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同角三角函数的基本关系


课题名称:

1.2.2 同角三角函数的基本关系
二次备课

学科:数学 课程模块及章节:第四章第一节 备课组:高一数学备课组 备课组长:牛立新 主备教师:韩奇虎 组员:陈雨航 牛立新 郭亚琴 马学峰 李建军 康金东 王海霞 何立文 韩奇虎 教学背景分析 同角三角函数的基本关系是学生学习了任意角和弧度值,任意角 三角函数后,安排的

一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化 简三角函数式、 证明三角恒等式的基本工具, 是整个三角函数的基础, 在教材中起着承上启下的作用。同时,它体现的数学思想与方法在三 角函数问题乃至整个中学数学学习中都有着重要的作用。所以本节课 的重点是同角三角函数基本关系式及在化简、证明等问题中的应用。 教学目标 一、知识与技能 : 1.使学生掌握同角三角函数的基本关系;已知某角的一个三角函数 值,求它的其余各三角函数值。 2.利用同角三角函数关系式化简三角函数式;利用同角三角函数关 系式证明三角恒等式。 3.牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高 学生分析,解决三角问题的能力;灵活运用同角三角函数关系式的不 同变形,提高三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法。 4.掌握恒等式证明的一般方法。 二、过程与方法 : 由圆的几何性质出发 ,利用三角函数线,探究同一个角的不同三 角函数之间的关系;学习已知一个三角函数值,求它的其余各三角函 数值;利用同角三角函数关系式化简三角函数式;利用同角三角函数 关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩 固所学知识。 三、情感态度与价值观: 通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活 运用于解题,提高学生分析,解决三角问题的能力;进一步树立化归 思想方法和证明三角恒等式的一般方法。 教学重点与难点 sin ? ? tan ? 的推导及运用。 重点:公式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 及 cos ?
1

难点:根据角α 终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证 明三角恒等式。 主要教学方法 引导发现法、启发法 课时安排:1 课时 教学过程 环 节 问 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过,只不过当 教学内容

题 时应用不是很多,那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学 引 习实践中,你还发现了哪些关系?今天这节课,我们就来讨论这 入 些问题. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标 来定义的 , 你能从圆的几何性质出发 , 讨论一下同一个角不同三角函数之间 的关系吗? 如图 : 以正弦线 MP , 余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形 , 而 且 OP ? 1 . 由 勾 股 定 理 由
MP 2 ? OM 2 ? 1 ,因此 x2 ? y 2 ? 1 ,即 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 . ? 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , 当 a ? k? ? ( k ? Z ) 时 , 有 2 sin ? ? tan ? . cos ? 这就是说,同一个角 ? 的正弦、 余弦的平方等于 1, 商等于角 ? 的正切. 注意:
M P 1 O A(1, 0) x y

探 究 新 知

1? sin 2 ? 是 (sin? ) 2 的缩写,读作“ sin ? 的平方” ,不能将
sin 2 ? 写成 sin ? 2 .

2? “同角”的概念与角的表达形式无关. 3? 据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角 函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出 现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次) 。
2

3 例 1.已知 sinα =- ,且α 在第三象限,求 cosα 和 tanα . 5 3 解:∵ sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ∴ cos2α =1 -sin2α =1-(- )2= 5 16 25 4 sin ? 3 又∵α 在第三象限, cosα <0 ∴cosα =- , tanα = = 5 cos ? 4
变式训练:P20 页第 1,2 题。 应 用 举 例 小结: 1.如果已知某个角的三角函数值,且角所在的象限是确定的, 那么只有一种结果; 2.如果只给出了某个角的三角函数值,那么按角所在的象限进 行讨论. 变式训练:P20 页第 4 题。 cos ? 1 ? sin ? ? 例 2.求证: 1 ? sin ? cos ? 证一: (利用平方关系)
左边 ? cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) 1 ? sin 2 ? cos2 ?
?

1 ? sin ? ? 右边 ? 等式成立 cos ? 证二: (利用比例关系)

? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) ? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ?
cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ? 证三: (作差) ?

且 1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0

?

cos? 1 ? sin ? cos2 ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) cos2 ? ? (1 ? sin 2 ?) ? ? ? 1 ? sin ? cos? (1 ? sin ?) cos? (1 ? sin ?) cos?
cos2 ? ? cos2 ? ?0 (1 ? sin ?) cos?
? cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

?

小结:由其它等式而转化(先证交叉乘积相等) ;或证和(差) , 或证商→比较法;直接证明左边等于右边. 变式训练:P20 页第 5 题。 1.同角三角函数的关系式的前提是“同角” 。 小 2.利用平方关系时往往要开方,因此要先根据角所在象限确定
3

结 符号。 3. 注意象限定符号和联系关系式 . 灵活运用公式,注意平方关 系,切化弦;化繁为简。 作 业 基础题:P21 习题 A 组 11,12,13 题, 能力题:B 组 1,2,3 题。

四、板书设计 1.2.2 同角三角函数的基本关系 一、 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin? ? tan ? 二、 cos ?

二、应用举例 例1 例2

例3 例4 三、小结

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