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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷十)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(十)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1. 复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是 B.

1 i A. (1,1)

(?1,1)

C.

(?1, ?1)

D. (1, ?1)

2. 已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? {x ? R | x ? 2} , 下图中阴影部分所表示的集 合为 A {1} C. {1, 2} B. {0,1} D. {0,1, 2}

A

B

1 的零点所在区间 x 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1, 2) D. (2, 3) 2 2 ? x ? 1 ? 3t 4.若直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线 l 倾斜角的余弦值为 ? y ? 2 ? 4t 3 3 4 4 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5
3.函数 f ( x ) ? log 2 x ? 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是 ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 6.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ....

1

1

1
主视图

1
左视图

1

1

1 1

1

1

1

1

1

A

B

C

D

-1-

7.若椭圆 C1 :

x2
2

a1 b1 的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论:
① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点;
2 2 2 2

?

y2
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a2 ? b2 ? 0 )



a1 b1 ? ; a2 b2
D1 C1

③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ; ④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 . 其中,所有正确结论的序号是 A.②③④ B. ①③④ C.①②④ D. ①②③ 8. 在一个正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点, A1

P

O 为底面正方形 ABCD 的中心, M , N 分别为 AB, BC 中点,点 Q 为平面 ???? ? ???? ? ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互相平分,则满足 MQ ? ? MN 的实数 ? 的值
有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个
A M D
O

B1

C

Q

N

B

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? y ? 2 x, ? 9.点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域内,则 z ? x ? y 的最大值为_______. ?x ? 2 ? 开始
10.运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为 11.若 x(1 ? mx) ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x , 其中 a2 ? ?6 ,则实数 m 的值为 ;
4 2 3 4 5

.
输入n
i ? 0, S ? 1


a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值为 . 12.如图,已知 ? O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D ,若 AD ? 3 , BD ? 2 ,且 D 为 OC 的中点,则 CD 的长为 .

i ≤n


S ? S ?i
i ? i ?1

输出S 结束

O

A

D
C

B

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? t , , an?1 ? an ? 2 ? 0 (t ? N , n ? N ) ,记数列 ?an ? 的前 n 项和
* *

的最大值为 f (t ) ,则 f (t ) ? 14. 已知函数 f ( x ) ?

.

sin x x
3 ? 时, f ( x) 取得极小值. 2

(1)判断下列三个命题的真假: ① f ( x ) 是偶函数;② f ( x) ? 1 ;③当 x ?

-2-

其中真命题有____________________; (写出所有真命题的序号) (2)满足 f (

n? n? ? ) ? f ( ? ) 的正整数 n 的最小值为___________. 6 6 6

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? 3sin ? x cos ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 f ( ?) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间及其图象的对称轴方程.

2 3

16.(本小题共 13 分) 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客, 假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD ,?PAB 和 ?PAD 是 两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证: OE // 平面 PDC ; (Ⅲ)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.
P

-3-

E

A
O

B

18.

(本小题共 14 分)

1 2 ax ? x . (a ?R) . 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程( e ? 2.718... ) ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.
已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ?
2

19.(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设点 P( x, y), M ( x, ?4) , 以线段 PM 为直径的圆经过原点 O . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)过点 E (0, ?4) 的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A, B ,点 A 关于 y 轴的对称点为 A ' , 试判断直线 A ' B 是否恒过一定点,并证明你的结论.

20. (本小题共 13 分)

对于数列 A:a1,a2, ,an ,若满足 ai ??0,1 (i ? 1,2,3, ???, n) ,则称数列 A 为“0-1 数 ? ?

列”.定义变换 T ,T 将“0-1 数列” A 中原有的每个 1 都变成 0,1,原有的每个 0 都变成 1, 0. 例如 A :1,0,1,则 T ( A) : 0,1,1, 0, 0,1. 设 A0 是“0-1 数列” ,令 Ak ? T ( Ak ?1 ),

k ? 1, 3,?. 2,3, ??

-4-

(Ⅰ) 若数列 A2 : 1, 0, 0,1, 0,1,1, 0,1, 0, 0,1. 求数列 A , A0 ; 1 (Ⅱ) 若数列 A0 共有 10 项, 则数列 A2 中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由; (Ⅲ)若 A0 为 0,1,记数列 Ak 中连续两项都是 0 的数对个数为 lk ,k ? 1, 2,3, ??? .求 lk 关于

k 的表达式.

