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2012年长春市高中毕业生第四次调研测试(理数,解析版)


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2012 年长春市高中毕业生第四次调研测试



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分 钟,其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必

考题.考试结束后,将试卷和答题卡 一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效;在 草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). .... 1. 设集合 A ? { x ? N
1? i (1 ? i )
1 2 ?
2
?

x ? 1 ? 1 0} , B ? { x ? R x ? x ? 6 ≤ 0} ,则 A ? B 为
2

A. { x | ? 3 ≤ x ≤ 2} 2. 复数 A. ? 3. 4.

B. {0 ,1, 2 , 3}

C. {1, 2 , 3}

D. {1, 2}

的共轭复数为
i

1 2

B. ?

1 2

?

1 2
3

i

C.

1 2

?

1 2
x

i

D.

1 2

?

1 2
?3

i

下列函数既是奇函数,又是增函数的是 A. y ? lo g 2 x B. y ? x ? x C. y ? 3 D. y ? x 等差数列 { a n } 的公差为 3,若 a 2 , a 4 , a 8 成等比数列,则 a 4 = A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二项式 ( x ? A. ? 8 4 C. ? 2 8
1 x ) 的展开式中 x 的系数为
9

开始

5.

k ? 0

S ? 0
3

6.

B. 8 4 D. 2 8

S ? 100




S ? S ?2
k

输出k 结束

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k ? k ?1

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7.

函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( ? ? 0, ? ? A. f ( x ) ? ? 4 s in ( B. f ( x ) ? 4 s in (
?
8

?
2

, x ? R ) 的部分图像如图,则

?
8

x?

?
4

)

x?

?
4

)

C. f ( x ) ? ? 4 s in ( D. f ( x ) ? 4 s in ( 8.
?

?
8

x? x?

?
4

)

?
4

)

8 1 12

甲、乙、丙、丁四人排成一列,则甲不排在乙之后的概率为 A. B.
x a
1 6
2 2 2 2

C.
? y b

1 4

D.

1 2

9.

已知 F1 , F 2 分别是双曲线

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、 右焦点, 过点 F 1 垂直于 x

轴的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ? ABF 2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A. (1, ?? ) 10. B. (1, 3 )
??? ? 在 ? ABC 中, B A C ? 1 2 0 ? ,A B ? 2 ?

C. (1, 2 ) D. (1,1 ? 2 ) ??? ? ??? ? ???? ,A C ? 1 , P 满足 B P ? ? B C (0 ≤ ? ≤ 1) , 点

则 BP
1 4 4 3

2

? AP ? BC 的取值范围是

A. [ , 3]

B. [ , 5 ]
2

1

C. [ ? 2 ,

15 4

]

D. [

13 4

, 5]

11. 某几何体的三视图如图所示,这个几何体的内切球的体积为 A. C.
?

B. 4 ( 2 ?
?

3 )?

4 3 27

D.

8 9

?
2

12. 若函数 f ? x ? ? x ? A. ? 0 ,1 ? C. ? 0 ,1 ? ? ? 2 , ? ? ?

a? x ?
2

?a

? 0?

没有零点,则 a 的取值范围为 B. ? 0 ,1 ? ? ? 2 , ? ? ? D.? 0 , 2 ? ? ? 2 , ? ? ?

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 若函数
? ? c o s x ????(0 ≤ x ? ) ? 2 ? 2 f (x) ? ? , ? f ( x ) dx ? 则 0 ? 2 ?????????( ? ≤ x ≤ 2 ) ? ? 2

_______.

14. 为检查国家全民健身运动的落实情况,在某社区成年居民 中随机抽取 200 名,统计其平均每天参加体育活动时间 ( h ),画出右边频率分布直方图,已知该社区共有成年居民 1500 人,根据上述信息 估计平均每天参加体育活动时间在 [0 .5,1 .5) 内的人数约为__________. 15. 如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个观测点 C 与 D ,测得 ? B C D ? 1 5 ? , ? B D C ? 3 0 ,
C D ? 3 0 米,并在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ,则塔的高度
?
?

