26.1.1二次函数课件 (1)
二次函数(1)
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函
数？
y=kx+b (k≠0)
变 量 之 间 的 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
y=k/x (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
奥运赛场腾空的篮球
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①
问题1:
问题2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与
(n-3) 条 点不相邻的各顶点,可以作
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接 M N 相同两顶点的对角线是同一条对 角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形的 d ? n n?3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 1 2 3 即d? n ? n② 个值,d都有唯一的对应 2 2 值,即d是n的函数。
?
?
观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
d ? 1 n2 ? 3 n② 2 2
y ? 20 x2 ? 40 x ? 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax? +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
（3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x－1)? +1 (2) y=x+ x (3) s=3－2t? (4) y=(x+3)? －x? 1 __ －x (5)y= (6) v=8π r? x?
+1 解: (1)y=3(x-1)? =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
(4) y=(x+3)? =x2+6x+9-x2 -x?
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 (5)y= __ -x 二次项系数: 3 x? 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=8π r? 1 (2) y=x+ __ 不是二次函数. 是二次函数. x (3) s=3-2t? 是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 ) (3)y=3x3+2x2
( 不是 )
(2)y=3x2
（是
)
(4)y=2x2-2x+1( 是
)
(5)y=x-2+x (不是 )
(6)y=x2-x(1+x) (不是 )
知识运用
例2:m取何值时，
m ? 2m ?1 函数y= (m+1)x
2
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
驶向胜利 的彼岸
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y=
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
k (k≠0) ， x
想一想
函数y ? ax ? bx ? c(其中a, c是常数)， b,
2
当a, c满足什么条件时 b, （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a? 0
(2)a ? 0, ? 0 b
(3)a ? 0, ? 0,c ? 0 b
m2-7 例2、y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m ? n?n ? 1? 即 m ? n ? n 2 2 2
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 B C 。
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
C
)
m,n是常数,且n≠0
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
x m
y
m2
x m
九马画山
? 在美丽的桂林 有一处非常有 名的景观叫 “九马画山”， 在一处石壁上 的一些天然图 案酷似各种形 态的骏马。传 说凡人只能找 出两三匹马， 谁要是找出其 中的九匹马就 能当“状元 郎”。
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
2m+n=2②∵ 2m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴ ③∵
2m+n=2
2m+n=2 2m+n=0
⑤ ∵
④ ∵
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
∴
m-n=2
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
m=4/3 n=-2/3
m=2/3 n=2/3
m=2/3
n=-4/3
