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02离散型随机变量的分布列(教案)


2. 1.2 离散型随机变量的分布列
教学目标: 知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点:离散型随机变量的分布列的概念 教学难点:求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型:新授课 课时安排:4 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变 量 随机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变 量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都是用变量表 示随机试 验的结果;但 是离散型 随机变量的结 果可以按 一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
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? ? a? ? b, a, b 是常数, 若 ? 是随机变量, 则? 也是随机变量 并且不改变其属性 (离
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散型、连续型) 请同学们阅读课本 P5-6 的内容,说明什么是随机变量的分布列? 二、讲解新课: 1. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?,
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ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ξ

P

x1 P1

x2 P2

? ?
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xi Pi

? ?

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列 2. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P ( A) ? 1 ,并且不可能事 件的概率为 0,必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面 两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的 和 即 P(? ? xk ) ? P(? ? xk ) ? P(? ? xk ?1 ) ? ? ? ?
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3.两点分布列:
1

例 1.在掷一枚图钉的随机试验中,令
?1,针尖向上; X= ? ?0,针尖向下.

如果针尖向上的概率为 p ,试写出随机变量 X 的分布列. 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是( 1 ? p ) .于是,随机变量 X 的分布列是 ξ P 0 1

1? p

p

像上面这样的分布列称为两点分布列. 两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新 生婴儿的性别;投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究.如果随机变量 X 的分布列 为两点分布列,就称 X 服从两点分布 ( two 一 point distribution),而称 p =P (X = 1)为成功 概率. 两点分布又称 0 一 1 分布. 由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利 ( Bernoulli ) 试 验,所以还称这种分布为伯努利分布.

P?? ? 0? ? q , P?? ? 1? ? p , 0 ? p ? 1, p ? q ? 1 .

4. 超几何分布列: 例 2.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,试求: (1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率.
3 解: (1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 C10 ,从 100 件产品中任取 3 件, k 3? k 其中恰有 k 件次品的结果数为 C5 C95 ,那么从 100 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件

次品的概率为

P( X ? k ) ?

3? k C5k C95 , k ? 0,1, 2,3 。 3 C100

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1
3 95

2
2 95

3
1 95 0 C C95 3 C100 3 5

CC 3 C100

0 5

CC 3 C100

1 5

CC 3 C100

2 5

(2)根据随机变量 X 的分布列,可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事 件 {X=k}发生的概率为
2

P( X ? k ) ?

k n?k CM CN ?M , k ? 0,1, 2, n CN

, m,

其中 m ? min{M , n} ,且 n ? N , M ? N , n, M , N ? N ? .称分布列 X P
0 M

0

1

? ?

C C C

n N ?M n N

C C C

1 M

n ?1 N ?M n N

m n ?m C CN ?M n CN
m M

为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几 何分布( hypergeometriC distribution ) . 例 3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出 5 个球,至少摸到 3 个红球就中奖.求中 奖的概率. 解:设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几何分布,其中 N = 30 , M=10, n=5 .于是中 奖的概率 P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 )十 P ( X = 5 ) =
3 5 ?3 4 5? 4 5 5?5 C10 C30 C10 C30 C10 C30 ?10 ?10 ?10 ≈0.191. ? ? 5 5 5 C30 C30 C30

思考:如果要将这个游戏的中奖率控制在 55%左右,那么应该如何设计中奖规则?
k k n P?? ? k ? ? Cm CN ?k / C N

例 4.已知一批产品共 件,其中 件是次品,从中任取 件,试求这 件产品中 所含次品件数 的分布律。 解 显然,取得的次品数 只能是不大于 与 最小者的非负整数,即 的可 能取值为:0,1,…, min{M , n} ,由古典概型知
k n ? CM CN ? P( X ? k )? n CN k M

k , ? 0 , 1 , 2m , ,

此时称 服从参数为 ( N , M , n) 的超几何分布。 注 超几何分布的上述模型中,“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取 件”.如果是有放回地抽取,就变成了 重贝努利试验,这时概率分布就是二项分布 . 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样,还是有放回地抽样.若产品总数 时,那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此,当 限分布就是二项分布,即有如下定理. 定理 如果当 时, 很大 时,超几何分布的极 不变) ,则

M ? p ,那么当 N


时(

k n ? k CM CN k ? M ? CN p k( 1? p )?n n CN

k

由于普阿松分布又是二项分布的极限分布,于是有: 超几何分布 二项分布 普阿松分布. 例 5.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的 两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出
3

黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ 的分布列. 分析:欲写出 ξ 的分布列,要先求出 ξ 的所有取值,以及 ξ 取每一值时的概率. 解:设黄球的个数为 n,由题意知 绿球个数为 2n,红球个数为 4n,盒中的总数为 7n. ∴

P(? ? 1) ?

4n 4 n 1 2n 2 ? , P (? ? 0) ? ? , P(? ? ?1) ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7
ξ P 1 0 -1

所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为

4 7

1 7

2 7

说 明 : 在 写 出 ξ 的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为 1. 例 6.某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下: ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

P

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ = 7 ” 、 “ξ = 8 ” 、 “ξ = 9 ” 、 “ξ = 10 ”的和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率. 解:根据射手射击所得的环数 ξ 的分布列,有 P(ξ =7)=0.09,P(ξ =8)=0.28,P(ξ =9)=0.29,P(ξ =10)=0.22. 所求的概率为 P(ξ ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88 四、课堂练习: 某一射手射击所得环数 ? 分布列为

?
P

4 0.02

5 0.04

6 0.06
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7 0.09

8 0.28

9 0.29

10 0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率

解: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ ? =7” , “ ? =8” , “ ? =9” , “ ? =10”的和, 根据互斥事件的概率加法公式,有: P( ? ≥7)=P( ? =7)+P( ? =8)+P( ? =9)+P( ? =10)=0.88 注:求离散型随机变量 ? 的概率分布的步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值 xi (2)求出各取值的概率 p( ? =xi)=pi (3)画出表格 五、小结 :⑴根据随机变量的概率分步(分步列),可以求随机事件的 概率;⑵两 点分布是一种常见的 离 散型随机变量的分布 , 它是概率论中最重要 的 几种分布之一 (3) 离散型随机变量的超几何分布 六、课后作业:
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4

七、板书设计(略)

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八、课后记: 预习提纲: ⑴什么叫做离散型随机变量 ξ 的数学期望?它反映了离散型随机变量的什么特征? ⑵离散型随机变量 ξ 的数学期望有什么性质?

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