A B ? __________米.

16. 圆 x 2 ? y 2 ? 8 内有一点 P ( ? 1, 2 ) , AB 为过点 P 但不与 x 轴垂直 的弦,O 为坐标原点. 则 OA ? OB 的取值范围 . 三、 解答题 (本大题包括 6 小题, 70 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 12 分) 等差数列 { a n } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,满足 2 S 2 ? a 2 ( a 2 ? 1) ,且 a 1 ? 1 . ⑴求数列 { a n } 的通项公式; ⑵设 b n ?
2 S n ? 13 n

,求数列 ? b n ? 的最小值项.

18. (本小题满分 12 分) 某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的数学成绩和物理 成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:
学生序号 数 学 物 理 学生序号 数 学 物 理 1 1.3 2.3 11 78.3 49.7 2 12.3 9.7 12 50.0 46.7 3 25.7 31.0 13 65.7 83.3 4 36.7 22.3 14 66.3 59.7 5 50.3 40.0 15 68.0 50.0 6 67.7 58.0 16 95.0 101.3 7 49.0 39.0 17 90.7 76.7 8 52.0 60.7 18 87.7 86.0 9 40.0 63.3 19 103.7 99.7 10 34.3 42.7 20 86.7 99.0

学校规定平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. ⑴对名次优秀者赋分 2,对名次不优秀者赋分 1,从这 20 名学生中随机抽取 2 名, 用 ξ 表示这两名学生数学科得分的和,求 ξ 的分布列和数学期望; ⑵根据这次抽查数据, 是否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为物理成绩优秀 与否和数学成绩优秀与否有关系?(下面的临界值表和公式可供参考:
P(K2≥k) k
K
2

0.15 2.072

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

?

n(ad ? bc)

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

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19. (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的所有棱长都等于 2 ,
? ABC ? ? A1 AC ? 60 ,平面 AA 1 CC
?

1

? 平面 A B C D .

⑴证明: BD ? AA 1 ; ⑵求二面角 D ? AA 1 ? C 的余弦值; ⑶在直线 CC 1 上是否存在点 P ,使 B P ∥平面 DA 1 C 1 ?若 存在,求出点 P 的位置;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆
F 2 (1, 0 ) ,点 A (1,
x a
2 2

y P

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的右焦点为
O

M

3 2

) 在椭圆上.

F2

x

Q

⑴求椭圆方程; ⑵点 M ( x 0 , y 0 ) 在圆 x ? y ? b 上, M 在第一象限, 点 过点 M 作圆 x ? y ? b ,
2 2 2 2 2 2

的切线交椭圆于 P 、 Q 两点,问 F 2 P ? F 2 Q ? P Q 是否为定值?如果是,求出该 定值;如果不是,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
s in x 2 ? cos x ? b x ??( b ? R ) .
2? 3 )

???? ?

???? ?

????

⑴是否存在实数 b ,使得 f ( x ) 在 ( 0 ,

上为增函数,在 (

2? 3

,? )

上为减函数?若存

在,求出 b 的值;若不存在,请说明理由. ⑵如果当 x ≥ 0 时,都有 f ( x ) ≤ 0 恒成立,试求 b 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 C 如图,在△ A B C 中,内角 C 为钝角,点 E , H 分别 K 是边 A B 上的点, K , M 分别是边 A C , B C 上的点, 点 且 A H ? A C ,E B ? B C , A E ? A K ,B H ? B M . ⑴求证: E , H , M , K 四点共圆; ⑵若 K E ? E H , C E ? 3 ,求线段 K M 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
4 cos ? sin
2

M A E H B

?

,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ?

( t 为参

数, 0 ≤ ? ? ? ). ⑴化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程; ⑵若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 A B 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a ? a . ⑴若不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | ? 2 ≤ x ≤ 3} ,求实数 a 的值;
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⑵在⑴的条件下,若存在实数 n 使 f ( n ) ≤ m ? f ( ? n ) 成立,求实数 m 的取值范围.

