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3.第二讲 函数及其性质(二)(教师版)


模块一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第二讲 函数及其性质 第二讲 函数及其性质(二) 函数的奇偶性、周期性和对称性 考点一、函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x, 都 有 图象特点 关于 y 轴对称 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)是偶函数 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x, 都 有 奇函数 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)是奇函数 注:若奇函数定义域内有零,则必有 f(0)=0 关于原点对称 1. 定义域为 R 的四个函数 f(x)=x3, f(x)=2x, f(x)=x2+1, f(x)=2sin x 中 , 奇函数的个数 ( C ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:y=x3,y=2sin x 为奇函数;y=x2+1 为偶函数;y=2x 为非奇非偶函数.所以共有 2 个奇函数. 2.设函数 f ?x? ? x 2 ? 1 ?x ? a ? 为 奇函数,则 a ? ____0____。 解析:由函数 f ?x? ? x 2 ? 1 ?x ? a? 为奇函数得到 f ?0? ? 0 ,即 0 2 ? 1 ?0 ? a ? ? 0 ,所以 a ? 0 3.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义域为 [a ? 1,2a] 的偶函数,则 a ? b 的值是( B A.0 B. 1 3 ? ? ? ? ? ? ) C.1 D. ? 1 解析:由函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义域为 [a ? 1,2a] 的偶函数得 b ? 0 , 并且 a ? 1 ? ?2a ,即 a ? 1 1 ,所以 a ? b 的值是 3 3 4.函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上( D ) A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增 解析:当 m=1 时,f(x)=2x+3 不是偶函数,当 m≠1 时,f(x)为二次函数,要使其为偶函数,则其对 称轴应为 y 轴,故需 m=0,此时 f(x)=-x2+3,其图象的开口向下,所以函数 f(x)在(-5,-3)上单调 递增. 5.若偶函数 f ( x) 在 (??, ?1) 上是增函数,则下列关系式中成立的是( D 3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2 3 B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 D. f (2) ? f (? ) ? f ( ?1) 2 *争分夺秒巧复习,勤学苦练创佳绩* 1 ) 模块一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第二讲 函数及其性质 解析:因为 f ( x) 为偶函数,故 f (2) ? f (?2) ,又 ? 2 ? ? 3 所以 f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 3 ? ?1 , f ( x) 在 (??, ?1) 上是增函数, 2 考点二、周期性 (1)周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都 有 f(x+T)= f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 存在一个最小 的正数,那么这个 最小 (2) 最 小 正 周 如果在周期函数

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