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高中数学完整讲义——排列与组合6.排列组合问题的常见模型2


高中数学讲义

排列组合问题的常见模型 2

知识内容
1.基本计数原理 ⑴ 加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中 有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种 不同的方法.又称加法原理. ⑵ 乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法,做第二个 步 骤 有 m2 种 不 同 方 法 , …… , 做 第 n 个 步 骤 有 mn 种 不 同 的 方 法 . 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法.又称乘法原理. ⑶ 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的, 那么计算完成这件事的方法数时, 使用分类计数原理. 如 果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成 这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的 基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴ 排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数,用符号 A m n 表示.
(n ? m ? 1) , m ,n ? N? ,并且 m ≤ n . 排列数公式: Am n ? n(n ? 1)(n ? 2) 全排列:一般地, n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定: 0! ? 1 .

⑵ 组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组,叫做从 n 个元素中任取
m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素

中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. 组合数公式: Cm n ?
n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) n! ? , m, n ? N? ,并且 m ≤ n . m! m !(n ? m)!

n?m m m?1 组合数的两个性质:性质 1: Cm ;性质 2: Cm . (规定 C0 n ? Cn n ?1 ? Cn ? Cn n ? 1)

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⑶ 排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排 列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2. 分类分步法: 对于较复杂的排列组合问题, 常需要分类讨论或分步计算, 一定要做到分类明确, 层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4. 捆绑法: 某些元素必相邻的排列, 可以先将相邻的元素“捆成一个”元素, 与其它元素进行排列, 然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6. 插板法:n 个相同元素, 分成 m(m ≤ n) 组, 每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排,
m?1 从 n ? 1 个空中选 m ? 1 个空,各插一个隔板,有 Cn ?1 .

7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均 分成 n 堆(组),必须除以 n !,如果有 m 堆(组)元素个数相等,必须除以 m ! 8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求 小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当 n ? 2 ,3,4,5 时的错位数各为 1,2, 9,44.关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位 排列的问题. 1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ① 元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ② 位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③ 间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题; 再通过分析确定运用分类计数原理还是 分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答. 2.具体的解题策略有: ① 对特殊元素进行优先安排; ② 理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③ 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④ 对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法; ⑤ 顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥ 对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面. ⑦ 对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.

典例分析
分堆问题 【例1】 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? ⑴ 一堆一本,一堆两本,一堆三本; ⑵ 甲得一本,乙得两本,丙得三本; ⑶ 一人得一本,一人得二本,一人得三本;

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⑷ 平均分给甲、乙、丙三人; ⑸ 平均分成三堆.

【例2】 有 6 本不同的书

⑴甲、乙、丙 3 人每人 2 本,有多少种不同的分法? ⑵分成 3 堆,每堆 2 本,有多少种不同的分堆方法? ⑶分成 3 堆,一堆 1 本,一堆 2 本,一堆 3 本,有多少种不同的分堆方法? ⑷分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本,有多少不同的分配方法? ⑸分给甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本,有多少种不同的分配方法? ⑹分成 3 堆,有 2 堆各一本,另一堆 4 本,有多少种不同的分堆方法? ⑺摆在 3 层书架上,每层 2 本,有多少种不同的摆法?

【例3】 七个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?

⑴选出 5 个人再分成两组,一组 2 人,另一组 3 人; ⑵选出 6 个人,分成两组,每组都是 3 人; ⑶选出 2 人一组、3 人一组,轮流挖土、运土.

【例4】 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有

种(用数字作答) .

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2, 3, 4, 5, 6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,至多分 【例5】 把一同排 6 张座位编号为 1,

2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( A. 168 B. 96 C. 72 D. 144



【例6】 现有 3 辆公交车、3 位司机和 3 位售票员,每辆车上需配 1 位司机和 1 位售票员,问车辆、 司机、售票员搭配方案一共有多少种?

【例7】 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分 配方法共有( ) A.90 种 B.180 种 C.270 种 D.540 种

【例8】 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作, 每个场馆至少分配一名志愿者的

方案种数为( A. 540

) B. 300

C. 180

D. 150

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【例9】 某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践, 每个班去一个工厂, 每个工厂至少安排一个班,

不同的安排方法共有

种. (用数字作答)

染色问题 【例10】 如图,正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种, 使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法有( ) A. 30 种 B. 27 种 C. 24 种 D. 21 种

2, 3 填入 3 ? 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的 【例11】 将 1,

填写方法共有____________.
1 3 2 2 1 3 3 2 1

【例12】 将 1 , 2 , 3 填入 3 ? 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的 填写方法共有( ) A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种

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【例13】 用红、 黄、 蓝、 绿四种颜色给图中的 A 、B 、C 、D 四个小方格涂色 (允许只用其中几种) ,

使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为(
A C B D

) .

A. 24

B. 36

C. 72

D. 84

【例14】 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内, 每个小方格内至多填 1 个字母,

若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有__________种(用数字作答) .

【例15】 如图所示 A 、 B 、 C 、 D 、 E 为 5 个区域,现备有 5 种颜色为 5 个区域涂色,涂色要求:

每相邻两个区域不同色,每个区域只涂一色,共有多少种不同的涂色方法?

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C B A E D

【例16】 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个

格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 __________ 种(用 数字作答) .

【例17】 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色.要求最多使用 3

种颜色且相邻的两个格子颜色不同, 则不同的涂色方法共有 __________ 种 (用数字作答) .

错位排列
【例18】 编号为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五人入座编号也为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五个座位,至多有 2 人对号的坐

法有______种.

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【例19】 7 个人到 7 个地方去旅游,甲不去 A 地,乙不去 B 地,问:共有多少种旅游方案?

【例20】 7 个人到 7 个地方去旅游,甲不去 A 地,乙不去 B 地,丙不去 C 地,问:共有多少种旅游

方案?

【例21】 7 个人到 7 个地方去旅游,甲不去 A 地,乙不去 B 地,丙不去 C 地,丁不去 D 地,问:共

有多少种旅游方案?

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