2012 年长春市高中毕业生第四次调研测试 数学(理科)参考答案及评分细则
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D B B C D A A D 答案 简答与提示: 1. D ? A ? { x ? N | ? 9 ? x ? 1 1} ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9,1 0} ,B ? { x | ? 3 ≤ x ≤ 2} ,
*

9 D

10 D

11 C

12 C

? A ? B ? {1, 2} . 故选 D.

2. 3. 4. 5.

B

1? i (1 ? i )
2

?

1? i ?2i

?

(1 ? i ) ? i ?2i ? i

?
3

i ?1 2

? ?

1 2

?

1 2

i ,其共轭复数为 ?

1 2

?

1 2

i . 故选 B.

B 四个函数中只有函数 y ? x ? x 既是奇函数又是增函数. 故选 B. C 令首项为 a , 根据条件有 ( a ? 9 ) 2 ? ( a ? 3) ? ( a ? 2 1) ? a ? 3 ,a 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 2 . 故选 C. D ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 63 ? 100 ,
0 1 2 3 4 5

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 63 ? 64 ? 127 ? 100 . ? 当 k ? k ? 1 ? 5 ? 1 时, S ? 6 3 ? 1 0 0 ;当 k ? k ? 1 ? 6 ? 1 时, S ? 1 2 7 ? 1 0 0 . 即该程序输出的 k ? 7 . 故选 D.
0 1 2 3 4 5 6

6.

A

Tr ?1 ? C 9 x
r

9?r

(?

1 x

) ? ( ? 1) C 9 x
r r r

9?2r

,令 9 ? 2 r ? 3 ? r ? 3 ,从而 x 3 的系数为

( ? 1) C 9 ? ? 8 4 . 故选 A.
3 3

7.

A 通过观察图像可知函数图像过 ( ? 2 , 0 ) 和 ( 2 , ? 4 ) 两个固定点,由 ( ? 2 , 0 ) 可知:
?x?? ? ?
8
2 4

x?

?
4

;由 ( 2 , ? 4 ) 可知: A ? ? 4 .从而 f ( x ) ? ? 4 sin ( . 故选 D.

?
8

x?

?
4

) . 故选 A.

8. 9.

D

p ?

A4 A4

?

1 2

D 由于 ? A B F 2 是以 F 2 为顶点的等腰三角形,所以 ? A B F 2 为锐角三角形的充要条 件是 R t ? A F1 F 2 的锐角 ? A F 2 F1 ? 4 5 ? ? 2 c ?
b
2

,即 2 a c ? c 2 ? a 2 , e 2 ? 2 e ? 1 ? 0 ,
2 . 故选 D.
2

a

解得 1 ? 2 ? e ? 1 ? 2 ,而 e ? 1 ,所以 1 ? e ? 1 ? 10. D 在 ? A B C 中,根据余弦定理得
BC ? A B ? A C ? 2 A B ? A C ? co s ? B A C ?
2 2 2

2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? co s 1 2 0 ? ?

7 .

根据正弦定理得
AC s in B ? BC s in A ? 1 s in B ? 7 s in 1 2 0 ? ? s in B ? 3 2 7 ? cos B ? 5 2 7 .

从而有
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中东购物 网络购物 怎么网上购物 如何网上购物 网上购物商城 ??? 2 ??? ???? ? ? ???? ??? ? ???? ???? 2 B P ? A P ? B C ? (? B C ) ? ( A B ? ? B C ) ? B C

? 7? ? 2 ?
2

7 ? (?

5 2 7

) ? 7 ? ? 7 (? ?

1 2

) ?
2

13 4

.

又0 ≤ ?

≤ 1 ,所以 B P

??? 2 ?

