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高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第讲对数与对数函数习题(新)-课件


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 第 5 讲 对数与 对数函数习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1 1.(2015·四川泸州一诊)2lg2-lg 的值为 导学号 25400315 ( 25 A.1 C.3 [答案] B 1 1 2 [解析] 2lg2-lg =lg(2 ÷ )=lg100=2,故选 B. 25 25 1 1 1 2. (2015

·石家庄一模)已知 a=32 , b=log1 , c=log2 , 则 导学号 25400316 ( 2 3 3 A.a>b>c C.c>b>a [答案] A 1 1 1 [解析] 因为 32 >1,0<log1 <1,c=log2 <0,所以 a>b>c,故选 A. 3 3 2 3 . 已 知 函 数 f(x) = 2 + log2x , x ∈ [1,2] , 则 函 数 y = f(x) + f(x ) 的 值 域 为 导学号 25400317 ( A.[4,5] 13 C.[4, ] 2 [答案] B [解析] ) 11 B.[4, ] 2 D.[4,7]
2

)

B.2 D.4

)

B.b>c>a D.b>a>c

y=f(x)+f(x2)=2+log2x+2+log2x2=4+3log2x,注意到为使得 y=f(x)+
11 2

f(x2)有意义,必有 1≤x2≤2,得 1≤x≤ 2,从而 4≤y≤ .
4.函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 导学号 25400318 ( ) A.(1,+∞) 1 C.(0, ) 3 [答案] D
1

B.(0,1) D.(3,+∞)

[解析] 由于 a>0,且 a≠1,故 u=ax-3 为增函数, 因为函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数, 因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3]上恒为正, 所以 a-3>0,即 a>3,故选 D. 5.(2015·安徽安庆五校联考)已知函数 f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),则 的最小值等于 导学号 25400319 ( A.2 2 C.2+ 3 [答案] A 1 [解析] 因为 f(x)=|lgx|,f(a)=f(b),所以 a= . ) B. 5 D.2 3

a2+b2 a-b

b

1 2 1 2 2 ? ? +b ? -b? +2 b b a +b 1 2 又因为 a>b>0,所以 0<b<1.所以 = = =( -b)+ a-b 1 1 b 1 -b -b -b
2 2

b

b

b

1 2 6- 2 ≥2 2,当且仅当 -b= ,即 b= 时取得最小值 2 2.故选 A. b 1 2 -b

b

log2x,x>0, ? ? 6.设函数 f(x)=? log1 ?-x?,x<0, ? 2 ? 是 导学号 25400320 ( A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) [答案] C )

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围

a>0, ? ? [解析] f(a)>f(-a)? ?log2a>log1 a ? 2 ?
??
? ?a>0, ?a>1 ?

a<0, ? ? 或? log1 ?-a?>log2?-a? ? 2 ?

或?

? ?a<0, ?-1<a<0 ?

? a>1 或-1<a<0.

二、填空题

2

7.(2015·浙江)计算:log2 1 [答案] - 3 3 2 [解析] log2

2 log 3+log43 =________,2 2 =________. 导学号 25400321 2

2 1 1 log 3+log43 3 =log22- =- ,2 2 =22 2 2 2

log23

3 =2log23 = 27=3 3. 2

2 8.函数 y=log1 (x -6x+17)的值域是________. 导学号 25400322 2

[答案] (-∞,-3]
2 2 [解析] 令 t=x -6x+17=(x-3) +8≥8, y=log1 t 为减函数, 所以有log1 t≤log1 2 2 2

8=-3. 9 . 函 数 y = log2|x + 1| 的 单 调 递 减 区 间 为 ________ , 单 调 递 增 区 间 为 ________. 导学号 25400323 [答案] (-∞,-1) (-1,+∞)

[解析] 作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得到函数 y=log2|x|的图象,再 将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数 y =log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).

10.(2015·山东莱芜二模)已知函数 f(x)=? =________. 导学号 25400324 [答案] 8 [解析] f(f(-4))=f(2 )=log416=2,
4

? ?log4x,x>0, ?2 ,x≤0, ?
-x

1 则 f(f(-4))+f(log2 ) 6

1 1 1 ∵log2 <0,∴f(log2 )=2-log2 =2log26=6, 6 6 6 1 即 f(f(-4))+f(log2 )=2+6=8. 6 三、解答题 11 . (2015· 湖 南 娄 底 高 中 名 校 9 月 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) = log1 2 3). 导学号 25400325
3

(x - 2ax +

2

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为(-∞,-1],求实数 a 的值. [答案] (1)(- 3, 3)
2

(2)±1
2 2

[解析] 记 u=g(x)=x -2ax+3=(x-a) +3-a . (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立, ∴umin=3-a >0, 解得- 3<a< 3, ∴a 的取值范围是(- 3, 3). 1 2 (2)∵函数 y=log u 是减函数,函数 f(x)=log1 (x -2ax+3)的值域为(-∞,-1], 2 2
2 2 2 ∴x -2ax+3≥2,g(x)的值域是[3-a ,+∞),等价于log1 (3-a )=-1,解得 a=±1. 2 2

12.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. 导学号 25400326 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. [答案] (1){x|-1<x<1} (2)奇函数 (3){x|0<x<1}

[解析] (1)要使函数 f(x)有意义, 则?
? ?x+1>0, ?1-x>0, ?

解得-1<x<1.

