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2014年江西高考文、理科数学试题(综合版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生

本人准考 证号、姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 。 参考公式: x 2=

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 | z | =(
A.1 B.2



C. 2

D. 3
)

2.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A (CR B) ? (
A.(?3, 0) B. ( ? 3? , 1) C. ( ? 3? , 1] D. ( ? 3, 3)

3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于(
A. 1 18 B. 1 9 C. 1 6 D. 1 12



?a ? 2 x , x ? 0 4. 已知函数 f ( x) ? ? ? x (a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1,则 a ? ( ? 2 ,x ?0
A. 1 4 B. 1 2
C .1 D.2



5.在在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a=2b,则
2sin 2 B ? sin 2 A 的值为( sin 2 A
A. ? 1 9 B. 1 3
C .1


D. 7 2
1

6.下列叙述中正确的是(



A. 若 a, b, c ? R ,则 " ax 2 ? bx ? c ? 0" 的充分条件是 " b2 ? 4ac ? 0"

B. 若 a, b, c ? R ,则 " ab2 ? cb2 " 的充要条件是 " a ? c " C. 命题“对任意 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”的否定是“存在 x ? R ,有 x 2 ? 0 ” D. l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ?

7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系, 随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性 最大的变量是(
表1


表2 表3 表4

成 绩 性别 男 女 总计 A.成绩

不 及 总 及 格 计 格 6 14 20 10 22 32 16 36 52 B.视力

视 力 性别 男 女 总计 C.智商

好 差 4 16 12 20 16 36

总 计 20 32 52

智 商

阅读 偏 正 总 高 常 计 量 性别 男 女 总计 丰 富 14 2 16

性别 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52

不 丰 富 6 30 36

总 计 20 32 52

D.阅读量

7. 阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为

A.7

B.9

C.10

D.11

x2 y2 9.过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于 A , a b

若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), 则双曲 线 C 的方程为( A.
x2 y2 ? ?1 4 12

) B.
x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

2

a 10.在同一直角坐标系中,函数 y ? ax 2 ? x ? 与y ? a 2 x 3 ? 2ax 2 ? x ? a(a ? R) 的图 2

像不可能的是(



第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作 答,答案无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0, 则点P 的坐标是 _______.
1 12.已知单位向量 e1 , e2的夹角为 ? , 且cos ? ? , 若向量 a ? 3e1 ? 2e2 , 则 | a |? _______. 3

13. 在等差数列 ?an ?中,a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取 最大值, 则 d 的取值范围为_________. 14. 设椭圆 C : 相交于
A,B 两点, F1B 与 y 轴相交于点 D ,若 AD ? F1B ,则椭圆 C 的离心率等于

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点为 F1, F2 ,过 F2 作 x 轴的垂线与 C a 2 b2

________.
y ? R ,若 x ? y ? x ?1 ? y ?1 ? 2 ,则 x ? y 的取值范围为__________. 15. x,

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分)
?? ? 已知函数 f ?x? ? a ? 2 cos2 x cos?2x ? ? ? 为奇函数,且 f ? ? ? 0 ,其中 ?4?

?

?

a ? R, ? ? ?0, ? ?.

? 的值; (1)求 a,
2 ?? ? ?? ? ?? ? (2)若 f ? ? ? ? , ? ?? , ? ? ,求 sin?? ? ? 的值. 3? 5 ? ?4? ?2 ?

17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ?
3n 2 ? n ,n ? N ? . 2

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ? ,使得 a1, an, am 成等比数列.

4

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (4x 2 ? 4ax ? a 2 ) x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8,求 a 的值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, A 1 B ? BB 1. (1)求证: A1C1 ? CC1 ; (2)若 AB ? 2, AC ? 3, BC ? 7 ,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC ? A1B1C1 体 积最大,并求此最大值。 A1

A C B B1 C1

5

20.(本小题满分 13 分) 如图,已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,过点 M (0, 2) 任作一直线与 C 相交于 A, B 两点, 过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y ? 2 相交于点 N1 ,与(1)中 的定直线相交于点 N 2 ,证明: | MN2 |2 ? | MN1 |2 为定值,并求此定值.

