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河北省唐山市2015届高三年级摸底考试理科数学试卷(带解析)


河北省唐山市 2015 届高三年级摸底考试理科数学试卷(带解析)
1.已知集合 M={x|x≥-1},N={x|2-x ≥0},则 M∪N=( A.[-1,+∞) C.[- 2 ,+∞) 【答案】C B.[-1, 2 ] D.(-∞,- 2 ]∪[-1,+∞)
2

)

【解析】试题分析:由已知,M={x|x≥-1},N={x|- 2 ≤x≤ 2 } 故 M∪N={x|x≥- 2 },选 C 考点:集合运算,简单一元二次不等式 2.复数 z= 1 ? 3i ,则( 1 ? 2i A.|z|=2 C.z 的虚部为-i 【答案】D 【解析】试题分析:z= ) B.z 的实部为 1 D.z 的共轭复数为-1+i

(1 ? 3i)(1 ? 2i) ? ?1 ? i (1 ? 2i)(1 ? 2i)

故|z|= 2 ,A 错;z 的实部为-1,B 错;z 的虚部为-1,C 错,z 的共轭复数为-1-i, D 正确 考点:复数的基本概念及代数运算
x ?x 3.函数 f(x)= 2 ? 2 是( 2

)

A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数 【答案】B 【解析】试题分析:因为 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数 又因为 y=2 是增函数,y=2 为减函数,故 f ( x) ?
x -x

2 x ? 2? x 为增函数,选 B 2

考点:函数的奇偶性和单调性. 2 4.抛物线 y=2ax (a≠0)的焦点是( A.( a ,0) 2 C.(0, 1 ) 8a 【答案】C 【解析】 试题分析: 将方程改写为 x ?
2

)

B.( a ,0)或(- a ,0) 2 2 D.(0, 1 )或(0,- 1 ) 8a 8a

y 1 1 |, | | ), , 可知 2p= | 当 a>0 时, 焦点为(0, 2a 2a 8a
1

即(0,

1 ); 8a 1 1 1 | ),即(0, );综合得,焦点为(0, ),选 C 8a 8a 8a
)

当 a<0 时,焦点为(0,- | 考点:抛物线的基本概念

5.已知 sin( ? ? x) ? 1 ,则 sin2x 的值为( 4 4 A. 7 8 B. 9 16 C. 15 16 D. ? 15 16

【答案】A 【解析】试题分析: sin 2 x ? cos(

?

? 1 7 ? 2 x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? .选 A 2 4 4 8

考点:三角函数恒等变换,二倍角公式 6.高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻 的概率为( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 6

【答案】A 【解析】试题分析:4 人排成一排,其中甲乙相邻的情况有:(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙 甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、 (丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙甲),共计 12 种,其中同时甲丙相邻的只有 4 种,故概 率为 P=

4 1 ? 12 3
)

考点:条件概率 7.设向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈R)的最小值为( A. 3 2 B. 1 2 C.1 D.2

【答案】A 2 2 2 【解析】试题分析:由于|a|=|b|=|a+b|=1,于是|a+b| =1,即 a +2a·b+b =1,即 a·b=-

1 2
2 2 2 2 2

|a-tb| =a -2ta·b+t b =(1+t )-2ta·b=t +t+1≥ 选A 考点:平面向量基本运算

2

3 3 ,故|a-tb|的最小值为 . 4 2

x ?1 ? ? 8.已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,且 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ? ? y ? a( x ? 3)

)

A.1

B.2

C. 1 4

D. 1 2

【答案】D 【解析】试题分析:画出可行域,由于 z=2x+y 与 x 均正相关, 因此直线 2x+y=z 在 x 轴上截距最小时,z 取得最小值为 1,

2

此时,直线 2x+y=1 应经过 x=1 与 y=a(x-3)的公共点 A 该点坐标为 A(1,-1),故 a= y x+y=3 2x+y=z 1 A 3 x x=1 y=a(x-3)

1 .选 D 2

0

考点:线性规划 9.执行如图所示的程序框图,则输出的 a=( A.5 B. 5 4 C. ? 1 4 D. 4 5

)

【答案】C 【解析】试题分析:该程序每循环一次,n 增加 1,当 n=10 时跳出循环,故需要循环 9 次,

1 4 1 4 的值赋予新的 a,因此,9 次运算的 a 值依次为:5, ,- ,5, , a 5 4 5 1 4 1 1 - ,5, ,- ,因此最后输出的 a 值为- .选 C 4 5 4 4
每一次循环将 1- 考点:程序框图 10.将函数 f(x)=sinω x(其中 ω >0)的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象关于 x ? ? 2 6 对称,则 ω 的最小值是( A.6 B. 2 3 C. 9 4 D. 3 4 )

