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椭圆 - 答案


椭圆
考点:椭圆的定义 基础知识:
在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭 圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合

P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集.

基本方法:
椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解掌握定义是进一步学习的基础,应注意 椭圆定义中的常数大于两定点距离.同时,利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点 的距离进行转化,一般地,解决与到焦点的距离有关的问题时,首先应考虑用定义来解题.

例 1.【定义】
x2 y2 设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 B.5 C.8 D.10 【解析】由题意知 a=5,所以|PF1|+|PF2|=2a=10. )

例 2.【定义的运用】
x2 2 已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 B.6 D.12 ).

解析 由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a, ∴周长为 4a=4 3(F 是椭圆的另外一个焦点). 答案 C

例 3.【定义的运用】

x2 y2 已知点 A(4,0) 和 B(2,2),M 是椭圆 25 ? + 9 ? =1 上一动点 , 则 |MA|+|MB| 的最大值
是 .

显然 A 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为 A1,连 BA1 并延长交椭圆于 M1,则 M1 是 使 |MA|+|MB| 取 得 最 大 值 的 点 . 事 实 上 , 对 于 椭 圆 上 的 任 意 点 M 有:|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当 M1 与 M 重合时取等号),∴|MA|+|MB|的 最大值为 10+2? .

例 4.【定义的运用】 在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过 A,B 两点,它的一 个焦点为点 C, 另一个焦点在 AB 上, 则这个椭圆的离心率为________. 解析

设另一个焦点为 F,如图所示,∵|AB|=|AC|=1,△ABC 为直角三角 形, ∴1+1+ 2=4a,则 a= 设|FA|=x,
? ? 2? ?x+1=2a, 2 ∴? ∴x= 2 ,∴1+? ?2=4c2, ? 2? ? ?1-x+ 2=2a,

2+ 2 4 ,

6 c ∴c= 4 ,e=a= 6- 3. 答案 6- 3

考点:椭圆的性质 基本知识:
1.在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c 2 ? a 2 ? b 2 ; a 和 b 分别叫做椭圆
的长半轴长和短半轴长。

2.椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c) , (0,?c) 3.椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满足
x ?a, y ?b。
4. 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

5. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2

(1) ( PF1 (2) ( BF1 (3) A1 F1

? PF2
? BF2

? 2a ) ;

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e ; ( PM1 ? PM 2 ?

2a 2 ); c

? a ) ; ( OF1 ? OF2

? c) ; A1 B ? A2 B ? a 2 ? b 2 ;

? A2 F2 ? a ? c ; A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF1 ? a ? c ;

例 1.【焦距】
x2 y2 椭圆m+ 4 =1 的焦距等于 2,则 m 的值为( A.5 或 3 B.8 C.5 D.16 【解析】当 m>4 时,m-4=1,m=5, )

当 m<4 时,4-m=1,m=3.

例 2.【离心率】
x2 y2 4 椭圆 9 + =1 的离心率为5,则 k 的值为( 4 +k A.-21 B.21 19 19 C.-25或 21 D.25或 21 解析 若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k 4 c 4 19 由a=5即 3 =5,得 k=-25; 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, 5-k, ).

k- 5 4 c 4 由a=5,即 = ,解得 k=21. 4 +k 5 答案 C

例 3.【离心率】
x2 y2 a2 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点为 F1、F2,两条直线 x=± c (c2=a2-b2)与 x 轴的交点为 M、 N,若|MN|≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 a2 【解析】由已知|MN|=2·c . a2 又|MN|≤2|F1F2|,则 2·c ≤4c, c2 1 2 c 2 从而a2≥2,故 2 ≤a<1,故 e∈[ 2 ,1). 2 [ 2 ,1) .

考点:求解椭圆的标准方程 基本知识:
求解椭圆方程的两种方法 1.定义法:根据椭圆定义,确定 a2、b2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. 2.待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根 据条件确定关于 a、b、c 的方程组,解出 a2、b2,从而写出椭圆的标准方程. 3.注意:运用待定系数法解题时应注意“先定位,后定量”,即注意焦点所在的坐标轴有

两种可能的情形.

例 1.【基本类型】
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 P(2 2,0),Q(0,- 5); (2)长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(-3,0); 4 (3)焦距是 8,离心率是5. x2 y2 【解析】(1) 8 + 5 =1. x2 y2 x2 (2) 9 +y2=1 或81+ 9 =1. x2 y2 y2 x2 (3)25+ 9 =1 或25+ 9 =1.

考点:椭圆性质的应用 基本方法:
1.焦点三角形问题
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计 算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a,c 的关系.

?定义式的平方 (2)对△F PF 的处理方法?余弦定理 ?面积公式
1 2

PF |+|PF = a ? ?4c =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cosθ ?? 1 ? ?S =2|PF ||PF |sinθ
1 2 2 1 2 2 2 1 2


2

2

1

2

所以,“焦点三角形”利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|· |PF2|;通过 整体代入可求其面积.

