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高一数学三角函数学案与单元检测(含答案


三角函数学案与单元检测
第 1 课时 任意角
一、重点、难点剖析 理解任意角的概念,任意角产生于用角 α 表示圆周上运动的点 P ,学会在平面内建立 0 0 适当的坐标系来讨论角。理解终边相同的角的概念,能在 0 到 360 范围内,找出一个与已 知角终边相同的角, 会判定其为第几象限角, 能写出与任一已知角终边相同的角并用集合的 语言准确地表示。 二、典型例题 例 1、写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 ? 360 ~ 720 间的角写出
0 0

来: (1) 60°

(2) - 21°

(3) 363°14′

解:(1) S = {β | β = 60° + k ? 360°,k ∈ Z } S 中在-360°~720 间的角是: -1×360°+60°=-280°;0×360°+60°=60°;1×360°+60°=420°. (2) S = {β | β = ?21° + k ? 360°,k ∈ Z } S 中在-360°~720 间的角是: 0×360°-21°=-21°;1×360°-21°=339°;2×360°-21°=699°. (3) S = {β | β = 363°14′ + k ? 360°,k ∈ Z } S 中在-360°~720°间的角是: -2×360°+363?14’=-356?46’;-1×360°+363?14’=3?14’;0×360°+363?14’=363? 14’. 。 例 2、写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0 到 360 的角表示) 解:∵ 在 0°~ 360°间,终边在 y 轴的正半轴上的角为 90°,终边在 y 轴的负半轴 上的角为 270°,∴终边在 y 正半轴、负半轴上所有角分别是: S1={α|α=k?360°+90°,k∈Z};S2={α|α=k?360°+270°,k∈Z} 探究:怎么将二者写成统一表达式? ∵S1={α|α=k?360°+90°,k∈Z}={α|α=2k?180°+90°,k∈Z}; S2={α|α=k?360°+270°,k∈Z}={α|α=2k?180°+180°+90°,k∈Z}={α|α=(2k+1)?180°+90°,k∈Z}; ∴终边在 y 轴上的角的集合是: S=S1 U S2={α|α=2k?180°+90°,k∈Z} U {α|α=(2k+1)?180°+90°,k∈Z} ={α|α=180°的偶数倍+90°,k∈Z} U {α|α=180°的奇数倍+90°,k∈Z} ={α|α=180°的整数倍+90°,k∈Z} ={α|α=n?180°+90°,n∈Z} 引申:写出终边适合下述条件的角的集合。 (1)终边在 x 轴的正半轴、x 轴的负半轴及 x 轴上的角的集合:
0 0 0

y

y

y

O

x

O

x

O

x

{α|α=k?360°, k∈Z}

{α|α=k?360°+180°,k∈Z}

{α|α=k?180°,k∈Z}
y

(2)终边在 y 轴的正半轴、y 轴的负半轴及 y 轴上的角的集合:
y y

O

x

O

x

O

x

{α|α=k?360°+90°,k∈Z} {α|α=k?360°+270°,k∈Z}

{α|α=k?180°+90°,k∈Z}

(3) 终边在坐标轴、 坐标轴的分角线及终边在坐标轴和坐标轴的分角线上的角的集合:
y y y

O

x

O

x

O

x

{α|α=k?90°, k∈Z}

{α|α=k?90°+45°, k∈Z}

{α|α=k?45°, k∈Z}

例 3、用集合的形式表示象限角 解:第一象限的角表示为{α|k?360°<α<k?360°+90°, (k∈Z)}; 第二象限的角表示为{α|k?360°+90°<α<k?360°+180°, (k∈Z)}; 第三象限的角表示为{α|k?360°+180°<α<k?360°+270°, (k∈Z)}; 第四象限的角表示为{α|k?360°+270°<α<k?360°+360°, (k∈Z)}; 或{α|k?360°?90°<α<k?360°, (k∈Z)}。
0 例 4、设角 α , β 满足 ? 90 < α <

β < 900 ,则 α ? β 的范围是



A



A. ? 180

0

< α ? β < 00

B. ? 90 0 < α ? β < 90 0 C. ? 180 0 < α ? β < 180 0 D. ? 90 0 < α ? β < 0 0 (1)

解:Q α < 又Q ?90 0 <

β ,∴α ? β < 0 0

β < 90 0 ,∴ ?900 < ? β < 90 0
(2)

而Q ?90 0 < α < 90 0 ,∴ ?180 0 < α ? β < 180 0 由(1)(2)可得: ? 180 0 < α ? β < 0 0 、 例 5、已知α是第二象限角,问 选(A)

α 是第几象限角?2α是第几象限角?分别加以说明。 2

解:∵α在第二象限,∴k?360°+90°<α<k?360°+180°,k∈Z 于是, k?180°+45°<

α <k?180°+90°, ∵k∈Z, ∴k=2n 或 k=2n+1 2 α α 当 k=2n 时,n?360°+45°< <n?360°+90°, ∴ 在第一象限; 2 2

当 k=2n+1 时,n?360°+225°< ∴当α在第二象限时,∴

α
2

α <n?360°+270°, ∴ α 在第三象限; 2 2
新疆 王新敞
奎屯

可能在第一象限,也可能在第三象限
新疆 王新敞 奎屯

类似地,2α可能在第三、四象限或 y 轴负半轴上 三、随堂练习 一、选择题 o 1、已知集合 A = {第一象限的角}, B = {锐角}, C = {小于 90 的角},下列四个命题: ①A= B=C ②A?C ③C ? A ④A?C = B 其中正确命题的个数为 ( )

A. A.

0

B. 1

C. 2

D. 4 ( )

2、与 120°角终边相同的角是 -600°+k·360°,k∈Z Z B. -120°+k·360°,k∈Z Z D. 660°+k·360°,k∈Z

C. 120°+(2k+1)·180°,k∈Z Z 0 3、若 α 是第四象限角,则 180 - α 是 A.第一象限 B.第二象限





C.第三象限

D.第四象限 ( )

4、若 cos θ > 0, 且 sin 2θ < 0, 则角θ 的终边所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限
( ) B. 第二象限角一定是钝角 D. 第四象限角一定是负角 ( )

5、下列命题中正确的是 A. 终边在 y 轴正半轴上的角是直角

C.

若β=α+k·360°(k∈Z) Z ,则α与β终边相同

6、若角α与β终边相同,则一定有 A. α+β=180°

B. α+β=0° D. α+β=k·360°,k∈Z Z

C.

α-β=k·360°,k∈Z Z

7、若A={α|α=k·360°,k∈Z} Z ;B={α|α=k·180°,k∈Z} Z ; C={α|α=k·90°,k∈Z} ( Z ,则下列关系中正确的是 A. A=B=C B. A=B I C C. A U B=C



D.

A B C ( )

8、若α与β的终边互为反向延长线,则有 A. α=β+180° B. α=β-180° C. α=-β

D.

α=β+(2k+1)180°,k∈Z Z

二、填空题 9、在-720?到 720?之间与-1050?终边相同的角是 10、终边在第二象限的角的集合是 11、今天是星期一,100 天后的那一天是星期 12、钟表经过 4 小时,时针与分针各转了

. ,100 天前的那一天是星期 (填度). .

三、解答题 13、锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于 90°的角是锐角吗? 14、已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它 们是哪个象限的角? (1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°. 15、已知角 α 的终边与角 30 的终边关于直线 y = x 对称,且 ? 720 < α < 720 ,求 α 的
0

0

0

值。 16、若角 α 的终边经过点 P ? 1,? 3 ,试写出角 α 的集合,并求出集合中绝对值最小的角。

(

)

第 2 课时 弧度制
一、重点、难点剖析 理解弧度的意义,弄清 1 弧度的角的含义,正确建立弧度的概念,准确地进行弧度与角 度的换算,熟记特殊角的弧度数,了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应关系,会 用弧度制下的弧长公式解决某些简单的实际问题。 二、典型例题 例 1、用弧度制表示: (1)终边在 x 轴的正半轴上的角的集合; (2)终边在 y 轴上的角的集合; (3)终边在直线 y = x 上的角的集合; (4)终边在坐标轴上的角的集合。

解: (1)终边在 x 轴的正半轴上的角的集合 S1 = { β | β = 2kπ , k ∈ Z } (2)终边在 y 轴上的角的集合 S 2 = ?β | β = kπ +

? ?

