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陕西师大附中高三2013届第六次模拟数学文


陕西师大附中高 2013 届第六次模拟数学(文科)试题
一、选择题(本大题共 10 道小题,每道小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U ? R, A ? {x | x( x ? 2) ? 0}, B ? {x | x ? 1}, 则 A ? (? B) 是( ) U (A) (?2,1) (B) [1, 2) (C) (?2,1] (D) (1, 2)


2.已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 (A) 2 ? i (B) 2 ? i

5i =( ) z (C) ?2 ? i

(D) ?2 ? i

3.已知三条直线 l1 : 4 x ? y ? 1 ,l2 : x ? y ? 0 ,l3 : 2x ? my ? 3 , l1 关于 l2 的对称直线与 l3 若 垂直,则实数 m 的值是( ) (A) ?8 (B) ?

1 2

(C)

1 2

(D) 8

4.下列有关命题的说法正确的是( )
2 2 (A)命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” . 2 (B) x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “

(C)命题“存在 x ? R, 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “对任意 x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” . (D)命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图, 俯视图是边长为 2 的正三角形, 那么该三棱锥的左 视图可能为( )

6.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (A) f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
2

) 的一部分图象如图所示,则( )

? ? ) ? 1 (B) f ( x) ? 2sin(3x ? ) ? 2 6 3 ? ? (C) f ( x) ? 2sin(3 x ? ) ? 2 (D) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 6 ??? ? ??? ? ??? ? 7.已知 AB ? (k ,1) , AC ? (2, 4) ,若 k 为满足 | AB |? 4 的一

随机整数,则 ?ABC 是直角三角形的概率为( ) (A)

3 7

(B)

1 7

(C)

1 3

(D)

2 3

8.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,若 ?OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) (A) y ? ?4x
2

开始
2

(B) y ? 4 x (C) y ? ?8x
2 2

(D) y ? 8x

输入 f 0 ( x)

9.在如右程序框图中,若 f 0 ( x) ? xe x ,则输出的是( ) (A) 2014e ? xe
x x

i?0

(B) 2013e ? xe
x

x

i ? i ?1

(C) 2012e ? xe
x

x

(D) 2013e ? x
x

fi ( x) ? fi ??1 (x)


10. 设 第 一 象 限 内 的 点 M ( x, y ) 的 坐 标 满 足 约 束 条 件

i ? 2013
是 输出 fi ( x) 结束

?2 x ? y ? 6 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值 ? x? y?2?0 ?
为 40 ,则 (A)

5 1 ? 的最小值为( ) a b
(B)1 (C)

25 6

9 4

(D)4

二、填空题(本大题共 5 道小题,每道小题 5 分,共 25 分) 11.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方 形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容 量为 160, 则中间一组(即第五组)的频数为
2 3 4

.

12.观察下列各式:则 7 ? 49,7 ? 343,7 ? 2401, ?, 则7
2013

的末两位数字为

. .

13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则 an ? 14.设函数 f ( x) ? ?

?2|x| , x ? (??,1) ?2 ? ln x, x ?[1, ??)

, 若 f ( x) ? 4 ,则实数 x 的取值范围是

.

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
2 2 A.(不等式选做题)若实数 x, y 满足 3x ? 2 y ? 6 ,则 2x ? y 的最大值为

.

B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt ? ABC 的两条直角

A D O B C

边 AC , BC 的 长 分 别 为 3cm, 4cm , 以 AC 为 直 径 的 圆 与 AB 交 于 点 D , 则

BD ? DA

.

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , (?为参数) ,以原点为 ? y ? 1 ? sin ?

极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 .

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 75 分) 16. (本小题 12 分) 已知 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? Sn ? 4 . (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ)是否存在正整数 k ,使 17.(本小题 12 分)
2 已知 f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2sin

Sk ?1 ? 2 ? 2 成立. Sk ? 2

?x
2

(? ? 0) 的最小正周期为 3? .

