高三数学12月月考试题 文

山东省临沂市郯城一中 2014 届高三数学 12 月月考试题 文 新人教 A 版
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符号题目要求的) 1、下列命题中是假命题的是 （ ） A． ?x ? (0,

?
2

),x> sin x
x

B． ?x0 ? R, sin x0 + cos x0 =2 D． ?x0 ? R, lg x0 =0 （ C．(1，2) ）

C． ?x ? R,3 >0 2、 f ( x) ? 2 ? x 的零点所在区间为
x 3

A．(0，1)

B．(-1，0)

D．(-2，-l) （ ）

3、设 a ? ( )0.3 , b ? ( )0.2 , c ? log 1
2

4 5

5 4

5 , 则 a, b, c 的大小关系是 4

A． b ? a ? c C． c ? b ? a

B． a ? b ? c D． b ? c ? a

4、 ? = 0 ”是“函数 f ( x) = sin( x + “ A.充分非必要条件 C.充要条件

? ) 为奇函数”的

（

）

B. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件

5、已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a，灯塔 A 在 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在 C 的南偏 东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A．a B. 3a C. 2a ( D．2a )

6. 设 a 、 b 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中错误的为： ．． ( ) B. 若 a // ? ， a ? ? ，则 ? ? ? D. 若 a ? b ， a ? ? , b ? ? ，则 ? ? ?

A. 若 a ? b ， a ? ? , b ? ? ，则 b // ? C. 若 a ? ? ， ? ? ? ，则 a // ?

7、若满足条件 C＝60°，AB＝ 3，BC＝a 的△ABC 有两个，那么 a 的取值范围是 ( )

A．(1， 2) B．( 2， 3) C．( 3，2) D．(1,2) 2 2 8、在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 a －b ＝ 3bc，sinC＝2 3 sinB，则 A＝ A．30° C．120° ( ) B．60° D．150°

1

9、设

Sn

为等差数列

?an ? 的前项和，若 a1 ? 1 ，公差 d ? 2 ，Sk ?2 ? Sk ? 24 ，则 k ? (
B．6 C．7 D．8

)

A．5

10. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2 ，且侧棱 AA1 ? 底面 ABC ，其正视 图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为( A． 3 B． 2 3 C． 2 2 D． 4 ） 11、函数 y ? cos( ? x) 的单调递增区间是（ )

?

3? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4 ? 5? C． [2k? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4
A． [2k? ?

4

5? ? ,2k? ? ], k ? ? 4 4 ? 3? D． [2k? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4
B． [2k? ? ）

?y ? x ? 12．设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ，则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为（ ? y ? 3x ? 6 ?
A. 1 B. 6 C．12 D.3

二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分) 13、已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? bx ? 5 ，若 f ? ?100 ? ? 8 ，那么 f ?100 ? ? ______
5 3

14. 设等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ，若 15、在等式

S S6 =3 ，则 9 = S6 S3

4 9 5 ? ? m中, x ? 0, y ? 0, 若x ? y的最小值为 , 则m 的值为 x y 6

? ? ? ? ? ? ? 16、设向量 a ， b 满足 a ? 2 5 ， b ? (2,1) ，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标
为 。

三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分) 17、 （本小题 12 分） 设命题 p:函数 f ? x ? ? lg ax 2 ? 4 x ? a 的定义域为 R; 命题 q:不等式 2 x 2 ? x ? 2 ? ax ,对 ? x ∈(-∞,-1)上恒成立, 如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18、 （本小题满分 12 分）

?

?

2

等差数列 {an } 的各项均为正数， a1 ? 3 ，前项和为 S n ， {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ，且

b2 S 2 ? 64, b3 S3 ? 960 ． (1)求 an 与 bn ；
(2)求和：

1 1 1 ? ?? ? ． S1 S 2 Sn

19． （本题满分 12 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AD ? 2 ， AB ? 1 ， PA ? 平面 ABCD ， E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 的中点． （Ⅰ）证明： PF ? FD ； （Ⅱ）判断并说明 PA 上是否存在点 G ，使得 EG ∥平面 PFD ；

20． （本题满分 12 分） 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列 {an } 的 前 n 项和．已知 S3 ? 7 ，且 a1 ? 3 ， 3a2 ， a3 ? 4 构成等差数列． （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式；

， ? 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ． （Ⅱ）令 bn ? ln a3n ?1，n ? 1 2， ，
π 21、 （本小题 13 分）已知函数 f(x)＝Asin(ω x＋φ )(x∈R，ω >0,0<φ < )的部分图象如图 2 所示．

3

(1)求函数 f(x)的解析式； π π (2)求函数 g(x)＝f(x－ )－f(x＋ )的单调递增区间． 12 12

22、 （本小题 13 分）已知函数 f ( x) ? ex ? ln x ， （1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）在区间 ? , e ? 内存在 x 0 ，使不等式 f ( x) ? x ? m 成立，求 m 的取值范围。 e

?1 ?

? ?

高三数学文科检测题参考答案

17、【解析】解:若 p 真则?<0 且 a >0,故 a >2; ————————4 分 若 q 真则 a ? 2 x ?