π

? ,k ∈ Z? 2 ?

(3)终边在直线 y = x 上的角的集合 S3 = ? β | β = kπ +

? ?

π

? ,k ∈Z? 4 ?

(4)终边在坐标轴上的角的集合 S 4 = ? β | β =

? ?

kπ ? ,k ∈Z? 2 ?

例 2、自行车大链轮有 48 个齿,小链轮有 20 个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转 过的角度是多少度,合多少弧度? 解:因为大链轮与小链轮在同一时间内转过的齿数相同,所以两轮转过的圈数之比等 于它们的齿轮的反比,于是大轮转过的圈数为 m ,小轮转过的圈数为 n 时, 以大轮转一周时,小轮转 2.4 周。

m 20 = ,所 n 48

所以转过的角度为: 2.4 × 360 = 864
0

0

转过的弧度为:

π
180

? 864 =

24 π rad 5

注意几点:1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行; 2.今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如:3 表 示 3rad , sinπ表示πrad 角的正弦; 3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住。 一扇形的周长为 20cm, 当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时, 这个扇形的面积最大? 例 3、 并求此扇形的最大面积。 解:设扇形的半径为 r ,弧长为 l ,则 l + 2r = 20,即l = 20 ? 2r 将扇形的面积公式代入(1)得: S = (1)

1 (20 ? 2r ) ? r = ?r 2 + 10r = ?(r ? 5)2 + 25 2 l 当 r = 5 时,S 有最大值 25,此时 l = 20 ? 2 × 5 = 10, α = = 2(rad ) r
答:当 r = 5 时扇形的面积取最大值,最大值为 25cm 。
2

说明: 说明:扇形的弧长公式( l = α ? r )及扇形的面积公式( S =

, 例 4、已知集合A={ α |2kπ≤ α ≤π+2kπ,k∈Z} Z ,B={ α |-4≤ α ≤4} 求 A∩B。 解:分别把集合 A、B 表示在数轴上(其中 k 只要取-1,0,1 就足够了) ,从数轴上找 出它们的公共部分为: A∩B={ α |-4≤ α ≤-π或 0≤ α ≤π} 三、随堂练习 一、选择题 1、下列各对角中终边相同的角是 ( )

1 rl )应熟记. 2

2 11π C. - 7π 和 9 9
A. 第一象限

A.

π
2

和?

π

+ 2kπ (k∈Z) Z

B. - D.

2、若 α =-3,则角 α 的终边在 B. 第二象限

22 π 3 3 20π 122π 和 3 9
和 ( ) D. 第四象限 ( )

π

C.

第三象限

3、若 α 是第四象限角,则 π ? α 一定在 A. 第一象限 4、下列与 ? B. 第二象限

C.

第三象限

D. 第四象限 ( D. ? )

13 π 的终边相同的角( k ∈ Z )是 6 π 10 11 A. + 2kπ B. π + 2kπ C. π + 2kπ 6 6 6

7 π + 2kπ 6
( )

5、2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为

A.

2 sin1

B.

1 sin 2 1

C.

1 1 ? cos 2

D.

1 sin1

6、把 ? 1125 化成 2kπ + α (k ∈ Z ,0 ≤ α < 2π )
0

A. ? 6π ?

π
4

B. ? 6π +

7π 4
k

2 的形式是 sin1





C. ? 8π ?

π

4

D. ? 8π + 7π
4

7、集合 A = ? x | x = kπ + (? 1) ? 关系为 A. A ? B 8、已知

? ?

π

π ? ? ? , k ∈ Z ? , B = ? x | x = 2kπ + , k ∈ z ? ,则 A、B 的 2 2 ? ? ?
( )

B. B ? A

C. A = B
2

D. A ∩ B = ? ( )

α
3

= 2kπ +

π
3

(k ∈ Z ) ,则 α 在
C. x 轴上

A. 第一象限

B. 第二象限

D.

y 轴上

二、填空题 9、(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ,第一或第三象限角的集合为 象限,与 7 弧度角终边相同的最小正角为 10、7 弧度的角在第 11、圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为 12、在(-4 π ,4 π )上与角 三、解答题 13、求值: sin

. . . .

16 π 终边相同的所有角为 3

π
3

tan

π
3

+ tan

π
6

cos

π
6

? tan

π
4

cos

π
2

.

14、现在时针和分针都指向 12 点,试用弧度制表示 15 分钟后,时针和分针的夹角. 15、扇形的周长为 20cm,问其半径为多少时其面积最大? 16、已知 α 是第二象限角,试用弧度制形式表示下列各区域。 (1)

α
2

角所在的区域;(2)

α
3

角所在的区域;(3)2 α 角所在的区域.

第 3 课时 任意角的三角函数(1)
一、重点、难点剖析 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,会用角 α 的正弦线、余弦线、正切线分别表 示任意角 α 的正弦、余弦、正切值,熟记正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的 值在各个象限的符号, 理解

y x y , , 这三个比值只与角的大小有关, 不因点 P 的变化而变化, r r x

故它们是以角为自变量的函数。 二、典型例题 例 1、求下列各角的三角函数值.? (1)0 (2)π (3)

解:(1)因为当 α =0 时,x=r,y=0,所以 sin0=0 (2)因为当 α =π时,x=-r,y=0, 所以? sinπ=0

3π 2

(4)

π
2
cos0=1 tan0=0 cosπ=-1 ? tanπ=0

(3)因为当 α =

sin

3π = ?1 2

(4)当α= sin

π

3π 时,x=0,y=-r,所以? 2 3π 3π cos =0 tan 不存在 2 2

π
2

2

时 x = 0, y = r ,所以 cos

=1

π
2

=0

tan

π
2

不存在

例 2、已知角 α 的终边上一个点 P ( 4a,?3a )( a ≠ 0) ,求 2 sin α + cos α 的值。 、 解:由题意知: x = 4a, y = ?3a ,故 r =

(4a )2 + (? 3a )2

= 5a 。

(1)当 a > 0 时, α 是第四象限的角,故 sin α = 所以 2 sin α + cos α = ?

y ? 3a 3 x 4a 4 = = ? , cos α = = = , r 5a 5 r 5a 5

2 5
y ? 3a 3 x 4a 4 = , cos α = = =? , = r ? 5a 5 r ? 5a 5

(2)当 a < 0 时, α 是第二象限的角,故 sin α = 所以 2 sin α + cos α = 例 3、求函数 y =

2 5

cos x cos x

+

tan x 的值域 tan x

解: 定义域:cosx≠0 ∴x 的终边不在 x 轴上 又∵tanx≠0 ∴x 的终边不在 y 轴上 当 x 是第Ⅰ象限角时, x > 0, y > 0 当 x 是第Ⅱ象限角时, x < 0, y > 0 当 x 是第Ⅲ象限角时, x < 0, y < 0 当 x 是第Ⅳ象限角时, x > 0, y < 0 拓展:求函数 y = cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 |cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2 |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0 |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0

sin x cos x tan x + + 的值域。 sin x cos x tan x
2 y ,求 cos α 和 tan α 的值. 4

例 4、已知角 α 终边上一点 P ( ? 3 , y ) ,且 sin α = 、

解:∵ P ( ? 3 , y ) 是角 α 终边上任一点,由三角函数的定义可知:

sin α =

y
3+ y
2

得,

y 3+ y
2

=

2 y ,∴ y = 0或y = ± 5 4

(1)当 y = 0 时, cosα = 0, tan α = 0 ; (2)当 y = 5 时, cosα = ?

6 15 ; , tan α = ? 4 3 6 15 。 , tan α = 4 3

(3)当 y = ? 5 时, cosα = ?

说明:已知角 α 终边上的一点,求 α 的三角函数值,我们采用定义法;会求三角函数 值是重要的基本技能,因此掌握此题的解法很有意义;另外,由于本例中 y ∈ R ,所以应进 行必要的分类讨论,这是不应忽视的. 三、随堂练习 一、选择题 1、若 sin θ ? cosθ > 0 ,则 θ 在 A.第一、四象限

( C.第一、二象限 D.第二、四象限 ( D.第四象限 ( C.等于 0 D.不确定 ( C.-



B.第一、三象限
α
2 |= ? cos

2、若 α 是第二象限角,用 | cos A.第一象限

α
2

,则

α
2





B.第二象限

C.第三象限

3、sin2·cos3·tan4 的符号是



A.小于 0
2 2

B.大于 0

4、角 α 终边上有一点(a,a)则 sin α = A.