??? ??? ? ? 13 , 5 ] . 故选 D. ? A P ? B C 的取值范围是 [ 4

11. C 此几何体是底面边长为 2,高为 3 的正四棱锥,可算出其体积为 为 12. 令内切球的半径为 r ,则 ? 1 2 r ?
3 V ? 4 3 1 4 3 3 ? r ? 3 3

4 3 3

,表面积

,从而内切球的体积为

?(

3 3

) ?
3

4 3? 27

. 故选 C.
a ? x ( x ? [?
2

12. C

函数 f ( x ) 的定义域为 [ ? a , a ] ,作出函数 y ?
2 ( x ? [? a,
2 2

a,

a ]) 和

y ? x ?

a ]) 的图像,前者是圆 x ? y ? a 的上半圆,后者是一条

折线段,观察图像很容易发现:当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) ? 0 在 [ ? a , a ] 上恒成立; 当 a ? 2 时 , f ( x ) ? 0 在 [? a , a ] 上 恒 成 立 ; 当 1 ≤ a 故选 C. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
[? a, a ] 上总有实数根.
≤ 2

时, f (x )? 0在

13. 5 ? ? 简答与提示: 13.

14. 960
?
2

15. 1 5 6
?
2 0

16. [ ? 8, 2 ]
?
2

?

2 0

f ( x)dx ?

?

2 0

cos xdx ?

? ? 2 d x ? s in x |
2

? 2 x | ? ? s in
2 2

? s in 0 ? 2 ( 2 ?

?
2

)

? 1? 4 ?? ? 5 ?? . 14. 1 5 0 0 ? (0 .8 2 ? 0 .4 6 ) ? 0 .5 ? 9 6 0 (人).

15. 在 ? B C D 中,根据正弦定理得,
BC ? CD s in ? C B D ? s in ? C D B ? 30 s in (1 8 0 ? ? 1 5 ? ? 3 0 ? ) ? s in 3 0 ? ? 1 5 2 .

在 R t ? A B C 中, A B ? B C ? tan ? A C B ? 1 5 2 ? tan 6 0 ? ? 1 5 6 为所求. 16. 设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) . 设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则由 ?
x1 x 2 ? k
2

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ?x ? y
2 2

?8

可以得

? 4k ? 4 1? k
2

, y1 y 2 ?

? 7k

2

? 4k ? 4
2

1? k

.

2 2 ??? ??? ? ? k ? 4k ? 4 ?7k ? 4k ? 4 ? 从而有 O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 2 2 1? k 1? k

?
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?6k ? 8k
2

1? k

2

? ?6 ?

8k ? 6 1? k
2

.

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中东购物 网络购物 怎么网上购物 如何网上购物 网上购物商城 ??? ??? ? ? 32t 令 4 k ? 3 ? t ,则 O A ? O B ? ? 6 ? 2 . t ? 6t ? 25 ??? ??? ? ? 当 t ? 0 时, O A ? O B ? ? 6 ; ??? ??? ? ? 32t 32 ? ?6 ? 当 t ? 0 时, O A ? O B ? ? 6 ? 2 . 25 t ? 6t ? 25 t? ?6 t ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 25 ≥ 1 0 (当 t ? 5 时取等号),所以 ? 8 ≤ O A ? O B ≤ 2 但 O A ? O B ? ? 6 . 由于 t ? t ??? ??? ? ? 综合可知 ? 8 ≤ O A ? O B ≤ 2 为所求.

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数 单调性等有关知识的应用. 【试题解析】解:⑴由 2 S 2 ? a 2 ? a 2 ,可得 2 ( a 1 ? a 1 ? d ) ? ( a 1 ? d ) ? ( a 1 ? d ) .
2 2

又 a 1 ? 1 ,可得 d ? 1 . 数列 { a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,? a n ? n . (4 分) ⑵根据⑴得 S n ?
n ( n ? 1) 2

, bn ?

2 S n ? 13 n

?

n ( n ? 1) ? 1 3 n

? n?

13 n

?1.

由于函数 f ( x ) ? x ? 而3 ?

