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2011届高三数学理大纲版创新设计一轮复习课件:14.68 导数的运算


第68课时 导数的运算 68课时

熟记基本导数公式/掌握两个函数和、 熟记基本导数公式/掌握两个函数和、差、积、商的求导法则/了解 掌握两个函数和 商的求导法则/了解 复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数

1. 常见函数的导数公式 . (1)C′=0;(2)(xn)′=nxn-1;(3)(sin x)′=cos x;(4)(cos x)′=- x; = ; =-sin ; = - = ; =- (5)(ln x)′= = 2. 求导法则 . (1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x); ± = ± ; (2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x); = + ; (3)[Cu(x)]′=Cu′(x);(4) = ; (v≠0). . ;(6)(logax)′= = logae;(7)(ex)′=ex;(8)(ax)′=axln a. ; = =

3. 复合函数求导法则 . 函数u= 在点x处有导数 在点x的对应点 函数 =φ(x)在点 处有导数 x=φ′(x),函数 =f (u)在点 的对应点 处有导 在点 处有导数u′ ,函数y= 在点 的对应点u处有导 在点x处也有导数 数y′u=f ′(u),则复合函数 =f (φ(x))在点 处也有导数,y′x ,则复合函数y= 在点 处也有导数, 或f ′x(φ(x))=f ′(u)·φ′(x). = . = y′u·u′x

1. f(x)是定义在 , + ∞)上的非负可导函数 , 且满足 . 是定义在(0, 上的非负可导函数, 是定义在 上的非负可导函数 且满足xf′(x)+ f(x)≤0.对任 + 对任 意正数a、b,若a<b,则必有( 意正数 、 , ,则必有 A.af(a)≤f(b) . B.bf(b)≤f(a) . ) C.af(b)≤bf(a) . D.bf(a)≤af(b) .

解析: 据已知条件 为常数函数或在(0, 解析:根据已知条件[xf(x)]′≤0,则函数 ,则函数xf(x)为常数函数或在 ,+∞) 为常数函数或在 上递减, 上递减,af(a)≥bf(b)≥0① ① 又0<a<b,∴ , >0,则 , >0.② ②

①×②得:bf(a)≥af(b). . 答案:C 答案:

2. 函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于 . 处的导数等于( = + - 在 = 处的导数等于 A.1 . B.2 . C.3 .

) D.4 .

解析: 小题主要考查求多项式函数的导数等基本知识. 解析:本小题主要考查求多项式函数的导数等基本知识. y=(x+1)2(x-1)=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1, = + - = + - = - , y′=3x2+2x-1,y′|x=1=3+2-1=4. = - , = + - = 答案: 答案:D

3. 已知函数 . 知函数f(x)在x=1处的导数为 ,则f(x)的解析式可能为 处的导数为3, 的解析式可能为( 在 = 处的导数为 的解析式可能为 A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) . = - - C.f(x)=2(x-1)2 . = - B.f(x)=2(x-1) . = - D.f(x)=x-1 . = -

)

解析: 小题主要考查多项式函数的导数, 解析 : 本 小题主要考查多项式函数的导数 , 以及导数的四则运算等基 础 知 识 . 四 个 选 项 的 导 函 数 分 别 为 f′(x) = 3(x - 1)2 + 3 ; f′(x) = 2 ; f′(x)=4(x-1);f′(x)=1. = - ; = 答案: 答案:A

4.

(洪湖市高三月考 已知函数 洪湖市高三月考)已 洪湖市高三月考 的值为________. 的值为 . 解析: 解析

答案: 答案:12

熟记常用函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础. 熟记常用函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础. 下列各函数的导数: 【例1】 求下列各函数的导数: 】 (1)y= = (3)y=- =- (5)y= = ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); = + + + ; ;(4)y=tan x; = ; ;(6)y= =

解答: ∵ = 解答:(1)∵y= ∴y′=( = = )′+(x3)′+(x-2sin x)′ + + +3x2-2x-3sin x+x-2cos x. +

(2)解法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, 解法一: = 解法一 + + = + , ∴y′=3x2+12x+11. = + 解法二: = + 解法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ + + + + + + =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2) + + + + + + + + + =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) + + + + + + + = + + + + + =3x2+12x+11. +

(3)∵y= ∵ = (4)y′=(tan x)′= = = (5)y= = ∴y′= = (6)y= =

,∴y′= = =sec2x.