B.-

2 或 2

2 2

2 2

D.1 ( )

5、若三角形的两内角α,β满足 sinαcosβ < 0,则此三角形必为 A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.以上三种情况都可能 ( )

6、若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sinα+cosα < 0

B.tanα?sinα < 0

C.sinα ? tanα < 0

D.tanα sinα < 0 ( )

7、下列说法正确的是 A.正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零。

B.设 A 是第三象限的角,且 | sin A |= ? sin A ,则 A 是第四象限的角。
2 2 2
C.对任意的角 α ,都有 sin α + cos α = sin α + cos α 。 D.若 cos α 与 tan α 同号,则 α 是第二象限的角。 8、若 α 为第二象限角,那么 sin 2α , cos

α

2

, tan 2α , cos 2α 中,其值必为正的有(
D.3 个



A.0 个

B.1 个

C.2 个

二、填空题 9、适合条件|sin α |=-sin α 的角 α 是第

象限角或 y 轴负半轴。

10、已知 α 的终边过点 (3 x ? 9, x + 2) ,且 cos α ≤0, sin α > 0 ,则 x ∈ ____________。 11、若点 P(-3,y)是角α终边上一点,且 sin α = ? 三、解答题 12、填表: α 弧度 sin α cosα tgα 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

2 ,则y的值是 3



13、已知θ是第三象限角且 cos

< 0 ,问 是第几象限角? 2 2 2a ? 3 14、已知第二、第三象限角 x 满足 cosx= ,求实数 a 的取值范围。 4?a x 15、已知角θ的终边上一点 P 的坐标是(x,–2)(x≠0),且 cosθ = ,求 sinθ和 tanθ 3

θ

θ

的值。

第 4 课时 任意角的三角函数(2)
一、重点、难点剖析: 进一步掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,理解三角函数线作为三角函数的几何表 示,它给予三角函数的定义以直观的解释;正弦线、余弦线、正切线都是三角函数线,它们 是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向线段,书写规律为:凡含原点的线 段,均以原点为起点,不含原点的线段,均以此线段与坐标轴的公共点为起点。 二、典型例题 例 1、确定下列三角函数值的符号? (1)cos250° (2) sin( ?

π
4

)

(3)tan(-672°) ∴cos250°<0

(4) tan(

11π ) 3

解:(1)∵250°是第三象限角 (2)∵ ?

π
4

是第四象限角,∴ sin( ?

π
4

)<0

(3)tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而 48°是第一象限角,∴tan(-672°)>0 ? (4) tan

11π 5π 5π 5π 11π = tan( + 2π ) = tan 而 是第四象限角,∴ tan < 0 .? 3 3 3 3 3

例 2、利用单位圆中的三角函数线证明:当 0 < α < 、

π

2

时, sin α < α < tan α .

证明:在单位圆 O 中,设 ∠POA = α ? 0 < α <

? ?

π?

?, 2?

y
T P

过 P 作 PM ⊥ OA 交 OA 于 M,过 A 作 AT ⊥ OA 交 OP 的延长线于 T,则 MP = sin α , AT = tan α ,由图形 直观可得 S ?OPA < S 扇形OPA < S ?OTA , 即
O

M

A

x

1 1 1 2 OA ? MP < α ? OA < OA ? AT ,由于 OA = 1 2 2 2 则: sin α < α < tan α
例 3、利用单位圆中的三角函数线,确定满足 cos α > sin α 的 α 的取值范围。 解:作出单位圆, cos α = sin α 的角 α 在 0 到 2π 之间有四个:

π 3π 5π 7π
4 , 4 , 4 , 4



cos α > sin α 的角在图中的阴影部分(不包括边界) 。
故 2kπ ? π < α < 2kπ + π 或2kπ + 3π < α < 2kπ + 5π , k ∈ Z , 4 4 4 4 即: nπ ?

y

π
4

< α < nπ +

π
4

,n∈Z

O

x

π? ? tan ? x ? ? ? sin x 4? ? 的定义域。 例 4、求函数 y = lg(2 cos x ? 1) π? ? tan ? x ? ? ? sin x 4? ? 解:要使函数 y = 有意义,需且只需 lg(2 cos x ? 1)
? ? π? ? ? π? ?tan ? x ? 4 ?有意义 ?tan ? x ? 4 ?有意义 ? ? ? ? ? ? ? ? sin x ≥ 0 sin x ≥ 0 即:? 画出单位圆,使上述不等式成立的角分 ? 1 ? 2 cos x ? 1 > 0 ? 2 cos x > 2 ? ? ? 2 cos x ? 1 ≠ 1 ? cos x ≠ 1 ? ?
别用圆弧表示,并求交集,可得故原函数的定义域为: ? x | 2kπ < x < 2kπ + 三、随堂练习 一、选择题 1、已知 α , β 是第一象限的角,且 α > A.必有 sin α > sin β

? ?

π

? ,k ∈Z? 3 ?

β ,则
C.必有 sin α ≠ sin β





B.必有 sin α < sin β

D.不确定

2、在区间(0,2 π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是 A.(

( D.(



π π 5π , )∪( π , ) 4 2 4

B.(

π ,π) 4

C.(

π 5π , ) 4 4

π 5π 3π , π )∪( , ) 4 4 2
( )

3、若 θ ∈ ?

?π π ? , ? ,那么下面不等式成立的是 ?4 2?

A. sin θ < cos θ < tan θ C. sin θ < tan θ < cos θ

B. cosθ

< sin θ < tan θ

D. cos θ < tan θ < sin θ ( )

4、若 cos α = cos β ,则 α 与 β 之间的关系是 A.α = β 5、函数 y = B.α ? β = 2kπ , k ∈ Z C.α = kπ + β , k ∈ Z

D.α ± β
π
2

= 2kπ , k ∈ Z
( )

sin x + ? tan x 有意义,则 x 的取值范围是
B. 2kπ ≤ x < 2kπ +

A. 2kπ < x < (2k + 1)π , k ∈ Z C. 2kπ +

,k ∈ Z

π
2

< x ≤ (2k + 1)π , k ∈ Z 1 B. cos α + cos α

D. 2kπ +

π
2

< x < (2k + 1)π , 或x = kπ , k ∈ Z
( )

6、设 α 是第三象限的角,下列各式的值恒为正的是 A. sin α + cos α

C. tan α + cos α

D. sin α + tan α
( )

7、已知 sin α > sin β ,那么下列命题成立的是 A.若 α , β 是第一象限的角,则 cos α > cos β B.若 α , β 是第二象限的角,则 tan α > tan β C.若 α , β 是第三象限的角,则 cos α > cos β

D.若 α , β 是第四象限的角,则 tan α > tan β
8、点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 + y 2 = 1 按逆时针方向运动 的坐标为

2π 弧长到达 Q 点,则 Q 3
( )

A. ? ? 1 , ?

?

3? ? 2 2 ? ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 1? ,? ? 2 2? ?

C. ? ?

? 1 3? ? ,? ? 2 2 ? ? ?

D. ? ?

? ? ?

3 1? , ? 2 2? ?

二、填空题

1 ,则满足条件的角 α 的取值范围是___________________. 2 10、写出使 sin α > cos α 的角 α 的集合是_______________. 17 11、设 MP 和 OM 分别是角 π 的正弦线和余弦线,则给出以下不等式: 18
9、已知 sin α <

① MP < OM < 0 ;② OM > MP > 0 ;③ OM < MP < 0 ;④ MP > 0 > OM 。 其中正确的是_________。 12、 sin

2π 6π 2π , cos , tan 从小到大的顺序是_____________ 5 5 5

三、解答题 13、确定下列各式的符号 (1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5 14、.x 取什么值时,

sin x + cos x 有意义? tan x

?1? 15、已知 ? ? ?2?

sin 2?

< 1 ,则θ为第几象限角?