y
M

A

B
O

x

D

6

21.(本小题满分 14 分) 将连续正整数 1,2,

, n(n ? N*) 从小到大排列构成一个数 123

n , F ( n) 为这个

数的位数 (如 n ? 12 时, 此数为123456789101112 , 共有 15 个数字,f (12) ? 15 ) , 现从这个数中随机取一个数字, p (n) 为恰好取到 0 的概率. (1)求 p(100) ; (2)当 n ? 2014 时,求 F ( n) 的表达式; (3)令 g (n) 为这个数字 0 的个数, f ( n) 为这个数中数字 9 的个数,

h(n) ? f (n) ? g (n) , S ? {n | h(n) ? 1, n ? 100, n ? N*},求当 n ? S 时 p (n) 的最
大值.

7

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学(含参考答案)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名、 考试科目” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 。 参考公式: x 2=

n(ad ? bc) 2 ; (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、 z 是 z 的共轭复数. 若 z ? z ? 2 , ( z ? z )i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( A. 1 ? i B. ? 1 ? i C. ? 1 ? i ) D. (??,0] ? [1,??) ) D. 1 ? i )

2、 函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为( A. (0,1) B. [0,1]

C. (??,0) ? (1,??)

3、 已知函数 f ( x) ? 5|x| , g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) ,若 f [ g (1)] ? 1 ,则 a ? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. ? 1 4、在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c, ,若 c 2 ? (a ? b) 2 ? 6, C ?
?ABC 的面积是( )

?
3

,则

A.3

B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3 )

5、一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

8

6、 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学生, 得到统计数据如表 1 至表 4, 则与性别有关联的可能性最大的变量是 ( )

7、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.7

B.9
1 1

C.10

D.11

8、若 f ( x) ? x 2 ? 2? f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? ( )
0 0

A. ?1

B. ?

1 3

C.

1 3

D.1

9、在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆
C 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( )
4 A. ? 5 3 B. ? 4

C. (6 ? 2 5)?

5 D. ? 4

10.如右图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =11, AD =7, AA1 =12,一质点 从顶点 A 射向点 E ? 4, 312 , ? ,遇长方体的面反射 (反射服从光的反射原理) ,将 i ? 1 次到第 i 次反射点 之间的线段记为 Li ?i ? 2,3,4? , L1 ? AE ,将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(
9



第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作 答,答案无效。 二.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一 题评阅计分,本题共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 11(1).(不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ?1 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( )
1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2 1 ? ,0 ?? ? B. ? ? cos ? ? sin ? 4

A. ? ?

C. D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?
2

?

4 三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的 概率是________.

13. 若曲线 y ? e? x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是 ________.
1 14.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? , 且 cos ? ? , 向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 3

的夹角为 ? ,则 cos ? = 15.过点 M (1,1) 作斜率为 ?
x2 y 2 1 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 2 a b

若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为
10

四.简答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16.(本小题满分 12 分) ? ? 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? , ) 2 2 ? (1)当 a ? 2, ? ? 时,求 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值; 4 ? (2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值. 2

17、 (本小题满分 12 分) 已 知 首 项 都 是 1 的 两 个 数 列 (1) 令 (2) 若 ,求数列 ,求数列 . 的通项公式; 的前 n 项和 . ( ), 满 足

11

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 (1) 当 时,求 的极值; (2) 若 在区间

.

上单调递增,求 b 的取值范围.

19、(本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . (1)求证: AB ? PD; (2)若 ?BPC ? 90? , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为何值时,四棱锥 P ? ABCD 的体积 最大?并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦 值.

12

20.(本小题满分 13 分) 如图,已知双曲线 C :
x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近 2 a

线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点), (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0 ? 0 )的直线 l : 与直线 x ? 此定值。
x0 x ? y 0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M, a2

3 | MF | 相交于点 N。证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求 2 | NF |

13

21.(本小题满分 13 分)随机将 1, 2, ???, 2n ? n ? N ? , n ? 2 ? 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A 组最小数为 a1 ,最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大 数为 b2 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件 ? 与? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 P (C ) ; (3)对(2)中的事件 C, C 表示 C 的对立事件,判断 P (C ) 和 P(C ) 的大小关系, 并说明理由。

14


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