2.利用椭圆的范围求最值
x2 2 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系 , 例如对椭圆 a

y2 2 ? +b ? =1(a>b>0) 上的点

P(x,y),点 P 的坐标除满足方程外,还有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等.在求与椭圆有关
的一些量的范围,或者求这些量的最大值或最小值时,经常用到这些不等关系.

例 1.【焦点三角形】
x2 y2 → → 已知 F1、 F2 是椭圆 C: P 为椭圆 C 上的一点, 且PF1⊥PF2. a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点, 若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. → → [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点, 从而有|PF1|+|PF2|=2a, 再利用PF1⊥PF2, 进而得解. → → 解析 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2, 1 ∴S△PF1F2=2|PF1||PF2| 1 =2×2b2=b2=9. ∴b=3. 答案 3

例 2.【焦点三角形】
已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. x2 y2 【解析】(1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60°. 因为 m+n=2a, 所以 m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 所以 4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2. m +n 又 mn≤( 2 )2=a2(当且仅当 m=n 时取等号). c2 1 1 所以 4a2-4c2≤3a2,所以a2≥4,即 e≥2. 1 又 0<e<1,所以 e 的取值范围是[2,1). 4 (2)证明:由(1)知,mn=3b2, 1 3 所以 S△PF1F2=2mnsin60°= 3 b2,

即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

例 3.【焦点三角形】
x2 y2 已知点 A、B 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的长、短轴的端点,从椭圆上一点 M(在 x 轴 → → 上方)向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,AB∥OM. b2 【解析】(1)因为 F1(-c,0),则 xM=-c,yM= a , b2 所以 kOM=-ac. b → → b2 b 因为 kAB=-a,OM∥AB,所以-ac=-a, c 2 所以 b=c,故 e=a= 2 . (2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ, 所以 r1+r2=2a,|F1F2|=2c, 2 2 r2 r1+r2 2-2r1r2-4c2 1+r2-4c cosθ= 2r r = 2r1r2 1 2 a2 a2 =r r -1≥ -1=0. r1+r2 2 1 2 2 π 当且仅当 r1=r2 时,cosθ=0,所以 θ∈[0,2].

例 4.【利用椭圆的范围求最值】
3 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1(-1,0)、F2(1,0),C(1,2)在椭圆 E 上. (1)求椭圆 E 的方程; → → (2)若点 P 在椭圆 E 上,且满足PF1· PF2=t,求实数 t 的取值范围. x2 y2 【解析】 (1)方法 1:依题意,设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0).由已知半焦距 c =1,所以 a2-b2=1.① 3 1 9 因为点 C(1,2)在椭圆 E 上,则a2+4b2=1.② 由①②解得,a2=4,b2=3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 3 =1. x2 y2 方法 2:依题意,设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0),

3 因为点 C(1,2) 在椭圆 E 上, 所以 2a=|CF1|+|CF2|=4,即 a=2. 由已知半焦距 c=1,所以 b2=a2-c2=3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 3 =1. → → 2 (2)设 P(x0,y0),则PF1· PF2=t,得(-1-x0,-y0)· (1-x0,-y0)=t,即 x2 0+y0=t+1.③
2 x0 y2 0 因为点 P 在椭圆 E 上,所以 4 + 3 =1.④ 2 由③得 y2 0=t+1-x0, 代入④,并整理得 x2 0=4(t-2).⑤ 2 由④知,0≤x0≤4,⑥ 综合⑤⑥,解得 2≤t≤3,所以实数 t 的取值范围为[2,3].

考点:直线与椭圆 基本方法:
1.直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式 Δ 来判断直线 和椭圆相交、相切或相离. 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两 根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础. 3.若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦的端点坐标,代入方程,用点差法求弦的 斜率,注意求出方程后,通常要检验. 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点代入 圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子,可以 大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。

4.

直线 y=kx+b(k≠0)与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2 2-4x1x2.

弦长公式|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2

例 1.【直线与椭圆的交点问题】
x2 y2 4 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1、 F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF1⊥F1F2, |PF1|=3, 14 |PF2|= 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 【解析】方法 1:(1)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|= |PF2|2-|PF1|2=2 5,故椭圆的半焦距 c= 5, x2 y2 从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为 9 + 4 =1. (2)设 A,B 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆 心 M 的坐标为(-2,1),从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4 +9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称, x1+x2 18k2+9k 8 所以 2 =- 2 =-2,解得 k= , 9 4+9k 8 所以直线 l 的方程为 y=9(x+2)+1,即 8x-9y+25=0.(经检验,符合题意). 方法 2:(1)同方法 1. (2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.所以圆心 M 的坐标为(-2,1) 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意,x1≠x2, 2 x1 y2 1 且 9 + 4 =1,① x2 y2 2 2 + 9 4 =1,② 由①②得 x1-x2 9 x1+x2 + y1-y2 4 y1+y2 =0.③

y1-y2 8 因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+x2=-4,y1+y2=2,代入③得 = ,即直线 l x1-x2 9 8 的斜率为9, 8 所以直线 l 的方程为 y-1=9(x+2), 即 8x-9y+25=0.(经检验, 所求直线方程符合题意)