16、利用三角函数的定义化简:

tan 2 α ? cot 2 α 1 1 cos α + ? (提示: cot α = ) 2 2 2 2 sin α sin α ? cos a cos α sin α

第 5 课时 同角三角函数关系
一、重点、难点剖析: 掌握同角三角函数的基本关系式 sin
2

α + cos 2 α = 1, tan α =

sin α ,并会运用它们进 cos α

行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明,公式的应用主要有: (1)已知角的正弦、 余弦、正切值中的一个,求出其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证明简单的三角恒等式。 由一个三角函数值求其它三角函数值,有时结果不惟一,需进行讨论,同角三角函数的基本 关系式使用过程中要重视“同角”二字。 二、典型例题 例 1、已知 sin θ = 、
2

1? a 3a ? 1 , cos θ = ,若 θ 是第二象限角,求实数 a 的值. 1+ a 1+ a
2 2 2

? 1 ? a ? ? 3a ? 1 ? 2 解:Q sin θ + cos θ = 1,∴ ? ? +? ? = 1,∴ 9a ? 10a + 1 = 0 ?1+ a ? ? 1+ a ?
解之得: a = 1或a =

1 9

验证得: a = 1 不适合, a =

1 适合题意。 9 评 注 : 此 题 不 仅 要 注 意 到 0 < sin θ < 1 和 ? 1 < cosθ < 0 的 问 题 , 还 要 注 意

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 这一条件.
例 2、 已知

1 + sin α 1 ? sin α ? = ?2 tan α ,求 α 所在的象限。 1 ? sin α 1 + sin α

解:Q

(1 + sin α )(1 + sin α ) (1 ? sin α )(1 ? sin α ) ? (1 + sin α )(1 ? sin α ) (1 + sin α )(1 ? sin α )

=

(1 + sin α ) 2 (1 ? sin α ) 2 1 + sin α 1 ? sin α 2 sin α ? = ? = 1 ? sin 2 α 1 ? sin 2 α | cosα | | cosα | cosα



2 sin α 2 sin α = ?2 tan α = ? 。于是 cos α < 0 , cos α cos α

∴α是第二, 三象限角 或 x 轴的负半轴。
2 cos 例 3 、 已 知 方 程 2 x ? ( 3 + 1) x + m = 0 的 两 根 分 别 是 sin θ , θ , 求

sin θ cos θ cos θ + 的值。 (提示: cot θ = ) 1 ? cot θ 1 ? tan θ sin θ
解:Q 原式 =

sin 2 θ cos 2 θ sin 2 θ ? cos 2 θ + = = sin θ + cos θ sin θ ? cos θ cos θ ? sin θ sin θ ? cos θ
3 +1 2
(化弦法)

∴由韦达定理知:原式 =
例 4、已知 ? 、

π
2

< x < 0, sin x + cos x =

1 ,求 sinx-cosx 的值。 5

分析:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号 等基本知识,以及推理和运算能力。 解法一:由 sin x + cos x = 即

2 sin x cos x = ?

又Q ?

π

24 . 25

1 1 , 平方得 sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = , 5 25 49 Q (sin x ? cos x ) 2 = 1 ? 2 sin x cos x = . 25

7 < x < 0,∴ sin x < 0, cos x > 0, sin x ? cos x < 0, 故 sin x ? cos x = ? . 2 5

1 ? ?sin x + cos x = , 解法二:联立方程 ? 5 ?sin 2 + cos 2 x = 1. ?
由①得 sin x =

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25 cos 2 x ? 5 cos x ? 12 = 0, 5
3 ? 7 ?sin x = ? 5 , π ? 故 sin x ? cos x = ? . Q ? < x < 0,∴ ? 5 2 ?cos x = 4 . ? 5 ?

3 4 ∴ cos x = ? 或 cos x = . 5 5
三、随堂练习 一、选择题 1、下列表示同一函数的是





A. f ( x ) = sin x ; g ( x ) =

x sin x x
2 2

B. f ( x ) = sin x ; g ( x) = 1 ? sin x
2

C. f ( x) = 1

; g ( x) = sin x + cos x
2

D. f ( x) = 1 ; g ( x) = tan x ? cot x ( )

2、若 1 + sin θ ? sin

θ + cosθ ? cos 2 θ = 0 成立,θ 不可能是

A.第一、二、三象限的角 C.第一、二、三象限的角 3、下列四个命题中,可能成立的是

B.第一、二、三象限的角
D.任何象限的角 ( )

1 1 A. sin α = 且 cos α = 2 2
C. tan α = 1且 cos α = ?1 4、已知 sin α =

B. sin α = 0且 cos α = ?1
D. tan α = ?

sin α (α在第二象限) cos α
( )

4 , α ∈ (0, π ) ,则 tan α 的值为 5 4 3 3 A. B. C. ± 3 4 4 1 + sin x 1 cos x 5、若 = ? ,则 的值是 cos x 2 sin x ? 1 1 1 A. B. ? C.2 2 2
6、若 α 是第四象限的角,且 sin

D. ±

4 3
( )

D. ? 2

α
2

? cos

α
2

= 1 ? 2 sin

α
2

cos

α
2

,则

α
2

是 (



A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一或第三象限的角 D.第二或第四象限的角

1 ? cos 2 α 7、若角 α 的终边落在直线 x + y = 0 上,则 + 的值等于( cos α 1 ? sin 2 α
A.2 B. ? 2
3 3

sin α



C. ? 2 或 2

D.0
( )

8、设 t = sin α + cos α ,且 sin α + cos α < 0 ,则 t 的取值范围是

A. [?

2 ,0 )

B. [? 2 , 2 ]

C. ( ?1,0) ∪ (1, 2 ]

D. ( ? 3 ,0) ∪ ( 3 ,+∞)

二、填空题 9、化简: cos4 α -sin4 α +2sin2 α =_________________. 10、 1 ? sin α = cos α ≠ 0 ,那么 α 是第
2

象限或 x 轴正半轴上的角.

11、若 sin α = a, cos α = 1 ? a ,则 a = _________ . 12 、 已 知 点 P (sin α ? cos α , tan α ) 在 第 一 象 限 , 则 在 [0,2π ) 内 的 α 的 取 值 范 围 为

_____________________. 三、解答题 13、 已知 tan α = 2 ,求下列各式的值: (1)

2 cos α + 3 sin α ; 3 cos α + sin α
2

(2) sin α ? 2 sin α cos α + 2 ;

sin θ + cos θ = 2 ,求 sin θ ? cos θ 的值. sin θ ? cos θ cos x sin x 2(cos x ? sin x ) 15、求证: ? = 1 + sin x 1 + cos x 1 + sin x + cos x 1 π π 16、已知 sin α ·cos α = ,且 < α < ,则 cos α -sin α 的值是多少? 8 4 2
14、已知

第 6 课时 三角函数的诱导公式(1)
一、重点、难点剖析 会借助于单位圆推导正弦、余弦的诱导公式,诱导公式二、三、四的推导都体现了对称 思想, 其中公式二直接对应着三角函数的奇偶性, 正确运用诱导公式可将任意角的三角函数 化为锐角的三角函数,并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题,初步掌握从未知 到已知、复杂到简单的转化过程。 二、典型例题

1 3π < α < 2π .求: sin(2π ? α ) 的值. 2 2 1 3π 解:已知条件即 cos α = ,又 < α < 2π , 2 2
例 1、已知 cos(π + α ) = ? , 、 所以: sin( 2π ? α ) = ? sin α = ?( ? 1 ? cos 2 α ) = 1 ? ( ) =
2

1 2

3 2

说明:本题是在约束条件下三角函数式的求值问题.由于给出了角 α 的范围,因此,α 的三角函数的符号是一定的, 求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号, 又要注意根据 α 的范围确定三角函数的符号. 例 2、已知

1 + 2 sin (π + θ ) 11 = ,求 tan (θ ? π ) cos(θ ? π ) 的值。 2 ? sin (? θ ) 7 ∴ 1 ? 2 sin θ 11 = 2 + sin θ 7 3 5 ∴ sin θ = ? 3 5

解:Q

1 + 2 sin (π + θ ) 11 = 2 ? sin (? θ ) 7

∴ tan (θ ? π ) cos(θ ? π ) = tan θ (? cos θ ) = ? sin θ =
例 3、若函数 f ( x ) =

2 cos 3 x ? sin 2 ( x + π ) ? 2 cos(? x ? π ) + 1 , 2 + 2 cos 2 (7π + x) + cos(? x)

(1)求证: y = f ( x ) 是偶函数; (2)求 f (

π
3

)的值.