=cos x-sin x, - ,

∴y′=- x-cos x. =-sin - =-

求复合函数的导数,首先要把复合函数分解成基本初等函数, 求复合函数的导数,首先要把复合函数分解成基本初等函数,再 利用复合函数求导法则求导数. 利用复合函数求导法则求导数.

【例2】 (1)求函数 =sin2(2x+ 】 求函数y= + 解答: 解答:(1)y′=2sin(2x+ = + (2)y′=2log3xln 2· =

)的导数;(2)求函数 =2log 3 x的导数. 的导数; 求函数 求函数y= 的导数. 的导数 )cos(2x+ + )·2=2sin(4x+ = + ). .

=log32·

变式2. 求下列函数的导数: 变式 下列函数的导数: (1)y=x2sin x;(2)y=ln(x+ = ; = + (3)y= = ;(4)y= = (2) ); ;

答案:(1)2xsin x+x2cos x 答案: + (3) (4)

利用求导可解决证明不等式和数列求和等问题. 利用求导可解决证明不等式和数列求和等问题. 【例3】当x>0时,证明不等式:x- 】 > 时 证明不等式: - 证明: 证明:设f(x)=ln(1+x)+ = + + ∴f′(x)= = g′(x)= = 当x>0时,f′(x)>0,且g′(x)>0, > 时 > , > , ∴f(x)与g(x)在(0,+∞)上递增.又f(x)与g(x)在x=0处连续, 与 在 , 上递增. 与 在 = 处连续, 上递增 处连续 ∴f(x)>f(0)且g(x)>g(0).而f(0)=g(0)=0, > 且 > . = = , ∴x- - x2<ln(1+x)<x. + < x2<ln(1+x)<x. + <

x2-x,g(x)=x-ln(1+x), , = - + ,

- 变式3. 用导数求和: + + 变式 利用导数求和:1+2x+…+nxn-1(x≠1). . - 解答: = + + 解答:设s=1+2x+…+nxn-1=(x+x2+…+xn)′ +

= =

【方法规律】 方法规律】
1.要熟练掌握基本函数导数公式,熟练应用两个函数和、差、积、商的求 .要熟练掌握基本函数导数公式,熟练应用两个函数和、 导法则和复合函数的求导法则,在利用复合函数求导法则求函数导数时, 导法则和复合函数的求导法则,在利用复合函数求导法则求函数导数时, 一定要清楚函数、中间变量与自变量的关系,如例 以避免出现运算错误 以避免出现运算错误. 一定要清楚函数、中间变量与自变量的关系,如例2以避免出现运算错误. 2.利用导数证明不等式,要对所证不等式适当的进行变形观察,要将证明 .利用导数证明不等式,要对所证不等式适当的进行变形观察, 不等式转化为解决相关函数的单调性问题. 不等式转化为解决相关函数的单调性问题

(2010·天津市五校高三联考 本题满分 分)设函数 天津市五校高三联考)(本题满分 天津市五校高三联考 本题满分5分 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0), = + , f(x)的导函数是 的导函数是f′(x),集合 ={x|f(x)>0},B={x|f′(x)>0},若B?A, 的导函数是 ,集合A= > , = > , ? , 则( ) B.a>0,b2-4ac≥0 . > , D.a>0,b2-4ac≤0 . > ,

A.a<0,b2-4ac≥0 . < , C.a<0,b2-4ac≤0 . < ,

【答题模板】 答题模板】
解析: 已知 解析:由已知f′(x)=2ax+b,若a>0,f′(x)>0,即x>- = + , > , > , >- 对于 内的一切x不等式 恒成立, 内的一切 不等式ax2+bx+c>0恒成立,则?≤0, 不等式 + > 恒成立 , ,对于 内的一切x不等式 内的一切 不等式

即b2-4ac≤0,若a<0,x<- , < , <-

ax2+bx+c>0,不可能恒成立,综上 >0,?≤0. + > ,不可能恒成立,综上a> , 答案: 答案:D

【分析点评】 分析点评】
导数的求法是导数应用的基础, 导数的求法是导数应用的基础,要求正确地运用求导法则求出函数的导函 数.高考考查导数的求法,即使是选择题、填空题也常与其他内容综合考 高考考查导数的求法,即使是选择题、 查,有可能与曲线的切线、不等式、数列以及数形结合的思想方法结合进 有可能与曲线的切线、不等式、 行综合与全面的考查. 行综合与全面的考查. 本题就是一个导数与不等式结合的小型综合题. 本题就是一个导数与不等式结合的小型综合题


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