13 x

( x ? 0 ) 在 (0, 1 3 ] 上单调递减,在 [ 1 3 , ? ? ) 上单调递增,
13 3 ? 22 3 ? 88 12 29 4 ?1? 33 4

1 3 ? 4 ,且 f (3) ? 3 ?

, f (4) ? 4 ? .

13 4

?

29 4

?

87 12



所以当 n ? 4 时, b n 取得最小值,且最小值为 即数列 ? b n ? 的最小值项是 b 4 ?
33 4

.

(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到随机变量的分布 列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容. 【试题解析】解:⑴根据条件 ? 的取值为 2,3,4,而且在 20 人中,数学成绩优秀 的 6 人,不优秀的 14 人,所以有
p (? ? 2 ) ? C 14 C 20
2 2

?

91 190

, p ( ? ? 3) ?

C 6 C 14 C 20
2

1

1

?

84 190

, p (? ? 4 ) ?

C6
2

2

?

15 190

.

C 20

所以 ? 的分布列为
?
p

2
91 190

3
84 190

4
15 190

(6 分)

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数学期望 E ( ? ) ? 2 ?

91 190

? 3?

84 190

? 4?

15 190

? 2 .6 .

(8 分) 合计 6 14 20

⑵根据条件列出列联表如下: 物理优秀 4 数学优秀 2 数学不优秀 6 合计 所以 K
2

物理不优秀 2 12 14
? 5 .4 8 7 5 ? 5 .0 2 4

?

20 ? (4 ? 12 ? 2 ? 2)

2

(4 ? 2) ? (2 ? 12) ? (4 ? 2) ? (2 ? 12)

.

又 p ( K 2 ≥ 5 .0 2 4 ) ? 0 .0 2 5 ,因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过 0.025 的 (12 分) 前提下可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系. 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的 判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识. 【试题解析】⑴证明:由条件知四边形 A B C D 是菱形,所以 B D ? A C ,而平面 AA 1 CC 1 ? 平面 A B C D ,平面 A A1 C C 1 ? 平面 A B C D ? A C , 所以 B D ? 平面 A A1 C C 1 ,又 A A1 ? 平面 A A1 C C 1 ,因此 BD ? AA 1 .
?

(3 分)
?

⑵因为 ? A B C ? 6 0 , A B C D 是菱形,所以 A C ? A B ? A A1 ,而 ? A1 A C ? 6 0 , 所以 ? A1 A C 是正三角形. 令 B D ? A C ? O ,连结 A1 O ,则 B D , A C , O A1 两两互相 垂直. 如图所示,分别以 B D , A C , O A1 所在的直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,则
???? ? ??? ? 3 , 0 , 0 ) , A (0, ? 1, 0 ) , A1 (0 , 0 , 3 ) , D A ? ( 3 , ? 1, 0 ) , D A1 ? ( 3 , 0 , ? 平面 A A1 C C 1 的法向量为 n ? (1, 0, 0 ) . ? 设 m ? ( x , y , z ) 是平面 D A A1 的法向量,则 ? ? ??? ? 3x ? y ? 0 ?m ? DA ? 0 ? ? ? ? y ? 3x ? ? ? ? . ? ? ? ???? m ? D A1 ? 0 ?x ? z ? 0 3x ? 3z ? 0 ? ? ? ? ? ? 令 x ? 1 ,则 y ? 3 , z ? ? 1 . 即 m ? (1, 3 , ? 1) .
D (?

3) ,

设二面角 D ? AA 1 ? C 的平面角为 ? , 则 ? 是锐角,并且
?? ? cos ? ? cos m , n ?? ? m ?n 1 5 ? ?? ? ? ? . 5 1? 1 ? 3 ? 1 m ? n
5 5

因此二面角 D ? AA 1 ? C 的余弦值为
??? ?

.
???? ?