2 ? 1 ,对 ? x∈(-∞,-1)上恒成立, x

y ? 2x ?

2 ? 1在 x

? ??, ?1? 上是增函数，

ymin ? 1 此时 x=-1,故 a ≥1————————8 分

4

“ p ∨ q ”为真命题,命题“ p ∧ q ”为假命题, 等价于 p , q 一真一假.故 1≤ a ≤2————————12 分 18. 【解析】 （1）设 {an } 的公差为 d ， {bn } 的公比为，则 d 为正整数，

an ? 3 ? (n ? 1)d ， bn ? q n ?1
依题意有 ?

? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 ? S 2b2 ? (6 ? d ) q ? 64

①

6 ? ?d ? ? 5 ?d ? 2 ? ,或 ? 解得 ? (舍去) ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ?
故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8

————————4 分

n ?1

————6 分 ——————8 分

（2） Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? ——————10 分 S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2

裂项相消得

3 2n ? 3 1 1 1 1 ——————12 分 ? (1 ? ? ? )? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 2 2 n ?1 n ? 2
若结果不化简也得分。 19.【解析】 证明：连接 AF ，则 AF ? 又 AD ? 2 ， ∴ DF ? AF ? AD ，∴ DF ? AF
2 2 2

2 ， DF ? 2 ，

????????????3 分

又 PA ? 平面ABCD ，∴ DF ? PA ，又 PA ? AF ? A ， ∴

DF ? 平面PAF ? DF ? PF ??6 分 PF ? 平面PAF
1 AD ?????8 分 4

?

（Ⅱ）过点 E 作 EH // FD 交 AD 于点 H ，则 EH ∥平面 PFD ， 且有 AH ?

5

再过点 H 作 HG ∥ DP 交 PA 于点 G ，则 HG ∥平面 PFD 且 AG ? ∴ ∴ 平面 EHG ∥平面 PFD EG ∥平面 PFD ． ????????????10 分

1 AP ， 4

从而满足 AG ?

1 AP 的点 G 即为所求．?????12 分 4

20【解析】 解： （Ⅰ）设数列 {an } 的公比为 q(q ? 1) ，

?a1 ? a2 ? a3 ? 7， ? 由已知，得 ? (a ? 3) ? ( a ? 4) ， ???????2 分 1 3 ? 3a2 ? ? 2 ? a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7 ?a1 ? a2 ? a3 ? 7 ? 即? ， 也即 ? 2 ? a1 (1 ? 6q ? q ) ? ?7 ?a1 ? 6a2 ? a3 ? ?7 ?
解得 ?

?a1 ? 1 ?q ? 2

????????????4 分
n ?1

故数列 {an } 的通项为 an ? 2
3n

．

????6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 a3n ?1 ? 2 ， ∴ bn ? ln a3n ?1 ? ln 2
3n

? 3n ln 2 ，

?8 分

又 bn ?1 ? bn ? 3 ln 2 ， ∴ {bn } 是以 b1 ? 3ln 2 为首项，以 3ln 2 为公差的等差数列 ???10 分 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

n? b1?bn ? n?3 ln 2 ? 3n ln 2? 3n?n ? 1? ln 2 ? ? ? ? 2 ?? ? 2 2 3n(n ? 1) Tn ? ln 2 ．?????12 分 2
21、【解析】

6

22、 【解析】 （Ⅰ）函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) ，

1 f ' ( x) ? (ex ? ln x) ' ? e ? ????2 分 x 1 1 ' 当 f ( x) ? 0 ，即 e ? ? 0 ? x ? 时， f (x) 为单调递增函数； x e 1 1 ' 当 f ( x) ? 0 ，即 e ? ? 0, 又x ? 0 ? 0 ? x ? 时， x e
f (x) 为单调递减函数；
所以， f (x) 的单调递增区间是 ? , ?? ? ，

?1 ?e

? ?

7

1? ? f (x) 的单调递减区间是 ? 0, ? ????6 分 e? ?
（Ⅱ）由不等式 f ( x) ? x ? m ，得 f ( x) ? x ? m ，令 F ( x) ? f ( x) ? x ，则

F ( x) ? (e ? 1) x ? ln x ????8 分
由题意可转化为：在区间 ? , e ? 内， F ( x) min ? m ， e

?1 ?

? ?

F ' ( x) ? ? (e ? 1) x ? ln x

?' ? e ? 1 ? 1 ，令 F ' ( x) ? 0 ，得 x ?
x
1 e ?1

1 e ?1

x
F ' ( x)

1 e

?1 1 ? ? , ? e e ?1? ? ?
— 递减

? 1 ? ? ? e ?1, e? ? ?
+ 递增

e

0 极小值

F (x)
由表可知： F (x) 的极小值是 F (

1 1 1 ) ? (e ? 1) ? ? ln ? 1 ? ln(e ? 1) 且唯一， e ?1 e ?1 e ?1

所以 F ( x) min ? 1 ? ln(e ? 1) 。????10 分 因此，所求 m 的取值范围是 ? 1 ? ln(e ? 1), ?? ? 。??13 分

8