(Ⅰ)当 x ? [

? 3?
2 , 4

] 时,求函数 f ( x) 的最小值;

2 (Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2sin B ? cos B ? cos( A ? C) ,求 sin A 的值.

18.(本小题 12 分) 在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 2 3 的正三角 形, 平面 SAC ⊥平面 ABC ,SA ? SC ? 2 ,M 、N 分 别为 AB 、 SB 的中点. (Ⅰ)证明: AC ⊥ SB ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? CMN 的体积.
A S

N C B

M

19.(本小题 12 分) 一个袋中装有大小相同的 5 个球,现将这 5 个球分别编号为 1, 2,3, 4,5 . (Ⅰ)从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回.求取出的两个球上编 号之积为奇数的概率; (Ⅱ)若在袋中再放入其他 5 个相同的球,测量球的弹性,经检测这 10 个的球的弹性得分 如下:8.7,9.1,8.3,9.6,9.4,8.7,9.7,9.3,9.2,8.0 , 把这 10 个球的得分看成一个总体,从中任 取一个数,求该数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

20. (本小题 13 分) 已知离心率 e ?

x2 y 2 3 1 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F ( 3,0) ,点 A(1, ) . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点.求 ?MAN 面积的最大值.

21.(本小题 14 分) 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

陕西师大附中高 2013 届第六次模拟数学(文科)答案
一、选择题( 10 ? 5 ? 50 分) 1 2 3 题号 答案 B A C 二、填空题( 5 ? 5 ? 25 分) 11. 36 15. A. 11 12. 07 B. 13. 2n C. (?1,1),(1,1) 14. (??, ?2) ? (e , ??) .
2

4 D

5 B

6 D

7 A

8 C

9 B

10 C

16 9

三、解答题( 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)由题意, an ? Sn ? 4 , an?1 ? Sn?1 ? 4 , 由两式相减,得 (an?1 ? Sn?1 ) ? (an ? Sn ) ? 0 , 即 2an?1 ? an ? 0 , an ?1 ?

1 an . 2 又 2a1 ? a1 ? S1 ? 4 ,∴ a1 ? 2 .

??????3分

∴ 数列 {an } 是以首项 a1 ? 2 ,公比为 q ?

1 的等比数列. ??????6分 2

1 2[1 ? ( )n ] 2 ? 4 ? 22?n . ??????8分 (Ⅱ )由(Ⅰ Sn ? )得 1 1? 2

又由

4 ? 21? k ? 2 Sk ?1 ? 2 ? 2 ,整理得 2k ? 3 . ????10分 ? 2 ,得 4 ? 22 ? k ? 2 Sk ? 2
*

k ∵ ? N ,故不存在这样的 k ,使
17. (本小题满分12分) 【解析】∵ f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2 ?

Sk ?1 ? 2 ? 2 成立.??????10分 Sk ? 2

1 ? cos(? x) 2



2?

(Ⅰ)由

? ?
2

? 3 sin(? x) ? cos(? x) ? 1 ? 2sin(? x ? ) ? 1 ,???2分 6 2 2 ? ? 3? 得 ? ? ,∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 . ???4分 3 6 3 3? ? 2 ? 2? ?x? 得 ? x? ? , 4 2 3 6 3

?

∴当 sin( x ?

2 3

?
6

)?
2 3

3 3 时, f ( x) min ? 2 ? ? 1 ? 3 ? 1 .???6分 2 2

(Ⅱ)由 f (C ) ? 2sin( C ?

2 ? ) ? 1 及 f (C ) ? 1 ,得 sin( C ? ) ? 1 , 6 3 6 ? 2 ? 5? 2 ? ? ? 而 ? C? ? , 所以 C ? ? ,解得 C ? .???8分 6 3 6 6 3 6 2 2
在 Rt ?ABC 中,∵ A ? B ?

?

?

2

, 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C) , ??????10分

2 ∴ 2cos A ? sin A ? sin A ? 0 ,

2 ∴ sin A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得 sin A ?