解: (1)Q f ( x) =

2 cos 3 x ? sin 2 x + 2 cos x + 1 2 + 2 cos 2 x + cos x

=

2 cos 3 x ? (1 ? cos 2 x) + 2 cos x + 1 2 cos 3 x + cos 2 x + 2 cos x = 2 + 2 cos 2 x + cos x 2 + 2 cos 2 x + cos x cos x(2 cos 2 x + cos x + 2) = cos x 2 cos 2 x + cos x + 2
即 f ( x ) = cos x, ( x ∈ R )

=

则 f (? x ) = cos( ? x) = cos x = f ( x ) ,∴ y = f ( x ) 是偶函数。 (2)f (

π
3

)=

1 2 2 ,角 α ? β 的终边在 y 轴的非负半轴上,求 cos (2α ? 3β ) 的值. 3

例 4、已知 cos β = 、

解:因为角 α ? β 的终边在 y 轴的非负半轴上,所以: α ? β = 于是 所以 2( α ? β )= π + 4kπ ( k ∈ π ) 从而

π

2

+ 2kπ (k ∈ Z ) ,

2α ? 3β = ? β + π + 4kπ (k ∈ Z ), 2 3

cos(2α ? 3β ) = cos[(π ? β ) + 4kπ ] = cos(π ? β ) = ? cos β = ?

说明:本题求解中,通过对角 α ? β 的终边在 y 轴的 非负半轴上的分析而得的

α?β=

π
2

+ 2kπ (k ∈ Z ) ,还不能马上将未知与已知沟通起来.然而,当我们通过观察,
π

+ 2kπ 代 2 入,那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁,它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍。 三、随堂练习 一、选择题 1、tan600°的值是 ( )
A. ?

分析角 2α ? 3β 的结构特征,并将它表示为 2( α ? β ) ? β 后,再将 α ? β =

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D.

3
( )

2、如果 sin α = A. ?

12 13

12 π , α ∈(0, ) ,那么 cos( π - α )= 13 2 12 5 B. C. D. ? 5 13 13 13
B.0

3、化简 sin(-2)+cos(-2-π)·tan(2-4π)所得的结果是 A.2sin2

( D.-1



C.-2sin2

4、如果 α 与 β 都是第一象限角,并且 α > β ,则一定有如下关系 A.sin α >sin β B.sin α <sin β C.sin α ≠sin β





D.不能确定

5、已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边为射线 3 x + 4 y = 0( x ≤ 0) , 则 cos(α ? π ) 的值为 A. ( )

4 5

B.- B.1 ?

4 5

C.

3 5

D.±

3 5
( )

6、tan3000+tan2250 的值为 A. 1 + 3

3

C. ? 1 ? 3

D. ? 1 + 3 ( )

7、已知 sin (π + α ) = ? A. ±

1 ,则 cos α 的值为 2 1 2
C.

1 2

B.

3 2

D. ±

3 2
( )

8、函数y=-xcosx的部分图象是

二、填空题 0 9、sin(-300 )=__________ 10 、 若 sin(π + α ) = ?

4 , 其 中 α 是 第 二 象 限 角 , 则 cos(2π ? α ) = ________ ; 5

tan(α ? 7π ) = ________ .
11、已知 sin(α + π ) =

1 3π ,π < α < ,则 cos(?α ? 2π ) 的值是_____. 3 2
.

12、如果 f ( x) = a tan x + b sin 3 x ? 5 ,并且 f (1) = 2 ,那么 f (?1) = 三、解答题

sin 3 (?α ) cos(5π + α ) tan(2π + α ) 13、化简: cos 3 (?α ? 2π ) sin(?α ? 3π ) tan 3 (α ? 4π )
14、求下式的值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos( ?225°) + cos( ?210°) 15、判断下列函数的奇偶性: (1) y = x ? sin x (2) y = cos(

7π + 3 x) 2

16、设 f(x)=

cos 2 (nπ + x) ? sin 2 (nπ ? x) π (n ∈ Z ) , 求 f ( )的值. 2 6 cos [(2n + 1)π ? x]

第 7 课时 三角函数的诱导公式(2)
一、重点、难点剖析

公式五的推导也体现了对称思想。 正确运用诱导公式可将任意角的三角函数 化为锐角的三角函数,并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题,初步 掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。
二、典型例题 例 1 、 若

α 是 第 二 象 限 角 , 且 sin(540 0 + α ) = ?

4 5

, 求

[sin(180 0 ? α ) + cos(α ? 360 0 )]2 的值. tan(180 0 + α ) 4 3 4 , cosα = ? , tan α = ? , 5 5 3 1 2 [sin(180 0 ? α ) + cos(α ? 360 0 )]2 (sin α + cosα ) 3 ∴ = = 25 = ? 。 0 4 tan(180 + α ) tan α 100 ? 3
解: Q sin(540 + α ) = ? ,∴ sin α =
0

4 5

说明:熟练掌握诱导公式及同角三角函数间的关系式.

1 + cos(180° + α ) cos(?α ) = tan 3 α 例 2、求证 、 1 + sin(360° ? α ) sin(540° ? α )

1 1 ? cos α ? cos α cos α cos α 证明:左边= = 1 1 ? sin α ? sin α sin(180° ? α ) sin α 1 ? cos 2 α sin 2 α sin α = cos α =tan3α=右边,所以,原式成立. = 2 2 1 ? sin α cos α cos α sin α
说明:例 2 是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用, 具有一定的综合性.尽管问题是以证明的形式出现的,但其本质是等号左边三角式的化简. 例 3、已知 、

π
6

<α <

2π π 2π , α + ) = m(m ≠ 0),求 tan( cos( ? α ) 的值. 3 3 3

解:因为

2π π ?α = π ? α + ) ( , 3 3 2π π π ? α ) = cos[π ? (α + )] = ? cos(α + ) =-m 所以: cos( 3 3 3 π 2π 2π π 由于 < α < , 0< 所以 ?α < , 6 3 3 2
于是: sin(

2π 2π ? α ) = 1 ? cos 2 ( ? α ) = 1 ? m2 , 3 3
sin(

2π ?α) 1? m2 3 =? 2π m cos( ?α) 3 π 2π 2π π 说明:通过观察,获得角 α + 与角 ? α 之间的关系式 ? α = π -( α + ) ,为 3 3 3 3 2π 顺利利用诱导公式求 cos( ? α )的值奠定了基础,这是求解本题的关键,我们应当善于观 3 2π 所以:tan( ( ?α) = 3
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察并充分挖掘隐含条件, 努力为解决问题寻找突破口, 本题求解中一个鲜明的特点是诱导公 式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来, 在思维和 技能上显然都有较高的要求,它对于培养我们的思维能力、创新意识,训练素质有着很好的 作用. 例 4、已知方程 sin(α ? 3π) = 2cos(α ? 4π),求 解: ∵sin(α ? 3π) = 2cos(α ? 4π) ∴? sin(π ? α) = 2cos(? α) ∴ 原式 = 三、随堂练习 一、选择题 1、sin( α -

sin(π ? α ) + 5 cos(2π ? α ) 的值。 3π 2 sin( ? α ) ? sin(?α ) 2

sin α + 5 cos α ? 2 cos α + 5 cos α 3 cos α 3 = = =? ? 2 cos α + sin α ? 2 cos α ? 2 cos α ? 4 cos α 4

∴? sin(3π ? α) = 2cos(4π ? α) ∴sinα = ? 2cosα 且 cosα ≠ 0

π )= 2
B.cos(





A.sin(

3π +α) 2 35π 2、 tan( ? )= 3
A.-

π +α) 2

C.cos(

π -α) 2

D.sin(

π +α) 2




3 3

B.

3

C.

3 3

D.- 3 ( )

3、如果 sin( π + α )=-

1 3π ,那么 cos( ? α )= 2 2
B.

A.-

1 2

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

4、 f (cos x) = cos 2 x,则f (sin 75 ) =
o





A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5、设 A、B、C 是⊿ABC 的三个内角,则下列四个表达式⑴cos(A+B)+cosC;⑵sin(A+

B)+sinC;⑶ tan

A+ B C tan ;⑷ 2 2

cos

A+ B 2 ,始终表示常数的是 c cos 2
C.(2)(4)





A.(1)

B.(1)(3)
cos(?585°) 的值是 sin 630° + sin(?690°)

D.(3)(4) ( )

6、式子

A. 2 2

B. 2
? ?

C.