故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,

x+ 1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1- x
所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. B 组 能力提升 1.(2015~2016 学年安徽省安庆市慧德中学高三月考题 )如图给出了函数 y=a ,y= logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x 的图象,则与函数 y=a ,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a -1)x 依次对应的图象是 导学号 25400327 (
2 2

x

x

)

4

A.①②③④ C.②③①④ [答案] B

B.①③②④ D.①④③②

[分析] 由二次函数的图象为突破口,根据二次函数的图象开口向下得到 a 的范围,然 后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案. [解析] 由图象可知 y=(a-1)x 为二次函数,且图中的抛物线开口向下, ∴a-1<0,即 a<1. 又指数函数和对数函数的底数大于 0 且不等于 1, ∴y=a 为减函数,图象为①;y=logax 为减函数,图象为③;y=log(a+1)x 为增函数, 图象为②. ∴与函数 y=a ,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x 依次对应的图象是①③②④. 故选 B. [点拨] 本题考查了基本初等函数的图象和性质,是基础的概念题. 2 .(2015·湖南 ) 设函数 f(x) = ln(1 + x) - ln(1 - x) ,则 f(x) 是 导学号 25400328 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 [答案] A 1+x 2 [解析] 由题意可得,函数 f(x)的定义域为(-1,1),且 f(x)=ln =ln( -1), 1-x 1-x 2 易知 y= -1 在(0,1)上为增函数,故 f(x)在(0,1)上为增函数,又 f(-x)=ln(1-x)- 1-x ln(1+x)=-f(x),故 f(x)为奇函数,选 A.
? ?2 +1,x≤0 3.已知函数 f(x)=? ?log3x+ax,x>0 ?
-x 2

x

x

2

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

,若 f(f(-1))>4a,则实数 a 的取值范围为

导学号 25400329 ( A.(-∞,1) 1 C.(-∞, ) 5

) B.(-∞,0) D.(1,+∞)

5

[答案] A [解析] ∵f(-1)=3,∴f(f(-1))=1+3a>4a,∴a<1,故选 A. 4.(2015·山东省广饶一中高三 10 月月考)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga(ax -x)在[3,4]上是增函数,则 a 的取值范围是________. 导学号 25400330 [答案] (1,+∞) [分析]
2

1 2 [解析] 由已知可得 ax -x>0 在[3,4]上恒成立,故 9a-3>0,解得 a> . 3 若 0<a<1,则 y=logat 在(0,+∞)上单调递减,由题意知 t=ax -x 在[3,4]上为减 1 1 1 函数,故 ≥4,解得 a≤ ,这与 a> 矛盾,不合题意. 2a 8 3 若 a>1, 则 y=logat 在(0, +∞)上单调递增, 由题意知 t=ax -x 在[3,4]上为增函数, 1 1 故 ≤3,解得 a≥ .因为 a>1,所以 a 的取值范围是(1,+∞). 2a 6 综上可知,a 的取值范围是 a>1. [点拨] 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式的问题时,要优先考虑利用对数 函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数 a 的取值对函数单调性的影响,及 真数必须为正的限制条件. 1 2 5.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)·loga(a x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最 2 1 小值是- ,求 a 的值. 导学号 25400331 8 [答案] [解析] 3 2 1 )- . 2 8 1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得.
6
2 2

1 2 1 1 1 2 由题意知 f(x)= (logax+1)·(logax+2)= (logax+3logax+2)= (logax+ 2 2 2

1 3 2 1 1 若 (loga2+ ) - =1,则 a=2- , 2 2 8 3 此时 f(x)取得最小值时,

x=(2-3 )- = 2?[2,8],舍去.
1 3 2 1 1 若 (loga8+ ) - =1,则 a= , 2 2 8 2 此时 f(x)取得最小值时,

1

3 2

x=( )-2 =2 2∈[2,8],符合题意,
1 ∴a= . 2 6.已知函数 f(x)=log2(4 +1)+kx(x∈R)是偶函数. 导学号 25400332 (1)求 k 的值; 4 x (2)设函数 g(x)=log2(a·2 - a),其中 a>0,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一 3 个交点,求 a 的取值范围. [答案] (1)-1 (2)[2,+∞) [解析] (1)∵f(x)=log2(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数, ∴f(-x)=log2(4 +1)-kx=f(x)对任意 x∈R 恒成立. 即 log2(4 +1)-kx=log2(4 +1)+kx 恒成立,∴k=-1. 4 4 x (2)由于 a>0,所以 g(x)=log2(a·2 - a)的定义域为(log2 ,+∞). 3 3 ∵函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点, 4 4 x x ∴方程 log2(4 +1)-x=log2(a·2 - a)在(log2 ,+∞)上只有一解, 3 3 4 +1 4 4 x 即方程 x =a·2 - a(*)在(log2 ,+∞)上只有一解. 2 3 3 4 4 4 x 2 令 2 =t,则 t> ,因而方程(*)等价于关于 t 的方程(a-1)t - at-1=0(**)在( , 3 3 3 +∞)上只有一解. 3 4 ①当 a=1 时,解得 t=- ?( ,+∞),不符合题意. 4 3 4 2a 2 ②当 0<a<1 时,记 h(t)=(a-1)t - at-1,其图象的对称轴为 t= <0. 3 3?a-1? 4 25 4 又 h( )=- <0,在( ,+∞)上无解,不符合题意. 3 9 3
7
x
-x -x

1 2

3

x

x

x

4 2a 4 2 ③当 a>1 时,记 h(t)=(a-1)t - at-1,其图象的对称轴 t= >0,又 h( ) 3 3?a-1? 3 25 4 2a 4 =- <0,因此在( ,+∞)有一解满足 ≤ ,解得 a≥2,综上所述,a 的取值范围 9 3 3?a-1? 3 [2,+∞).

8


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