【答案】D 【解析】试题分析:将 f(x)=sinω x 的图象向左平移

? ? 个单位,所得图象关于 x= ,说 2 6

3

2? 2? 2?? 2?? ? ? k? ? (k 对称,于是 f(- )=sin(- )=±1,故 3 3 3 2 3 3 3 ∈Z),ω =3k+ (k∈Z),由于 ω >0,故当 k=0 时取得最小值 .选 D 4 4
明原图象关于 x=- 考点:三角函数的图象与性质 x 2 11.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +(x-1) -2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关 【答案】B x 2 【解析】试题分析:设 g(x)=2a-a ,h(x)=(x-1) , 注意到 g(x)的图象恒过定点(1,a),画出他们的图象 无论 a>1 还是 0<a<1,g(x)与 h(x)的图象都必定有两个公共点 y a>1 0<a<1 0 1 x )

考点:函数图象及其性质,零点的个数 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为( A.5π B.12π C.20π D.8π

)

【答案】A 【解析】试题分析:原几何体是一个侧放的四棱锥,四棱锥的底面为侧视图,即边长为 1 的正方形,高为正视图和俯视图的底边,长度为 3 ,其外接圆的直径平方为高与底面对角 线的平方和,即 (2R)2 ? ( 2)2 ? ( 3)2 ,即 R= 选A 考点:三视图,球面的面积

5 2 ,外接球的表面积为 S ? 4? R ? 5? . 2

13. ( x ? 2 y)8 的展开式中 x 6 y 2 的系数是___________.
4

【答案】56
r 8?r 【解析】试题分析:原二项式展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C8 x (? 2 y)r
2 6 令 r=2,得 T3 ? C8 x ? 2 y2 ? 56x6 y2 ,系数为 56.

考点:二项式定理 x y 14.实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3 +9 的最小值是________________. 【答案】6 【解析】试题分析:3 +9 =3 +3 ≥2 3x ? 32 y ? 2 3x?2 y ? 2 32 ? 6
x y x 2y

考点:基本不等式 15.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y ? 0 垂直,C a 2 b2

的一个焦点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为__________________. 【答案】x -
2

y2 =1 3

【解析】试题分析:由已知,一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,即 b ? 3a 又

c ? 1 ,故 c=2,即 a2+b2=4,解得 a=1,b=3 3 ?1
2

双曲线方程为 x -

y2 =1 3

考点:双曲线的渐近线,直线与直线的垂直关系,点到直线距离公式 16 .在△ABC 中, AB ? 2 ,点 D 在边 BC 上, BD ? 2 DC , cos ?DAC ?

3 10 , 10

cos ?C ?

2 5 ,则 AC+BC=_________________. 5

【答案】3+ 5

【解析】试题分析:△ADC 中,由 cos∠DAC=

3 10 10 ,得 sin∠DAC= , 10 10

5

同理,由 cos∠C=

2 5 5 ,得 sin∠C= 5 5 10 2 5 3 10 5 2 ? ? ? ? 10 5 10 5 2

于是,sin∠ADC=sin(∠DAC+∠C)=

由正弦定理:

AC DC ? , sin ?ADC sin ?DAC

由此得: AC ? 5DC , 又 BC=3DC 于是,在△ABC 中,由余弦定理,得

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?C
? 5DC 2 ? 9 DC 2 ? 2 5DC ? 3DC ? 2 5 5

? 2DC 2
由 AB ? 2 ,得 DC=1 从而 BC=3,AC= 5 即 AC+BC=3+ 5 考点:三角形中的三角函数,正弦定理,余弦定理 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=kn(n+1)-n(k∈R),公差 d 为 2. (1)求 an 与 k; (2)若数列{bn}满足 b1 ? 2 , bn ? bn?1 ? n ? 2 n (n≥2),求 bn.
a

【答案】(1)an=2n-1,k=1;(2)bn=

n 2? ?? 3n ? 1? ? 4 ? 1? ?