例 2.【同上】
x2 y2 若 F1、F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是该椭圆上的一个动点,且|PF1| +|PF2|=4,|F1F2|=2 3. (1)求这个椭圆的方程; → → (2)是否存在过定点 N(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,使OA⊥OB(其中 O 为坐 标原点)?若存在,求出直线 l 的斜率 k;若不存在,说明理由. 【解析】(1)依题意,得 2a=4,2c=2 3,

所以 a=2,c= 3,所以 b= a2-c2=1. x2 所以椭圆的方程为 4 +y2=1. (2)显然当直线的斜率不存在,即 x=0 时,不满足条件. 设 l 的方程为 y=kx+2, 因为 A、B 是直线 l 与椭圆的两个不同的交点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x ? ? +y2=1 由? 4 , ? y = kx + 2 ? 消去 y 并整理,得(1+4k2)x2+16kx+12=0. 所以 Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)>0, 3 解得 k2>4.① x1+x2=- 16k 12 ,x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2
2

→ → → → 因为OA⊥OB,所以OA· OB=0, → → 所以OA· OB=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4 12 16k =(1+k2)· +2k(- )+4 1+4k2 1+4k2 = -k2 =0. 1+4k2

所以 k2=4.② 由①②可知 k=±2. 所以,存在斜率 k=±2 的直线 l 符合题意.

例 3.【弦长公式】 x2 2 已知椭圆 G:4 +y =1.过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. [审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出 c,从而求出离心率.(2)可设出

直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程,由弦长公式列出|AB|长的 表达式从而求出|AB|的最大值. 解 (1)由已知得,a=2,b=1, 所以 c= a2-b2= 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), c 3 离心率为 e=a= 2 . (2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1,
? ? 3? ?1,- ?,此时|AB|= 3. 2? ? ?

3? ?, 2?

当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

?y=k?x-m?, 由?x2 2 ? 4 +y =1.

得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8 k2 m x1+x2= ,x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 即 m2k2=k2+1. 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=
? 64k4m2 4?4k2m2-4?? ? ?1+k ?? 2 2- 1+4k2 ? ??1+4k ?
2

|km| =1, k2+1

4 3|m| = 2 . m +3 由于当 m=± 1 时,|AB|= 3, 所以|AB|= 因为|AB|= 4 3|m| ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m2+3 4 3|m| 4 3 = 2 3 ≤2, m +3 |m|+|m|

且当 m=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2

例 4.【弦长公式】

x2 y2 2 2 2 已知椭圆 C: a ? + b ? =1(a>b>0)的右焦点为 F,离心率 e= 2 ? ,
椭圆 C 上的点到 F 的距离的最大值为 交于不同的两点 A、B. (1)可算出椭圆方程为:
x2 2? +y2=1

2 ?+1,直线 l 过点 F 与椭圆 C

3 2 (2)若|AB|= 2 ?,求直线 l 的方程.
容易验证直线 l 的斜率不为 0,故可设直线 l 的方程为 x=my+1,代入 x2 ? 2 +y2=1 中,得(m2+2)y2+2my-1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关 系。. 解得 m=± 2 ?. 所以直线 l 的方程为 x=± 2 ?y+1,即 x+ 2 ?y-1=0 或 x- 2 ?y-1=0.

例 5.【点差法】
过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线的方 16 4

程。 解:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? M (2,1) 为 AB 的中点

? x1 ? x2 ? 4
2 2

y1 ? y2 ? 2
2 2

? 又 A 、 B 两点在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16, x2 ? 4 y2 ? 16
两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 于是 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2

?

y1 ? y2 x ?x 4 1 ?? 1 2 ?? ?? x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4? 2 2
1 1 ,故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2 2

即 k AB ? ?

例 5.【点差法】

y2 x2 1 x? ? ?1 2 的交点恰为这条弦的中点 M , 已知椭圆 75 25 的一条弦的斜率为 3, 它与直线
求点 M 的坐标。

解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点

M ( x0 , y0 ) ,则

x0 ?

1 2

x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0
y2 x y1 x ? 1 ?1 ? 2 ?1 75 25 25 , 75
2 2 2 2



两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0



2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 0

y1 ? y 2 3 ?? 2 y0 ? x1 ? x2

k?
?

y1 ? y 2 ?3 x1 ? x2

?

?

3 1 ?3 y0 ? ? 2 y0 2 ,即

1 1 ( ,? ) ? 点 M 的坐标为 2 2 。


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