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷(十)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 2
-5-

分) 9. 6 10. 11
? t 2 ? 2t ? 4 , ? ? 2 ? (t ? 1) , ? 4 ? (t为偶数)

11.

3 2



1 16

12.

2

13.

14.
(t为奇数)

①② , 9

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分)

1 3 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ?????????2 分 2 2 1 ? ? ? sin(2? x ? ) , ??????????3 分 2 6 2π ? π ,解得 ω ? 1 , ??????????4 分 因为 f ( x ) 最小正周期为 π ,所以 2ω π 1 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? , ?????????? 5 分 6 2 2π 1 所以 f ( ) ? ? . ??????????6 分 3 2 ? ? ? 2k? ? ? ? 2 x? ? ? 2k? , ( Ⅱ ) 分 别 由 , k 2 6 2 ? ? 3? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , (k ? Z ) 2 6 2 ? ? ? 2? , (k ? Z ). ??????8 分 可得 k? ? ? x ? k? ? , (k ? Z ) , k? ? ? x ? k? ? 3 6 6 3 ? ? 所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) ; 3 6 ? 2? f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? ], (k ? Z ). ?????????10 分 6 3
解: (Ⅰ) f ( x) ?

(

Z

)

π π k π 得 ? kπ ? ,(k ? Z) x ? π ? ,(k ? Z ) . 6 2 2 6 k π 所以, f ( x ) 图象的对称轴方程为 x ? π ? (k ? Z ) . ??????????13 分 2 6 16.(共 13 分) 解:(Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,???????1 分 1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , ????????3 分 3
由 2x ?

? 2 ? 65 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 81 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,

4

?????????6 分 . ??????????7 分

1 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 ,且每个人下电梯互不影响, 3 1 所以, X ? B (4, ) . ???????????9 分 3
-6-

X
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81
????????????11 分 ????????????13 分

1 4 E( X ) ? 4 ? ? . 3 3
17.(共 14 分) (Ⅰ)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则

P

DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 ,
∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴ PO ?

E

A
O

B

D

F

C

????????????2 分
2

AD ? AB ? 2 2 ,
2

1 BD ? 2 , 2 2 2 2 在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO ,???????????4 分 ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; ???????????5 分 (Ⅱ)方法 1:连接 PF ,∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC . ???????????9 分 方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,又 AB ? AD ,所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线,以 它们做 x, y 轴,以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

PB2 ? BO2 ? 2 , AO ?

由已知得:

A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0) F (1,1,0) , C (1,3,0) , P(0,0, 2) ,

P

E 1 1 2 E (? , ? , ), 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 A B 则 OE ? (? , ? , ) ,PF ? (1,1, ? 2) ,PD ? (1, ?1, ? 2) , O 2 2 2 ??? ? PC ? (1,3, ? 2) . F D x ??? ? ??? ? 1 ∴ OE ? ? PF 2 ∴ OE / / PF ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC ; ?????????????9 分 ? (Ⅲ) 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ ,

y
C

-7-

? ???? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ? n?PC ? 0 ? ? 则 ? ? ???? ,即 ? , ? ? n?PD ? 0 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? ? ? y1 ? 0 ? ? 解得 ? ,令 z1 ? 1,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2,0,1) , ? x1 ? 2 z1 ? ??? ? 又 CB ? (?2, ?2,0) ? 2 2 3 ? ??? 则 sin θ ? cos ? n, CB ? ? , ? 3 3?2 2
∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

3 . ???????????????14 分 3

18. (共 14 分) 解: (I)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? x ln x , f '( x) ? ? ln x , ?????????2 分 所以 f (e) ? 0 , f '(e) ? ?1 , ?????????4 分 所以曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程为 y ? ? x ? e .?????????5 分 (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