2 3

D.-

2 3

7、已知:集合 P = ? x | x = sin

(k ? 3)π ? , k ∈ Z ? ,集合 3 ?
( )

(?21 ? k )π ? ? Q = ? y | y = sin , k ∈ Z ? ,则 P 与 Q 的关系是 3 ? ?
A.P Q 8、已知 sin(α ? A. B. Q P

C.P=Q

D.P∩Q=? ( )

π
4

)=

2 2 3

1 π ,则 cos( + α ) 的值等于 3 4 2 1 B.- 2 C. 3 3

D.-

1 3

二、填空题 9、化简 sin 2 62 0 + tan 54 0 ? cot 45 0 ? tan 36 0 + sin 2 28 0 = ___________________ . 10、如果角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称,则 cos α +cos β = 11、 cos .

π
5

+ cos

2π 3π 4π + cos + cos = 5 5 5



12、 若 f (cos x) = cos 17 x, 三、解答题

求 f (sin x) =______________.

13、已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为 ( 2 sin 3,?2 cos 3) ,求 α 的弧度数.

1 ? sin(180° + α ) 1 sin(?α ) 14、求证 = . 1 tan 3 α + cos(360° ? α ) cos(540° ? α )
15、求值:sin ? ?

11π ? 31π ? ? 10π ? ? -cos ? ? ? -sin 10 ? 6 ? ? 3 ?
2

16、已知 tan(π ? α ) = a ,

| cos(π ? α ) |= ? cos α , 求

1 cos(π + α )

的值。

第 8 课时 单元复习(1)
一、重点、难点剖析 理解正角、负角、零角的概念,会表示终边相同的角,会进行角度制与弧度制的换算, 熟悉任意角三角函数的定义, 掌握三角函数值在各个象限的符号, 会利用同角三角函数间的 基本关系式解决已知一个角的一个三角函数值, 求这个角的其他三角函数值, 能利用诱导公 式求任意角的三角函数值。 二、典型例题
2 ? ?sin(πx ),?1 < x < 0 ,若 f (1) + f ( a ) = 2 ,则 a 的所有可能 (1)函数 f ( x ) = ? 例 1、 、 ?e x ?1 , x ≥ 0 ?

值为



B



A.1

B.1,?

2 2

C. ?

2 2

D. 1,

2 2


(2)已知函数 f ( x ) = sin 2 x ,则下列等式成立的是 A. f ( x + π ) = ? f ( x ) B. f (π ? x ) = f ( x ) D. f ( x + 2π ) = f (2π ? x )

C



C. f ? π ?

? + x ? = ? f (x ) ?2 ?

(3)已知 θ ∈ (0,2π ), sin θ < tan θ < cot θ ,则 θ 的取值范围是 A. (

( D. (

B



π π

, ) 4 2

B. (π , π ) ∪ (0,
2

5 4

π
4

)

C. ( π , π )
2 4

5 4

3 2

π 3

, π) 2 4

例 2、已知 sin θ + sin θ = 1 ,求 3 cos θ + cos θ ? 2 sin θ + 1 的值. 、
2 2 解:Q sin θ + sin θ = 1,∴ sin θ = cos θ ,

∴ 3 cos 2 θ + cos 4 θ ? 2 sin θ + 1 = 3 sin θ + sin 2 θ ? 2 sin θ + 1 = sin θ + sin 2 θ + 1 = 2 。
例 3、sin α 与 cos α 是方程 2 x ? ( 3 + 1) x + m = 0 的两个根,求实数 m。 、
2

解:由已知得:

m = sin α ? cosα 2

(1) 而 sin α + cosα =

3 +1 2

(2)

(2)式平方可得: 1 + 2 sin α ? cosα =

4+2 3 3 3 ,∴ 2 sin α ? cos α = ,即: m = 。 4 2 2

验证知, m =

3 时满足? > 0 。 2 ?π ? 2 cos? ? β ?, 3 cos(? α ) = ? 2 cos(π + β ) , 且 ?2 ?

例 4 、 已 知 sin (3π ? α ) =

0 < α < π ,0 < β < π ,求 α , β 。
解:由已知得 sin α =

2 sin β , 3 cos α = 2 cos β ,平方相加得: 2 π 3π ,Q 0 < α < π ,∴ α = 或 。 2 4 4

sin 2 α + 3 cos 2 α = 2,∴ cos α = ±

由α =

π
4

,得 cos β =

3 π , 又0 < β < π ,∴ β = ; 2 6

由α =

3π 3 5π , 又0 < β < π ,∴ β = ,得 cos β = ? ; 4 2 6

综上, α =

π
4

,β =

π
6

或α =

3π 5π ,β = 即为所求。 4 6

例 5、若关于 x 的方程 2cos2(π + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 、 解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0

1 2 17 ) ? 4 8 1 17 ∵? 1≤sinx≤1 ∴ 当 sin x = ? 时, min = ? a ; 当 sin x = 1时, max = 1 a 4 8 17 ∴a 的取值范围是[ ? , 1] 8
∴ a = 2 sin x + sin x ? 2 = 2(sin x +
2

三、随堂检测 一、选择题 1、下列各式中,与 sinA 相等的是

( C.cos(3600+A)



A.sin(1800-A)

B.cos(1800+A)

D.sin(1800+A)

2、设 k ∈ Z ,下列等式中正确的个数是 ① sin (kπ + α ) = (? 1) sin α
k


k



② cos(kπ + α ) = (? 1) cos α ④ sin (2kπ ? α ) = (? 1) sin α
k

③ tan (kπ + α ) = (? 1) tan α
k

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个 ( )

3、若 cos α = cos(? α + π ) ,则 α 所在的象限为 A.第一象限 C.第二、三象限 4、已知 sin (π + α ) = ? A. cos α = B.第一、四象限

D.第二、三象限或 x 轴的非正半轴上
3 ,则 5 3 4
C. cos α = ? ( )

4 5

B. tan α =

4 5

D. sin (π ? α ) =
( )

3 5

5、下列集合中,不是单元素集合的是 A. { | tan α = 1,0 < α < π } α B. α | tan α = ? 3 ,0 < α < π D. ?α | cos α = ?

{

}

C. ?α | sin α = 1 ,0 < α < π ? ? ?
? 2 ?

? ?

1 ? ,0 < α < π ? 2 ?
( )

6、化简 1 + 2 sin (π ? 2 ) cos(π ? 2 ) 的结果是

A. sin 2 ? cos 2

B. cos 2 ? sin 2
0

C. ± (sin 2 ? cos 2)

D.无法化简 ( )

7、若 cos ? 100 0 = k ,则 tan 80 等于

(

)

A.

1? k 2 k

B. ?

1? k 2 k

C.

1+ k 2 k

D. ?

1+ k 2 k


8、若 sin (π ? α ) = log 8

1 ? π ? ,且 α ∈ ? ? ,0 ? ,则 tan (2π ? α ) = 4 ? 2 ?
B.



A. ?

5 2

5 2

C. ±

5 2

D.

2 5

二、填空题 9、化简

sin (nπ + α ) ? cos(nπ ? α ) 的结果是______________. cos[(n + 1)π ? α ] 4 ,则 sin(7π + α ) =______. 5

10、若 α ∈ { | (2k ? 1)π < α < 2kπ , k ∈ Z }, cos(α ? π ) = ? α

11、若 cos?

