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高考新课标数学(理)课时作业:11.9 离散型随机变量的均值与方差


11.9

离散型随机变量的均值与方差

次数 X 的均值是( ) 55 40 A. B. 6 3

50 C. 3

D.10

1.已知 X 的分布列为 X P -1 1 2 0 1 6 1 a

解:既不出现 5 点也不出现 6 点的概率为 1-(1 5? 1 ? 1? 4 5 - )×?1-3? = 1 - = . ∴X ~B? ?30,9? . ∴E(X)= 3 9 9 5 50 30× = .故选 C. 9 3 湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的 6. (2013· 正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅 拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X, 则 X 的均值 E(X)=( 126 A. 125 6 B. 5 168 C. 125 7 D. 5 )

设 Y=2X+1,则 Y 的均值 E(Y)的值是( ) 1 2 29 A.- B. C.1 D. 6 3 36 1 解:∵E(Y)=2E(X)+1,又由已知得 a= , 3 1 1 1 2 ∴E(X)=- + =- .∴E(Y)= .故选 B. 2 3 6 3 岳阳二模)有 10 件产品,其中 3 件是次 2.(2013· 品, 从中任取 2 件, 若 X 表示取到次品的件数, 则 E(X) =( ) A. 3 5 8 14 B. C. D.1 15 15 2 1 1 C7 7 C7C3 7 解: P(X=0)= 2 = ; P(X=1)= 2 = ; P(X C10 15 C10 15 2 C3 1 7 1 3 =2)= 2 = .所以 E(X) = 1× +2× = .故选 C10 15 15 15 5 A. 3.某运动员投篮命中率为 0.6,他重复投篮 5 次,若他命中一次得 10 分,没命中不得分;命中次数 为 X,得分为 Y,则 E(X),D(Y)分别为( A.0.6,60 C.3,120 B.3,12 D.3,1.2 )

解:由题意知,X 可能的取值为 0,1,2,3. 若 X=0,观察知图中位于大正方体内部的 27 个 27 小正方体无涂漆面,则 P(X=0)= ; 125 若 X=1, 观察知图中位于各面中部的 9 个小正方 6× 9 54 体涂 1 面漆,则 P(X=1)= = ; 125 125 若 X=2, 观察知图中位于各棱中部的 3 个小正方 12× 3 36 体涂 2 面漆,则 P(X=2)= = ; 125 125 若 X=3, 观察知图中位于大正方体顶点处的 8 个 8 小正方体涂 3 面漆,则 P(X=3)= . 125 27 54 36 8 6 故 E(X)=0× +1× +2× +3× = .故 125 125 125 125 5 选 B. 上海)设非零常数 d 是等差数列 x1,x2, 7.(2013· x3,…,x19 的公差,随机变量 ξ 等可能地取值 x1,x2, x3,…,x19,则方差 D(ξ)=____________. d2 解:E(ξ)=x10,D(ξ)= (92+82+…+12+02+12 19

解:X~B(5,0.6),Y =10X,∴E(X)=5× 0.6 =3,D(X)=5× 0.6× 0.4=1.2.D(Y)=100D(X)= 120,故选 C. 4.甲、乙两人在同样条件下射击,每人射 5 发 子弹,所得环数如下: 甲:6,8,9,9,8 乙:10,7,7,7,9 下列叙述最准确的一项是( A.甲射的准 C.甲更稳定 ) B.乙射的准 D.乙更稳定

+…+92)=30d2.故填 30d2. 黄冈质检)某电视台举办有奖竞答活动, 8.(2013· 活动规则如下: ①每人最多答 4 个小题; ②答题过程中,若答对则继续答题,答错则停止 答题; ③答对每个小题可得 10 分,答错得 0 分. 1 已知甲答对每个题的概率为 , 记甲的最后得分为 3

解:易得甲、乙两组数据的均值均为 8,而甲、 6 8 乙两组数据的方差分别为 , . 故 C 项叙述更准确. 故 5 5 选 C. 5.抛掷两枚骰子,当至少有一枚 5 点或一枚 6 点出现时, 就说这次实验成功, 则在 30 次实验中成功