1 f '( x) ? (ax 2 ? x) ? (2ax ? 1) ln x ? ax ? 1 ? (2ax ? 1) ln x ,??????????6 分 x
①当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0 ,在 (0,1) 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上递减;????????????????8 分 1 1 1 ②当 0 ? a ? 时,在 (0,1) 和 ( , ??) 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ) 上 f '( x) ? 0 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上递减;?????????10 分 2a 2a 1 ③当 a ? 时,在 (0, ??) 上 f '( x) ? 0 且仅有 f '(1) ? 0 , 2 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; ?????????????????12 分 1 1 1 ④当 a ? 时,在 (0, ) 和 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,在 ( ,1) 上 f '( x) ? 0 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x ) 在 (0, ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上递减???????????14 分 2a 2a 19.(共 13 分) 解: (I)由题意可得 OP ? OM ,

??? ???? ? ? 所以 OP ? OM ? 0 ,即 ( x, y)( x, ?4) ? 0 ????????????4 分 2 2 即 x ? 4 y ? 0 ,即动点 P 的轨迹 W 的方程为 x ? 4 y ?????5 分 (II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A '(? x1 , y1 ) .
由?

???????????2 分

? y ? kx ? 4 2 消 y 整理得 x ? 4kx ? 16 ? 0 , ????????????6 分 2 ? x ? 4y
2

则 ? ? 16k ? 64 ? 0 ,即 | k |? 2 .

????????????7 分 ?????????????9 分

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 16 . y ? y1 直线 A ' B : y ? y2 ? 2 ( x ? x2 ) x2 ? x1

-8-

?y ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) ? y 2 x2 ? x1
??????????????12 分

x2 2 ? x12 1 ?y ? ( x ? x2 ) ? x2 2 4( x1 ? x2 ) 4 x ?x x 2 ? x1 x2 1 2 ?y ? 2 1 x? 2 ? x2 4 4 4 x ?x xx ? y? 2 1 x? 1 2 4 4 x ? x1 x?4 即y? 2 4 所以,直线 A ' B 恒过定点 (0, 4) .

??????????????13 分 ?????????????2 分

20. (共 13 分) 解:(Ⅰ)由变换 T 的定义可得 A1 : 0,1,1,0,0,1

?????????????4 分 A0 :1,0,1 (Ⅱ) 数列 A0 中连续两项相等的数对至少有 10 对 ?????????????5 分 证明:对于任意一个“0-1 数列” A0 , A0 中每一个 1 在 A2 中对应连续四项 1,0,0,1,在 A0 中 每一个 0 在 A2 中对应的连续四项为 0,1,1,0, 因此,共有 10 项的“0-1 数列” A0 中的每一个项在 A2 中都会对应一个连续相等的数对, 所以 A2 中至少有 10 对连续相等的数对. (Ⅲ) 设 Ak 中有 bk 个 01 数对, ?????????????????8 分

Ak ?1 中的 00 数对只能由 Ak 中的 01 数对得到,所以 lk ?1 ? bk , Ak ?1 中的 01 数对有两个产生途径:①由 Ak 中的 1 得到; ②由 Ak 中 00 得到,
由变换 T 的定义及 A0 : 0,1 可得 Ak 中 0 和 1 的个数总相等,且共有 2 所以 bk ?1 ? lk ? 2k , 所以 lk ?2 ? lk ? 2k , 由 A0 : 0,1 可得 A1 :1,0,0,1 , A2 : 0,1,1,0,1,0,0,1 所以 l1 ? 1, l2 ? 1 , 当 k ? 3 时, 若 k 为偶数, lk ? lk ?2 ? 2k ?2
k ?1

个,

lk ?2 ? lk ?4 ? 2k ?4 ? l4 ? l2 ? 22
上述各式相加可得 lk ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 4 k ?2

1(1 ? 4 2 ) 1 k ? ? (2 ? 1) , 1? 4 3

k ?1

1 经检验, k ? 2 时,也满足 lk ? (2k ? 1) 3 k 为奇数, lk ? lk ?2 ? 2k ?2 若

lk ?2 ? lk ?4 ? 2k ?4 ? l3 ? l1 ? 2
-9-

上述各式相加可得 lk ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3

k ?2

2(1 ? 4 2 ) 1 k ? 1? ? (2 ? 1) , 1? 4 3

k ?1

1 经检验, k ? 1 时,也满足 lk ? (2k ? 1) 3

?1 k ? 3 (2 ? 1), k为奇数 ? 所以 lk ? ? ????????????????????????13 分 ? 1 (2k ? 1), k为偶数 ?3 ?

- 10 -


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