?π ? ? 2π ? ? α ? = m, (| m |≤ 1) ,则 sin ? ? α ? 的值等于______________. ?6 ? ? 3 ?
0

12、已知 sin 18 = 三、解答题

5 ?1 0 2 ,则 sin 198 =____________ cos 342 = ___________ 4

π 3π ?α) sin(4kπ ? α ) sin( ? α ) 2 2 2 13、 求证: = π tan(2kπ ? α ) + cot(? kπ + α ) cos(5π + α ) ? cos( + α ) 2 π π 14、 求 cos 2 ( ? α ) + cos 2 ( + α )的值。 4 4
sin( + α ) ? cos(
15、已知 sin β =

π

1 , sin(α + β) = 1, 求 sin(2α + β) 3

16、求证:

cos(kπ ? α) cos(kπ + α) = ?1, k ∈ Z sin[(k + 1)π + α] cos[(k + 1)π + α]

第 9 课时 三角函数的周期性
一、重点、难点剖析 了解周期函数的概念,会识别一些简单的、常见的函数所具有的周期性,会求一些简单 三角函数的周期,重点掌握正弦、余弦、正切函数的周期性,会对照比较周期函数、奇函数、 偶函数的相关性质,正确认识正弦、余弦、正切函数所具有的周期性与奇偶性。 二、典型例题 例 1、求下列三角函数的周期:1° y=sin(x+ 解:1° 令 z= x+ f [(x+2π)+
π
3

π
3

) 2° y=cos2x 3° y=3sin(

x π + ) 2 5

π
3 3

而 sin(2π+z)=sinz ) ∴周期 T=2π

即:f (2π+z)=f (z)

]=f (x+

π

2°令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)] 即:f (x+π)=f (x) ∴周期 T=π 3°令 z=
x π + 则 2 5 x π x + 4π π + +2π)=3sin( + )=f (x+4π) ∴周期 T=4π 2 5 2 5

f (x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(

? ? π ? 3π ? cos x ,? ? ≤ x < 0 ? , 例 2、 设 f(x) 是定义域为 R,最小正周期为 的函数 . 若 f(x) ? = ? 2 ? 2 ? sin x , 0 ≤ x < π ) ( , ?

? 15π ? 则f ? ? ? 等于 ? 4 ?

1 A、

B、

2 2

C、0

D、?

解:Q f (x ) 的周期 T =

3π , 2

2 2

3π ? 3π 2 ? 15π ? ? 15π ? 3π ? ∴ f ?? + 3 × ? = f ? ? = sin = ∴选答案(B) ? = f ?? 2 ? 4 2 ? 4 ? ? 4 ? 4 ?
例 3、如果函数 f ( x ) = sin (πx + θ ), (0 < θ < π ) 的最小正周期是 T,且当 x=2 时取得最 、 大值,则 A. T = 2,θ = 解: T = ( )

π
=

2 2π

B. T = 1,θ = π

C. T = 2,θ = π

D. T = 1,θ =

π
2



ω

π

= 2 ,当 x=2 时, f ( x ) = sin (2π + θ ) 取得最大限度值,∴θ =

π
2



,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期。 例 4、已知 f(x+1)= -f(x) 、 解:由 f(x)= -f(x+1)=f [(x+1)+1]=f(x+2)可得:f(x)是周期函数,其周期为 2。 三、随堂练习 一、选择题 1、关于函数 f ( x ) = sin 3 x + lg

A.不是周期函数
2、函数 y=sin(2x+ A.

π
6

2 的周期问题,正确的是 5 π 2π B.T= C. T = 3 3





D.6 π ( )

)的最小正周期是

π
2

B. π

C.2 π

D.4 π ( )

3、如果 f ( x + π) = f ( x) = f ( ? x ) ,那么此函数是

A.|sinx|
4、函数 y = sin

B.cosx

C.sin2x

D.tanx ( )

x 的最小正周期是 2
B. π

A.

π
2

C. 2π

D. 4π ( )

5、设函数 f ( x) = sin 3x + | sin 3x |, 则f ( x) 为

A.周期函数,最小正周期为 2π
C.周期函数,数小正周期为 2π 6、集合 M = ? x | x = cos

3

B.周期函数,最小正周期为 D.非周期函数 (

π
3

? ?

mπ ? , m ∈ Z ? 的元素个数是 3 ?



A. 2

B.3

C.
π?

4

D. 5

7、已知函数 f ( x) = sin? πx ?

? ?

? ? 1 ,则下列命题正确的是 2?





A. f (x ) 是周期为 1 的奇函数 C. f (x ) 是周期为 1 的非奇非偶函数

B. f (x) 是周期为 2 的偶函数
D. f (x ) 是周期为 2 的非奇非偶函数

二、填空题 8、已知 sin(30?+120?)=sin30?,那么 120?是 y=sinx 的周期,对吗? 9、函数 y=sin(2+ π x)的最小正周期为 10、已知函数 y = 三、解答题 11、求函数 y=sin(-2 π x+4)的最小正周期。 12、若函数 f ( x ) = 2 cos(

.

1 x +π sin ( A > 0) 的最小正周期为 3 π ,则 A= 2 A

kx π + ) ? 7 的最小正周期不大于 2,求正整数 k 的最小值。 4 3

13、已知函数 y=f(x) (x∈R)的图象是连续曲线,且 f(x)不为常数,若 f(x)的图象关 于 x=0 和 x= a(a>0)对称 (1)求证:f(x)= f(2a-x) ; (2)求证 f(x)是周期函数,并求它的一个周期。

第 10 课时 三角函数的图象和性质(1)
一、重点、难点剖析 能借助正弦线画出正弦函数的图象, 并会利用诱导公式画出余弦函数的图象, 利用图象 理解正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性,作三角函数的图象时,为 了使自变量与函数值均为实数,角的大小要用弧度制来度量,坐标轴上的单位要统一。 二、典型例题 例 1、作下列函数的简图 (1)y=sinx,x∈[0,2π], (2)y=cosx,x∈[0,2π], (3)y=1+sinx,x∈[0,2π], (4)y=-cosx,x∈[0,2π], 解:(1)列表 x sinx (2)列表 x cosx 0 1 0 0

π
2
1

π
0

3π 2
-1


0

π
2
0

π
-1

3π 2
0


1

(3)列表 x sinx 1+sinx (4)列表 x cosx -cosx 0 1 -1 0 0 1

π
2
1 2

π
0 1

3π 2
-1 0


0 1

π
2
0 0

π
-1 1

3π 2
0 0


1 -1

例 2、利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的 x 的集合:

(1) sin x ≥

1 2

(2) cos x ≤

1 2

解:作出正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象: 由图形可以得到,满足条件的 x 的集合为: ? π + 2kπ , 5π + 2kπ ?, k ∈ Z ?6 ? 6 ? ? 解:作出余弦函数 y=cos,x∈[0,2π]的图象: 由图形可以得到,满足条件的 x 的集合为: ? π + 2kπ , 5π + 2kπ ?, k ∈ Z ?3 ? 3 ? ?

1 (2)y= cos x sin x 3π 解:(1)由 1+sinx≠0,得 sinx≠-1 即 x≠ +2kπ(k∈Z) 2 3π ∴原函数的定义域为{x|x≠ +2kπ,k∈Z} 2
例 3、求下列函数的定义域: 、 (1)y=1+ (2)由 cosx≥0 得-

π

2

+2kπ≤x≤

π

∴原函数的定义域为[-

π
2

2

+2kπ(k∈Z)

+2kπ,

π
2

+2kπ](k∈Z)

例 4、作出下列函数的图象。 、 (1) y = sin x ; (2) y =

sin x sin x

; (3) y = sin x + sin x 。

解: (1) y = sin x = ?

? sin x, x ∈ [2kπ ,2kπ + π ] (k ∈ Z ) ?? sin x, x ∈ (2kπ ? π ,2kπ )

(2) y =

? 1, x ∈ (2kπ ,2kπ + π ) =? (k ∈ Z ) sin x ?? 1, x ∈ (2kπ ? π ,2kπ ) sin x ?2 sin x, x ∈ [2kπ ,2kπ + π ] (k ∈ Z ) ? 0, x ∈ (2kπ ? π ,2kπ )

(3) y = ? 图象如下: y

y

y

o

x

o

x

o

x

三、随堂练习 一、选择题 1、函数 y=sinx 与函数 y= -sinx 的图象关于 A.x 轴成轴对称





B.y 轴成轴对称

C.原点成中心对称

D.直线 y=x 成轴对称 ( )

2、下列函数中与 y=sinx 是同一函数的是

A. y = cos? π ?

? ?π ? ? 3π ? ? 3π ? ? x ? B. y = cos? + x ? C. y = cos? ? x ? D. y = sin ? + x? ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

3、已知 f ( x ) = sin ? x +

π?

π? ? ?, g ( x ) = cos? x ? ? ,则 f(x)的图象 2? 2? ?





A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称

C.是由 g(x)的图象向左平移
D.是由 g(x)的图象向右平移

π
2

个单位得到的 个单位得到的

π

2

4、已知函数 f ( x ) = x ? sin x, x ∈ R ,则 f ? ?

? π? ?π ? ?, f (1), f ? ? 的大小关系为( ? 4? ?3?
B. f (1) > f ?