(8 分)
( 0 , 2 , 所3以 ) , ???? ? 3 ? ) ,D C 1 ? ( 3 , 2, 3 )

0 ⑶ 设 这 样 的 点 P 存 在 , 且 C P ? ? C C 1 , 而 C ( 0 , 1 , C 1) ,
,,0 又 P (0,1 ? ? , 3 ? ) , B ( 30) ? 设 k ? ( x , y , z ) 是平面 D A1 C 1 的法向量,则
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??? ? , 所以 B P ? ( ? 3 ,1 ? ? ,

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? ?k ? ?? ?k ?

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???? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0 ? D C1 ? 0 ?y ? 0 ? . ? ? ? ? ???? ? ? D A1 ? 0 ?x ? z ? 0 ? 3x ? 3z ? 0 ?

令 z ? 1 ,则 x ? ? 1 ,即 k ? ( ? 1, 0 ,1) .要使 B P ∥平面 DA 1 C 1 当且仅当
? ? ??? k ? B P ? 0 ? ( ? 1) ? ( ? 3 ) ? 0 ? (1 ? ? ) ? 1 ? 3 ? ? 0 ,所以 ? ? ? 1 .这说明题目要求

?

的点 P 存在,实际上,延长 C 1C 到点 P ,使得 C P ? C 1C 即得到所求的点 P . (12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆方 程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解:⑴由右焦点为 F 2 (1, 0 ) ,可知 c ? 1 .设左焦点为 F1 ,则 F1 ( ? 1, 0 ) , 又点 A (1, ) 在椭圆上,则 2 a ? A F1 ? A F 2 ?
2 3
3 2 2 (1 ? 1) ? ( ) ? 2
2

3 2 2 (1 ? 1) ? ( ) ? 4 , 2

? a ? 2, b ?

a ?c
2

2

?

3, 即椭圆方程为
x1 4
2 2

x

?

y

2

? 1;

(4 分)

4

3

⑵设 P ( x1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 则
P F2
2 2 2

?

y1 3

2

? 1 ( x1 ≤ 2 ) , x1 4
2

? ( x1 ? 1) ? y 1 ? ( x1 ? 1) ? 3(1 ?
1 2 ( 4 ? x1 ) ? 2 ? 1 2 x1 .

)?

1 4

( x1 ? 4 ) ,
2

? P F2 ?

连结 O M , O P ,由相切条件知:
PM
2

? OP
1 2

2

? OM

2

? x1 ? y 1 ? 3 ? x 1 ? 3(1 ?
2 2 2

x1 4

2

)?3?

1 4

x 1 ,显然 x 1 ? 0 ,
2

? PM ?

x1 . x1 2 ? x1 2 ? 2 .同理 Q F 2 ? Q M ? 2 ? x2 2 ? x2 2 ? 2.

? P F2 ? P M ? 2 ?

???? ? ???? ? ???? ? F 2 P ? F 2 Q ? P Q ? 2 ? 2 ? 4 为定值.

(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 究函数的单调性等知识内容. 【试题解析】解:⑴存在 b ? 0 ,使得结论成立. 对函数 f ( x ) ?
sin x 2 ? cos x ? bx 求导得, f ? ( x ) ? 2 3 2 3
2

2 cos x ? 1 (2 ? cos x )
2

?b.

若 ? b ? R ,使 f ( x ) 在 ( 0 , ∴ b ? 0 ,这时 f ? ( x ) ?
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? ) 上递增,在 ( ? , ? ) 上递减,则 f ? ( ? ) ? 0 ,
3
2 3

2

1 ? 2 cos x ( 2 ? cos x )

,当 x ? ( 0 ,

? ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 递增;

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当 x ? ( ? , ? ) 时 f ? ( x ) ? 0 ,f ( x ) 递减.
3

2

(5 分)
? 0,

⑵令 f ? ( x ) ?
2

? b c o s x ? 2 (1 ? 2 b ) c o s x ? 1 ? 4 b
2

(2 ? cos x )

2

得 ? b co s x ? 2 (1 ? 2 b ) co s x ? 1 ? 4 b ? 0 .
? ? 4[(1 ? 2 b ) ? b (1 ? 4 b )] ? 4 (1 ? 3 b ) .
2