?1 ? 5 . 2
??????12分

∵ 0 ? sin A ? 1 ,∴ sin A ?

5 ?1 . 2

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)证明:如图,取 AC 中点 O ,连结 SO , BO . ∵ SA ? SC ,∴ SO ? AC .?????2分 又∵ ?ABC 是正三角形, ∴ BO ? AC . ∵ SO ? BO ? O , ∴ AC ⊥平面 SOB . ???4 分 又∵ SB ? 平面 SOB ,∴ AC ⊥ SB .???6 分 (Ⅱ)∵ M 是 AB 的中点, ∴ S ?CMB ?

S

N . C

. M
A

B

1 1 1 3 3 3 S ?ABC ? ? ? 2 3 ? 2 3 ? ? . 2 2 2 2 2

?????8分

∵平面 SAC ⊥平面 ABC , SO ? AC ,∴ SO ? 平面 ABC .

又∵ SA ? 2 , AO ? 3 ,∴ SO ? 1 ,即点 S 到平面 ABC 的距离为 1. ∵ N 是 SB 的中点,∴点 N 到平面 ABC 的距离为 ∴ VB ?CMN ? VN ?CMB ?

1 .??????10 分 2

1 3 3 1 3 .??????12分 ? ? ? 3 2 2 4

19.(本小题满分12分) 【解析】(Ⅰ)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件 B ,

? ? {(1, , (1, , (1,), (1, (2,, (2, (2,), (2, 2) 3) 4 5), 1) 3), 4 5), ??(5,, (5,), (5, (5,)} 1) 2 3), 4
共包含 20 个基本事件; 4分

, , 1), 5), 1), , 其中 B ? {(1 3), (1 5), (3, (3, (5, (5 3)},包含 6 个基本事件.
则 P( B) ?

6 3 ? . 20 10

8分

(Ⅱ)样本平均数为

x?

1 (8.7 ? 9.1 ? 8.3 ? 9.6 ? 9.4 ? 8.7 ? 9.7 ? 9.3 ? 9.2 ? 8.0) ? 9 , 10 6 3 ? . 10 5

11 分

设 B 表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概 率.,则包含 6 个基本事件,所以 P( B) ? ” 20. (本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)∵ c ? 3, e ?
2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 1.

c 3 ,∴ a ? 2 .??????2 分 ? a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.??????4 分 4

(Ⅱ)若直线 l 存在斜率,设其方程为 y ? kx, l 与椭圆 C 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 。 将 y ? kx 代入椭圆 C 的方程 ∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? ∴ | MN |?

x2 ? y 2 ? 1并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ? 0 。 4
??????6 分

4 . 1 ? 4k 2

(1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )

16 4 1? k 2 .??????8 分 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

1 |k? | 2 , 又点 A 到直线 l 的距离 d ? 1? k 2
∴ S?MAN ?

1 | 2k ? 1| (2k ? 1) 2 4k ,?????10 分 | MN | ?d ? ? ? 1? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

① 当 k ? 0 时, S?MAN ? 1 ; ② 当 k ? 0 时, S?MAN ? 1 ; ③ 当 k ? 0 时, S?MAN ? 1 ?

4k 4 4 ? 1? ? 1? ? 2. 2 1 1 ? 4k 2 4 (? ) ? (?4k ) k

若直线 l 的斜率不存在,则 MN 即为椭圆的短轴,∴ | MN |? 2 ,∴ S?MAN ? 1 . 综上, ?MAN 的面积的最大值为 2 .??????13 分 21. (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 . 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ??2 分

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 1 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;??????4 分 e e e e 1 1 ? t ? t ? 1 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 1] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t . 分 ② ?6 e e
① 0?t ?

所以 f ( x ) min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? ?? . 1 ?t ln t , t ? ? e ?
2

??????????????8 分

3 , x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? ,??????10 分 x x2
(Ⅱ) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? ① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减, ② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, ??????12分

所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,

所以 a ? h( x)min ? 4 .

??????14 分


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