9

【解析】试题分析:(1)先直接写出 a1,a2,由 d=2 求出 k,再利用数列中 an 与 Sn 之间的关 系求出 an;(2)先利用叠加法求出 bn 满足的关系式,再利用错位相减法求出 bn. 试题解析:(Ⅰ)由题设得 a1=S1=2k-1, a2=S2-S1=4k-1, 由 a2-a1=2 得 k=1, 则 a1=1,an=a1+(n-1)d=2n-1. 4分 (Ⅱ)bn=bn-1+n· 2 n =bn-2+(n-1)· 2 =b1+2× 2 2 +3× 2 3 + +(n-1)· 2
a a a an?1

+n· 2

an

an?1

+n· 2

an

6

由(Ⅰ)知 2 n =2

a

2n-1

,又因为 b1=2,所以

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ +(b2-b1)+b1 1 3 5 2n-3 2n-1 =1×2 +2×2 +3×2 + +(n-1)×2 +n×2 , 3 5 7 2n-1 2n+1 4bn=1×2 +2×2 +3×2 + +(n-1)×2 +n×2 , 所以-3bn=2 +2 +2 + +2
1 3 5 2n-1

7分
n

-n·2

2n+1



2 ?1 ? 4n ? 1? 4

-2n·?4 ,

所以 bn=

2 ?1 ? 4n ? 1? 4

?3n ?1? ? 4n ? 1? 2 n 2? ? ?. + n?4 = 3 9

11 分

明显,n=1 时,也成立. 综上所述,bn=
n 2? ?? 3n ? 1? ? 4 ? 1? ?

9



12 分

考点:等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和 18. 某大学外语系有 5 名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务, 每名大学生都随机分配到 奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。 (1)求 5 名大学生中恰有 2 名被分配到体操项目的概率; (2)设 X,Y 分别表示 5 名大学生分配到体操、游泳项目的人数,记ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ). 【答案】(1)

5 15 ;(2) 16 8

【解析】试题分析: 试题解析:(Ⅰ)设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为 Ai,(i=0,1,2,3,4, 5), 则 P(A2)=
3 5 C52C3 = . 5 16 2

4分

(Ⅱ)ξ 的所有可能取值是 1,3,5. P(ξ =1)=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=
3 3 2 5 C52C3 C5 C2 + = ; 5 5 8 2 2 1 4 1 5 C5 C4 C54C1 + = ; 5 5 16 2 2 5 1 C50C5 C55 + = . 5 5 16 2 2

P(ξ =3)=P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=

P(ξ =5)=P(A1+A4) =P(A0)+P(A5)= 则随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 1 3 5

5 8

5 16

1 16

7

则 ξ 的数学期望 E(ξ )=1×

5 5 1 15 +3× +5× = . 8 16 16 8

12 分

考点:随机事件的分布列,期望与方差 19.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

5 3

【解析】试题分析:(1)通过“平面外的直线平行于平面内的直线”证明线面平行;(2)通过 两平面的法向量求出二面角的余弦值,再转化为正弦值即可. 试题解析:(Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E, 则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点. 连接 DE,则 DE∥A1B. 因为 DE?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. 4分 (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz.
z A1 B1 E C1

A B x D

C

y

则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0), C1(0,1,2) D(

1 1 , ,0), 2 2

1 1 AD =( , ,0), AC1 =(0,1,2). 6 分 2 2
设平面 ADC1 的法向量 m=(x,y,z),则

8

1 ?1 ? x? y ?0 ,不妨取 m=(2,-2, 1). 2 ?2 ? ? y ? 2z ? 0
易得平面 ABA1 的一个法向量 n= AC =(0,1,0). cos<m,n>=

9分

10 分

2 m?n = , 3 m n

平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值是

5 . 3

12 分

考点:空间几何体,空间线面关系,空间向量 20.椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P 2 5 a b

点斜率为

4 41 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时, PA ? PB ? ? 5 2
2 2

(1)求 C 的方程; (2)证明: | PA | ? | PB | 为定值.

【答案】(1)

x2 y 2 ? ? 1 ;(2)41 25 16

【解析】试题分析:(1)用坐标表示向量,利用 PA ? PB =-
2 2

41 可求的椭圆相关数据,从而 2

得到方程;(2)将|PA| +|PB| 通过坐标转化为 m 的表达式,证明该表达式与 m 的值无关. 试题解析:(Ⅰ)因为离心率为 当 m=0 时,l 的方程为 y=

3 b 4 ,所以 = . 5 a 5

4 x, 5
2分

代入

x2 y 2 a2 2 并整理得 x = . ? ? 1 a 2 b2 2

设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0),

PA ? PB =- x0 2 - y0 2 =-
又因为 PA ? PB =-

41 2 41 a 2 x0 =- · . 25 25 2

41 2 2 ,所以 a =25,b =16, 2
5分

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 25 16

9

(Ⅱ)l 的方程为 x=

5 x2 y 2 y+m,代入 ? ? 1 并整理得 25y2+20my+8(m2-25)=0. 4 25 16

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

41 2 41 2 y . y1 ,同理|PB|2= 16 16 2 41 41 2 2 2 则|PA| +|PB| = ( y12 + y2 2 )= [(y1+y2) -2y1y2] 16 16
则|PA| =(x1-m) + y12 =
2 2

