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高二数学直线的一般式方程


㈠复习提问:

①直线方程有几种形式?

点斜式:已知直线上一点P1(x1,y1)的坐标, 和直线的斜率k,则直线的方程是 y ? y ? k ( x ? x ) 1 1 斜截式:已知直线的斜率k,和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y ? kx ? b
两点式:已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2, y2)则直线的方程是: y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 截距式:已知直线在X轴Y轴上的截距为a,b, 则直线的方程是

x y ? ?1 a b

②上述四种直线方程,能否写成如下统一形式?
? x+ ? y+ ? =0

y ? y1? k ( x ? x1 )

kx ? (?1) y ? y1 ? kx1 ? 0
kx ? (?1) y ? b ? 0
( y2 ? y1 ) x ? ( x1 ? x2 ) y ? x1 ( y1 ? y2 ) ? y1 ( x2 ? x1 ) ? 0

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

bx ? ay ? ( ?ab) ? 0

上述四式都可以写成直线方程的一般形式:

Ax+By+C=0, A、B不同时为0。

㈡讲解新课: ①直角坐标系中,任何一条直线的方程都是关于x,y的一 次方程。

⑴直线和Y轴相交时:此时倾斜斜角α≠π/2,直线的斜 率k存在,直线可表示成y =k x+b(是否是二元一次方程?)

⑵直线和Y轴平行(包括重合)时:此时倾斜角α=π/2, 直线的斜率k不存在,不能用y =kx+b表示,而只能表 示成x=a(是否是二元一次方程?) 结论:任何一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程。 ②任何关于x,y的一次方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零) 的图象是一条直线
⑴B≠0时,方程化成 这是直线的斜截 式,

它表示为斜率为 – A/B,纵截距为- C/B的直线。

⑵B=0时,由于A,B不同时为零所以A≠0,此时,Ax+By+ C=0可化为x= -C / A,它表示为与Y轴平行(当C=0时)或重合 (当C=0时)的直线。

思考:直线与二元一次方程具有什么样的关系?

结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零)叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。

例1:已知直线经过点A(6,- 4),斜率 为 – 4/3,求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解:经过点A(6,- 4)并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 (x – 6) 化成一般式,得 截距式是: 4x+3y – 12=0

巩固训练(一)
若直线l在x轴上的截距-4时,倾斜角的余弦值 是-3/5, 则直线l的点斜式方程是___________

直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________

例2:把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式, 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距, 并画图。 y
3

解:将原方程移项,得2y = x+6, 两边除以2,得斜截式

-6

o

x

因此,直线L的斜率k=1/2,它在y轴上的截距是3 ,

令y=0,可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6

巩固训练(二)
设直线l的方程为Ax+By+c=0(A,B不同时为 零) 根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的 关系: C=0 直线l过原点:____________ A+B+C=0 直线l过点(1,1):___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于 轴:___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于轴:____________

例3:设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1) y=2m-6根据下列条件确定m的值(1)l在x轴上的 截距是-3;(2)斜率是-1。 解:(1)由题意得

(2)由题意得

巩固训练(三) 1、若直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾 斜角为450,则m的值是 ( B ) ( A) 3 (B) 2 (C)-2 ( D) 2与 3

2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 -6 距为3,则m的值是__________

例4:利用直线方程的一般式,求过点(0,3) 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解:设直线为Ax+By+C=0, ∵直线过点(0,3)代入直线方程 得3B= -C, B= -C/3 又直线与x,y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
3

y O x

∴A=±C/4 ∴方程为

所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0

巩固训练(四):

⒈根据下列条件写出直线的方程,并且化成一般式: ①斜率是 – 0.5,经过点A(8,-2);
y+2= - 0.5(x-8),x+2y-4=0,

②经过点B(4,2),平行于X轴;
y=2,y-2=0

③在x轴和y轴上的截距分别是3/2,- 3;

④经过两点P1(3,-2),P2(5,-4);
y+2 -2 x-3 = 2

,x+y-1=0,

2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时,斜率是多少?当B=0呢?
答:B≠0时,k= -A/B;B=0时,斜率不存在;

②系数取什么值时,方程表示通过原点的直 线?
答:C=0时,表示直线过原点。

⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距,并 画出图形: ①k= - 3,B=5; ①3x+y-5=0 ②x/4 -y/5 =1 ③x+2y=0
②k=5/4,b= -5 ; ③k= -1/2,b=0; ④k=7/6,b=2/3 ⑤k=0,b=7/2。

④7x-6y+4=0
⑤2y-7=0

1、直线方程的一般式Ax+By+c=0(A,B不同时为零)的两 方面含义:

(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。

布置作业:

7· 2

8,9,10

;

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