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第二章 第八节 函数图象及其变换


函数图象及其变换

1.掌握绘制函数图象的一般方法.
2.掌握函数图象变化的一般规律. 3.能利用函数图象研究函数的性质.

[理 要 点]
一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函 数的 定义域 ;②化简函数 解析式 ;③讨论函数的性质 ( 奇偶性、单调性、周期性 );其次:列表(尤其注意特殊 点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点),最 后:描点,连线.

二、利用基本函数的图象作图 1.平移变换 (1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向

左 (+)或向 右 (-)平移 a个单位而得到.
(2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向

上 (+)或向 下 (-)平移 b个 单位而得到.

2.对称变换

(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称.
(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 x轴 对称. (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 原点 对称. (4)要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的 部分以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变.

(5)要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出, 再利用偶函数的图象关于 y轴 的对称性,作出x<0时的
图象.

3.伸缩变换

(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐
标变为 原来的A倍 , 横坐标 不变而得到. (2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐 1 标变为 原来的 a 倍 , 纵坐标 不变而得到.

[究 疑点] 函数y=f(x)的图象关于原点对称与函数y=f(x)与y=-f

(-x)的图象关于原点对称一致吗?
提示:不一致,前者是本身的对称,而后者是两个函数图

象间的对称.

[题组自测]
1.作函数y=2x+2的图象. 解:将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图.

2.作出下列函数的图象: x3 (1)y= ;(2)y=|x-x2|. |x|
2 ? ?x , x>0, 解:(1)首先要化简解析式,y=? 2 ? ?-x ,x<0.

x3 因 y= 为奇函数,作出 y=x2,x>0 的图 |x| 象后,再根据奇函数的图象关于原点对称,作出 y 轴左 边的图象,如右图.

2 ? ?x-x ,0≤x≤1, (2)y=? 2 ? ?-?x-x ?,x>1或x<0,

12 1 ? ?-?x-2? +4,0≤x≤1, 即 y=? ??x-1?2-1,x>1或x<0, 2 4 ? 其图象如右图所示.

3.作出下列函数的图象: x+2 (1)y= ; x-1 1 |x| (2)y=( ) ; 2 (3)y=|log2x-1|.

3 3 解:(1)因 y=1+ ,先作出 y=x的图象, x-1 将其图象向右平移一个单位,再向上平移一 x+2 个单位,即得 y= 的图象,如图①. x-1 1x 1x (2)作出 y=( ) 的图象, 保留 y=( ) 图象中 x≥0 的部分, 2 2 加上
?1? y=?2?x 的图象中 ? ?

x>0 部分关于 y 轴的对称部分, 即

1 |x| 得 y=( ) 的图象,如图②实线部分. 2

(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单 位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴 上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图③.

[归纳领悟] 为了正确地作出函数的图象,必须做到以下两点: (1)熟练掌握几种基本函数的图象, 如二次函数、 反比例函数、 1 指数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+x的函数; (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变 换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.

[题组自测]
1.一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2),则下列各点 在函数f(x)的图象上的是 A.(2,2) C.(3,2) B.(-1,1) D.(2,3) ( )

解析:一次函数f(x)的图象过点A(0,1),B(1,2),则f(x) =x+1,代入验证D满足条件.

答案: D

2.函数y=x|x|的图象大致是

(

)

解析:因 象知.

2 ? ?x ,x≥0, y=? 2 ? - x ,x<0, ?

又 y=x|x|为奇函数,结合图

答案:A

3.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段

及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.

解析:当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b,
? ?-k+b=0 由图象有? ? ?b=1 ? ?k=1 ,得? ? ?b=1

.∴y=x+1.

当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2)2-1, 1 ∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2) -1,得 a= . 4
2

综上:函数 f(x)在[-1,+∞)上的解析式为 x+1,-1≤x≤0 ? ? f(x)=?1 . 2 ?x-2? -1,x>0 ? ?4

x+1,-1≤x≤0 ? ? 答案:f(x)=?1 ?x-2?2-1,x>0 ? ?4

ax+b,x≤0 ? ? 4.函数 f(x)=? 的 1 log ?x+ ?,x>0 ? 9 ? c 图象如图所示,则 a+b+c=________.

解析:由图象可求得直线的方程为 1 y = 2x + 2 ,又函数 y = logc(x + ) 的图象过点 9 1 (0,2),将其坐标代入可得 c= , 3 1 13 所以 a+b+c=2+2+ = . 3 3 13 答案: 3

[归纳领悟]
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分 布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的 信息,解决这类问题的常用方法有:(1)定性分析法,也 就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升 (或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;(2)定 量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;(3)

函数模型法,也就是由所提供的图象特征,联想相关函
数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.

[题组自测 ] 1.函数 数为 A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个
?1 ?x f(x)=? ? - sinx 在区间[0,2π]上的与 ?2 ?

x 轴交点个 ( )

解析:函数

?1? f(x)=?2?x-sinx ? ?

在区间[0,2π]上的零点个数,

?1? 就是函数 m(x)=?2?x 和函数 n(x)=sinx 在区间[0,2π]内函数 ? ?

图象的交点个数,由图象可知有 2 个.

答案:B

2.对 a,b∈R,记

? ?a,a≥b, max{a,b}=? ? ?b,a<b,

函数 f(x)= ( )

max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是 A.0 3 C. 2 1 B. 2 D.3

3 解析:作出函数 y=f(x)的图象,可以看出函数的最小值为 . 2

答案:C

3.已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;

(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.

2 ? ??x-2? -1, 解:f(x)=? 2 ? - ? x - 2 ? +1, ?

x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, x∈?1,3?,

作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区 间为(-∞,1]和[2,3]. (2)由图象可知,y=f(x)与y=m图象有四个不同的交点, 则0<m<1, ∴集合M={m|0<m<1}.

[归纳领悟]
1.函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶 性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直 观性,因此常用函数的图象研究函数的性质. 2.有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来 解. 3.方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问

题来求解.

一、把脉考情
本节主要考查函数解析式与函数图象的关系,重点考查 识图、用图、画图等方面的能力.多以选择题、填空题的形 式出现.函数的图象是数形结合的典范,纵观近几年高考试 题,函数图象的考查涉及的知识面广,形式灵活,经常会以

新面孔出现,是每年的必考内容.
预测2012年高考仍将以识图、用图为主要考向,重点考 查函数的图象性质以及方程、不等式与图象的综合问题.

二、考题诊断 1.(2010· 山东高考)函数y=2x-x2的图象大致是 ( )

解析:画出函数y=2x,y=x2的图象可知两个函数图象有 三个交点,所以函数y=2x-x2的图象与x轴有三个交点, 故排除B、C;当x很小时2x-x2<0,排除D. 答案:A

2.(2010· 全国卷Ⅰ)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个 交点,则a的取值范围是________.

解析:如图,作出 y=x2-|x|+a 的图象,若要使 y=1 1 5 与其有 4 个交点,则需满足 a- <1<a,解得 1<a< . 4 4

5 答案:1<a< 4

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