8分

2 41 4 m 2 16 ? m ? 25 ? = [(- )- ]=41. 16 5 25

所以,|PA| +|PB| 是定值. 12 分 考点:椭圆的标准方程及其性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量,定值问题 x 21.已知函数 f(x)=2e -ax-2(a∈R) (1)讨论函数的单调性; (2)若 f(x)≥0 恒成立,证明:x1<x2 时,

2

2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2(e x1 ? 1) x2 ? x1

【答案】 (1)当 x∈(-∞, ln

a a f (x)单调递减; 当 x∈(ln , +∞)时, f (x)单调递增. (2) )时, 2 2

见解析 【解析】试题分析:(1)利用导数值的正负,通过对 a 范围的讨论,找出相应单调区间;(2) 先确定 a 的范围,然后利用(1)的结论找出 f (x2)-f (x1)与 x2-x1 的关系式, x 试题解析:(Ⅰ)f ?(x)=2e -a. 若 a≤0,则 f ?(x)>0,f (x)在(-∞,+∞)上单调递增; 若 a>0,则 当 x∈(-∞,ln 当 x∈(ln

a )时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 2
4分

a ,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知若 a≤0,f (x)在(-∞,+∞)上单调递增,又 f (0)=0,故 f (x)≥0 不恒成立. 若 a>0,则由 f (x)≥0=f (0)知 0 应为极小值点,即 ln 所以 a=2,且 e -1≥x,当且仅当 x=0 时,取“=” . x2 x1 当 x1<x2 时,f (x2)-f (x1)=2(e -e )-2(x2-x1) x1 x2-x1 =2e (e -1)-2(x2-x1) x1 ≥2e (x2-x1)-2(x2-x1) x1 =2(e -1) (x2-x1), 所以
x

a =0, 2
7分

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x1 >2(e -1). x2 ? x1

12 分

注:若有其他解法,请参照评分标准酌情给分. 考点:利用导数讨论函数的单调性,分类与整合,不等式的证明

10

22.如图,⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于点 D. 2 (1)求证:AT =BT·AD; (2)E、F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠A.

【答案】(1)见解析;(2)45?. 【解析】试题分析:(1)利用圆的切割线定理,寻求相关线段的关系;(2)充分利用弦切角等 于同弧所对圆心角求解∠A. 试题解析:(Ⅰ)证明: 因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB, 所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT. 2 2 又 AT =AB?AD,所以 AT =BT?AD. 4分
T F E A B M D C

(Ⅱ)取 BC 中点 M,连接 DM,TM. 由(Ⅰ)知 TC=TB,所以 TM⊥BC. 因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径. 所以∠ABT=∠DBT=90?. 所以∠A=∠ATB=45?. 10 分 考点:平面几何证明,直线与圆的位置关系 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

? ? x ? ?2 ? ? 2 ? sin ? ? 2a cos? (a>0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 (t 为 2 t 2

参数),l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 【答案】(1)x-y-2=0;(2)1. 【解析】试题分析:(1)利用极坐标与普通方程的关系式,可得 C 为抛物线方程,消去参数 t,可得直线 l 的方程;(2)由|PM|=|t1|,|MN|=|t1-t2|,|PN|=|t2|成等比数列,可转化 为关于 a 的等量关系求解.

11

试题解析:(Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0. (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t -2(4+a) 2 t+8(4+a)=0
2

2

4分

(*)

△=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 2 2 由题设得(t1-t2) =|t1t2|,即(t1+t2) -4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2 ,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a) -5(4+a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0,所以 a=1. 10 分 考点:参数方程与普通方程互化,极坐标方程与直角坐标方程互化,直线与抛物线位置关系 24.设函数 f ( x) ?| x ?
2

4 | ? | x ? m | (m>0) m

(1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)(0,1)∪(

1 ? 17 ,+∞) 2

【解析】试题分析:(1)利用绝对值基本性质:|x-a|+|x-b|≥|a-b|及基本不等式可得; (2)分类写出 f(2)关于 m 的解析式,解相关分式不等式即可 试题解析:(Ⅰ)由 m>0,有 f (x)=|x- ≥|-(x-

4 |+|x+m| m

4 4 )+x+m|= +m≥4, m m 4 当且仅当 =m,即 m=2 时取“=” .所以 f (x)≥4. m 4 (Ⅱ)f (2)=|2- |+|2+m|. m


4分

4 4 1 ? 17 <2,即 m>2 时,f (2)=m- +4,由 f (2)>5,得 m> . m m 2 4 4 ≥2,即 0<m≤2 时,f (2)= +m,由 f (2)>5,0<m<1. m m



综上,m 的取值范围是(0,1)∪( 考点:绝对值不等式

1 ? 17 ,+∞). 2

10 分

12


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