X,则 E(X)为____________. 解:X 的可能取值为:0,10,20,30,40. 1 2 P(X=0)=1- = , 3 3 1 ? 1? 2 1- = , P(X=10)= × 3 ? 3? 9 2 1? ? 1? 2 P(X=20)=? ?3? ×?1-3?=27, 1?3 ? 1? 2 P(X=30)=? ?3? ×?1-3?=81, 1?4 1 P(X=40)=? ?3? =81. ∴X 的分布列如下 40 1 P 81 2 2 2 2 数学期望 E(X) = 0× + 10× + 20× + 30× + 3 9 27 81 1 400 400 40× = .故填 . 81 81 81 9. 根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途 汽车在无雨天赢利 230 元,小雨天赢利 163 元,中雨 天赢利 90 元. 根据天气预报, 明天无雨的概率是 0. 2, 有小雨的概率是 0.3,有中雨的概率是 0.5.问明天 发一辆从北京开往天津的长途汽车赢利的期望是多少 元?方差和标准差各是多少? 解:用 X 表示明天发一辆车的赢利.{X=230}发 生的充要条件是明天无雨,{X=163}发生的充要条件 是明天有小雨, {X=90}发生的充要条件是明天有中 雨,于是, P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,P(X=90) =0.5. E(X)=230× 0. 2+163× 0. 3+90× 0. 5=139. 9(元). 于是赢利期望 139. 9 元, 或者说发一辆车平均赢 利 139.9 元. 方 差 D(X) = (230 - 139 . 9)2× 0 . 2 + (163 - 139.9) × 0.3+(90-139.9) × 0.5=3 028.69. 标准差 σ= D(X)= 3 028.69≈55. 10 . 某研究机构准备举行一次数学新课程研讨 会, 共邀请 50 名一线教师参加, 使用不同版本教材的 教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10
2 2

(2)若随机选出 2 名使用人教版教材的教师发言, 设其中使用人教 A 版的教师人数为 X,求随机变量 X 的分布列和均值. 解:(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为
2 2 C50 =1225.选出 2 人使用版本相同的方法数为 C20 + 2 2 C15 +C2 5+C10=350.故 2 人使用版本相同的概率为 P 350 2 = = . 1225 7

X

0 2 3

10 2 9

20 2 27

30 2 81

(2)X 的可能取值为 0,1,2. 1 C2 3 C1 60 15 20C15 ∵P(X=0)= 2 = ,P(X=1)= 2 = , C35 17 C35 119 C2 38 20 P(X=2)= 2 = . C35 119 ∴X 的分布列为 X P 0 3 17 1 60 119 2 38 119

3 60 38 136 8 ∴E(X)= × 0+ × 1+ × 2= = . 17 119 119 119 7 全国)某花店每天以每枝 5 元的价格从 11.(2012· 农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出 售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函 数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位: 枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利 润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你 认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 解:(1)当 n≥16 时,y=80; 当 n<16 时,y=10n-80. ? ?10n-80,n<16, 得 y=? (n∈N). ?80, n≥16 ? (2)①X 的可能取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1; P(X=70)=0.2; P(X=80)=0.7. 故 X 的分布列为 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使 用版本相同的概率;

X P 76.

60 0.1

70 0.2

80 0.7

(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学 期望. 解:(1)若第 4 局甲当裁判,则第 3 局甲必负,第 1 ? 1? 1 1- = . 2 局甲必胜. 故第 4 局甲当裁判的概率为 × 2 ? 2? 4 (2)解法一:X 的可能取值为 0,1,2. B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”, B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜 甲”, B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时, 结果为乙负”, B4 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜 丙”,则 1 P(X=0)=P(B1· B2· B4)=P(B1)· P(B2)· P(B4)= ; 8 1 P(X=2)=P( B1 · B3)=P( B1 )· P(B3)= ; 4 1 1 5 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1- - = . 8 4 8 9 E(X)=0· P(X=0)+1· P(X=1)+2· P(X=2)= . 8 解法二:X 的可能取值为 0,1,2.可画每局对 阵双方的树形图:

数学期望 E(X)=60× 0.1+70× 0.2+80× 0.7= 方差 D(X)=162× 0.1+62× 0.2+42× 0.7=44. ②方案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 理由如 下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润 (单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54 =76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2× 0.1+(65-76.4)2× 0.2+ (75-76.4)2× 0.16+(85-76.4)2× 0.54 =112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购 进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外, 虽然 E(X) <E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫 瑰花. 方案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润 (单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

1 1 5 由图得 P(X=0)= ,P(X=2)= ,P(X=1)= . 8 4 8 9 E(X)=0· P(X=0)+1· P(X=1)+2· P(X=2)= . 8

Y 的数学期望为 E(Y)=55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54 =76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购 进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均 利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 全国大纲)甲、乙、丙三人进行羽 (2013· 毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比 赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方 1 获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互独立,第 1 2 局甲当裁判. (1)求第 4 局甲当裁判的概率;


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