,即 ? ≤ 0 ,则 f ? ( x ) ≤ 0 对 ? x ≥ 0 恒成立,这时 f ( x ) 在 ?0 , ?? ? 上递减, 3 ∴ f ( x ) ≤ f ( 0 ) ? 0 ,符合题意. 若b ≥ 若 b ? 0 ,则当 x ≥ 0 时, ? b x ? [0, ? ? ) ,
f (x) ? sin x 2 ? cos x ? bx
? 3 3? ? ?? , ? 2 ? cos x 3 3 ? ? sin x

1



不可能恒小于等于 0.
? 3 3? ? ?? , ? ,不合题意. 2 ? cos x 3 3 ? ? sin x

若 b ? 0 ,则 f ( x ) ? 若0 ? b ?
1 3

, 则 f ?( 0 ) ?

1 ? 3b 3

? 0 , f ? ( ? ) ? ? b ? 1 ? 0 ,∴ ? x 0 ? ( 0 , ? ) , 使

f ? ( x 0 ) ? 0 . x ? ( 0 , x 0 ) 时, f ? ( x ) ? 0 ,这时 f ( x ) 递增, f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0 ,不合

题意. 综上可得实数 b 的取值范围是 [ , ? ? ) .
3 1

(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算,具体涉及到共圆图形的判 断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容. 【试题解析】解:⑴连结 C H ,则因为 A C ? A H , A K ? A E ,所以四边形 C H E K 为等腰梯形,注意到等腰梯形的对角互补,故 C , H , E , K 四点共圆,同理 C , E , H , M 四点也共圆,从而四点 E , H , M , K 在由三点 C , E , H 所确 定的圆上, 因此这四点共圆; (5 分) ⑵连结 E M ,则由⑴得 E , H , M , C , K 五点共圆,因为四边形 C E H M 为等 腰梯形, E M ? H C ,所以 ? M K E ? ? C E H .由 K E ? E H 可得 ? K M E ? ? E C H ,所 以三角形 M K E 和三角形 C E H 全等,所以 K M ? E C ? 3 为所求. (10 分) 23. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方 程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容. 【试题解析】解:⑴对于曲线 C : ? ?
4 cos ? sin
2

?

,可化为 ? s in ? ?
4x y
2

4 ? cos ?

? s in ?

.

把互化公式 x ? ? co s ? , y ? ? sin ? 代入,得 y ? (可验证原点 ( 0 , 0 ) 也在曲线上)
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,即 y ? 4 x 为所求. (5 分)

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⑵根据条件直线 l 经过两定点 (1, 0 ) 和 (0,1) ,所以其方程为 x ? y ? 1 . 由?
? y ? 4x
2

?x ? y ? 1

,消去 x 并整理得 y ? 4 y ? 4 ? 0 .
2

令 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 则 y 1 ? y 2 ? ? 4, y 1 y 2 ? ? 4 . 所以 A B ?
1? 1 k
2

( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ?
2

1?

1 ( ? 1)
2

(?4) ? 4(?4) ? 8 .
2

(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等 式证明以及解法等内容.
? ? f (?2) ? 2 ? (?2) ? a ? a ? 6 ? 【试题解析】解:⑴由条件知 ? f (3) ? 2 ? 3 ? a ? a ? 6 ,解得 a ? 1 . ? a ??2 ≤ ≤ 3 ? 2

(5 分)

⑵由⑴得 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 1 ,所以 f ( n ) ≤ m ? f ( ? n ) 等价于
m ≥ f (n) ? f (? n) ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 .

若存在实数 n 使 f ( n ) ≤ m ? f ( ? n ) 成立,当且仅当 m 而 2n ? 1 ? 2n ? 1




( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 ) m in .
1 2

( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1) ? 2 ,当 ?

1 2

≤ n ≤

时取等号. (10 分)

因此实数 m 的取值范围是 [ 4, ? ? ) .

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