本方法的熟练掌握。 二.教学方法和手段 1.教学方法的采用 在复习课上, 学生容易产生对已学知识的轻视态度与厌倦心理, 较难发挥学生的主观能动性。 因此,如果教学方法、策略不合适,是难以达到理想的教学效果的。据此,我采用了分析、 讲解、启发、引导、探索式相结合的教学方法,以及成题新解、一题多解、剖析错解、探索 正解的教学策略,可有效帮助学生克服上述心理,激发学生的求和欲、探索欲,体现学生的

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主体作用。 2.教学手段的采用 根据复习课内容多、容量大的特点,为有效突出重点、突破难点,我采用常规和电教相结合 的教学手段。 三. 教学程序

1. 回顾本单元的知识结构 基础训练:用适当的方法证明下列不等式: ①. a + b ≥2(a-b-1)
2 2

②. a + b + c + d ≥ab+bc+cd+da

2

2

2

2

③.(a+b+c)( a + b + c ) ≥9abc 2. 成题新解、一题多解的教学策略的实施

2

2

2

④.

例 1.

求证:

≥ (a+b) (课本习题)

证法 1:(分析法)要证 只需证 2a + 2b ≥a + b +ab,
2 2 2 2

≥ (a+b),只需证 a + b ≥ (a+b) 只需证 a + b ≥2ab
2 2

2

2

2

证法 2:(分析综合法)要证 上式左边=

≥ (a+b),只需证 a + b ≥

2

2

证法 3:(平方作差法)左 --右 =(a + b )- (a+b) = (a-b)

2

2

2

2

2

2

证法 4:(综合法)

错证:左边

右边

∴左边≥右边

说明:本例目的是巩固不等式证明的三种基本方法,同时注意性质的正确运用。
例 2.有甲乙两个电脑经销商,每次同时向一电脑公司按相同的售价购买电脑(假设每次电 脑价格互不相同)他们共购买三次,甲每次购买 1000 台,乙每次购买 1000 万元。现规定: 谁每台电脑所付的货款少,谁的购买方式就经济些。试判断:按此规定,甲乙两个电脑经销

商谁的购买方式更经济些?并证明你的结论。 分析说明: 本例是不等式的证明在日常生活中的应用, 可激发学生的兴趣, 求知欲, 探索欲。 引导学生完成两大步骤,①建立数学模型,求出甲乙购买电脑的单价表达式。②运用不等式 的证明的知识,比较两个单价的大小。 解:设甲乙两个电脑经销商每次购买电脑的单价为 a1,a2,a3 元/台,a1,a2,a3 互不相等。 则 甲购买电脑的平均单价=甲购买电脑的总货款/甲购买电脑的台数=1000 (a1+a2+a3) /3000= (a1+a2+a3)/3 乙购买电脑的平均单价=甲购买电脑的总货款/甲购买电脑的台数=3000/(1000/ a1+1000/ a2+1000/ a3)=3/(1/ a1+1/ a2+1/ a3) 比较(a1+a2+a3)/3 和 3/(1/ a1+1/ a2+1/ a3)的大小。 法 1: 法 2: ∴乙的购买方式更经济些。 例 3.已知 a,b,c 都是小于 1 的正数,求证:(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 中至少有一个不大于 1/4。

分析说明:本例是一个至少型命题,可使用反证法。
证法 1:假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 都大于 1/4,因为 a,b,c 都是小于 1 的正数,



从而

但是 与上式矛盾。?? 证法 2:假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 都大于 1/4,因为 a,b,c 都是小于 1 的正数,

∴3=[(1-a)+b]+ [(1-b)+c]+ [(1-c)+a] ≥2 >2 +2 +2 =3 ∴3.>3 矛盾。??

证法 3:假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 都大于 1/4,因为 a,b,c 都是小于 1 的正数, 则有 1-a> , 1-b> , 1-c>

则 1> +a≥2

=

,1> +a≥2

=

,1> +a≥2

=

则 a<b, b<c, c<a , 从而 a<a, 矛盾。?? 评注:同是反证法,而且均使用了基本不等式(均值不等式),但三种不同的思维切入口导 致了三种不同的矛盾出口。这样可以培养学生的逆向思维能力和发散思维能力。 3. 剖析错解、探索正解的教学策略的实施 练习:已知 a, b, c∈R , 求证: 错证:∵b c + c a + a b ≥3 abc a+b+c ≥3 abc 两式相除即得。
2 2 2 2 2 2 +

让学生分析说明错误的原因,并探索正确的证法。
4. 学法指导 在引导分析时,留出“空白”,让学生去联想,探索。同时鼓励学生大胆质疑,围绕中 心各持己见,把思路方法弄清。 5. 反馈练习 采用讲练结合的方法,不再另行安排练习。 6. 布置作业

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