A. f ? ?

? π? ? > f (1) > ? 4?

?π ? f? ? ? 3? ?π ? f? ? ?3?

?π ? ?> ?3?

? π? f ?? ? ? 4?

C. f ? ? π ? < f (1) < ? ?
?
4?

D. f ?

?π ? ? π? ? > f ? ? ? > f (1) ?3? ? 4?
( )

5、 cos x < 0, x ∈ [0,2π ] 的解集为

A. ? x | π ?
?
C. ? x |

2

<x<

3π ? ? 2 ? ? ?

B. ? x |

? ?

π
2 ? 2?

≤x≤

3π ? ? 2 ?

? ?

π

? < x < 2π ? 2 ?

D. ? x | 0 < x <

π?

6、函数 y = 2 + sin x, x ∈ (0,4π ] 的图象与函数 y=2 的交点个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个





D.4 个
( )

7、函数 y = sin x + sin x 的值域是 A. [? 1,1] 8、满足 sin(x- B. [0,2]

C. [? 2,2]

D. [0,1]

π 1 )≥ 的 x 的集合是 ( ) 4 2 5 13 1 7 A . {x|2k π + π ≤ x ≤ 2k π + π } B . {x|2k π - π ≤ x ≤ 2k π + π } 12 12 12 12 1 5 1 5 C.{x|2k π + π ≤x≤2k π + π } D.{x|2k π ≤x≤2K π + π 或 2k π + π ≤x 6 6 6 6 ≤2k π + π }
二、填空题 9、函数 y =

9 ? x 2 + lg(1 ? 2 cos x ) 的定义域为_________________.

10、设 f ( x ) = a sin x + b sin 3 x + 1, a, b为常数 ,且 f (5) = 7 ,则 f (? 5) =_________. 11、 y = cos x ? 2 cos x 的值域为_______________. 12 、 已 知 A = ?α | sin α ≤

(

)

? ?

? ? ? 2 2 , α ∈ [0,2π )?, B = ? β | cos β ≤ , β ∈ [0,2π )? , 则 2 2 ? ? ?

A ∩ B =_______________.
三、解答题 13、求下列函数的定义域: (1) y=
1 1 + sin x

(2)y= ? 2 cos x

14、作出下列函数的简图。 (1) y = 1 ? cos x, x ∈ [0,2π ] ; (2) y = sin x ? 2, x ∈ [0,2π ] 。 15、在同一坐标系内分别作出函数 y=sinx 及函数 y=lgx 的图象,利用图象研究方程 sinx=lgx 的实根个数。 16、已知?ABC 为锐角三角形,求证:sinA>cosB

第 11 课时 三角函数的图象和性质(2)
一、重点、难点剖析 正弦函数与余弦函数的性质要借助于图形来认识, “五点法”作正弦函数与余弦函数的 图象能准确地反映图象的变化规律,利用“五点法”可以迅速地作出函数的大致图象,要学 会利用整体代换意识,和数形结合思想研究函数性质。 二、典型例题 例 1、求下列函数的定义域: 、 1° y= 3 cos x ? 1 ? 2 cos 2 x 2° y=lg(2sinx+1)+ 2 cos x ? 1 解:1° ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴
1 π π ≤cosx≤1 ∴定义域为:[2kπ- , 2kπ+ ] 2 3 3

(k∈Z)

π 7π 1 ? ? ?2kπ ? 6 < x < 2kπ + 6 ?sin x > ? 2 π π ?? (k ∈ Z ) ? 2kπ ? < x ≤ 2kπ + (k ∈ Z ) 2° ? 1 π π 6 3 ? cos x ≥ ? 2kπ ? ≤ x ≤ 2kπ + 2 3 3 ? ?
∴定义域为: (2kπ ?

π
6

,2kπ +

π
3

](k ∈ Z )

例 2、求函数 y=-cosx 的单调区间 、 解:由 y=-cosx 的图象可知: 单调增区间为[2kπ,(2k+1)π](k∈Z) 单调减区间为[(2k-1)π,2kπ](k∈Z) 例 3、求下列函数的最值: 、 1° y=sin(3x+

π
4

)-1

2° y=sin2x-4sinx+5

3° y=

3 ? cos x 3 + cos x

解:1° 当 3x+ 当 3x+

π
4

=2kπ+

π
2

即 x=

2kπ π + (k∈Z)时 ymax=0 3 12

π
4

=2kπ-

π
2

即 x=

2kπ π ? (k∈Z)时 ymin=-2 3 4

2° y=(sinx-2)2+1 3° y=-1+

∴当 x=2kπ-

π
2

k∈Z 时 ymax=10 当 x=2kπ+

π
2

k∈Z 时 ymin= 2

1 1 当 x=2kπ+π k∈Z 时 ymax=2 当 x=2kπ k∈Z 时 ymin= 2 3 + cos x 5 3 π 2 例 4、求函数 y=sin x+acosx+ a- (0≤x≤ )的最大值 8 2 2
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解:∵y=1-cos x+acosx+

2

5 3 a 2 a2 5 1 a- =-(cosx- ) + + a- 8 2 2 4 8 2

a a2 5 1 ∴当 0≤a≤2 时,cosx= ,ymax= + a- 2 4 8 2
当 a>2 时,cosx=1,ymax=

13 3 a- 8 2

当 a<0 时,cosx=0,ymax=

5 1 a- 8 2 a 时, 2

说明:解此题注意到参数 a 的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为 cosx= y 有最大值会产生误解 三、随堂练习 一、选择题 1、下列命题正确的是 A.y=sinx 在第一象限是增函数 B.在第二象限内,y=sinx 是减函数,y=cosx 也是减函数
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C.y=cosx 的增区间是 [0, π ]

D.y=sinx 在 ?π , π ? 上是减函数 ? ?
?2 ?
2、函数 y=sin(2x+

5π )图象的一条对称轴方程是 2
B x=-
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( D x=
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)

A

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x=-

π
2

π
4

C x=
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π
8

5π 4
( )

3、函数 y = cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数 A. [ ?

π π

, ] 4 4

B. [

π 3π
4 , 4

]

C. [0, π ]
2

D. [

π
2

,π ]

4、函数 y = 2 sin( A. [0,

π
6

? 2 x)( x ∈ [0, π ]) 为增函数的区间是

π
3

]

B. [

π
12

,

7π ] 12

C. [

π
3

,

5π ] 6

D. [

5π , π] 6
( )

5、函数 f (x ) 是奇函数,那么函数 f (sin x ) 为 A.奇函数 6、在区间(0, A.y=

B.偶函数
π )上是增函数的是 2 1 B.y= ? cos x

C.非奇非偶函数

D.既奇又偶函数 ( )

1 sin x

C.y=-sinx

D.y=-cosx
( D. ? = ? ( D
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7、函数 y = sin ? A. ? = ?π

?1 ? x + ? ? 是偶函数,则 ? 的一个值是 ?2 ?



B. ? = ?
B

π
2

C. ? = ?

π
4

π
8
)

8、函数 y=x-sinx,x∈[0,π]的最大值为 A0
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π
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2

-1


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3π 2 ? 4 2

二、填空题

9、函数 y=3|sinx|-2 的最大值为 10、当函数 y=sinx 与 y=cosx 全部是减函数时,x 的取值范围是 11、函数 y=|sinx|的单调递减区间是 . 12、函数 y = 2 ? cos x 的单调递增区间是 三、解答题 13、求下列函数的定义域: (1) y = .

.

? 2 cos 2 x + 3 cos x ? 1
3 cos x + 1 的值域 cos x + 2

(2) y = lg(2 cos x ? 1) + 36 ? x
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2

14、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4,求 k,b 的值 15、求函数 y=
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16、已知|x|≤

π

4

,求函数 y=cos x+sinx 的最小值

2

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第 12 课时 三角函数的图象和性质(3)
一、重点、难点剖析 能借助于正切线作出正切函数的图象, 认识正切函数的图象特征, 利用图象理解正切函 数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性,正确认识正切函数在每个单调区间内都是单 调递增函数,会利用整体代换与数形结合思想解决与正切函数有关的函数的性质。 二、典型例题 例 1、观察正切曲线,写出满足下列条件的 x 的取值范围。 (1)tanx> 0 (2)tanx<-1 解: (1)画出 y=tanx 在 ? ? 的范围为: 0 < x <

? π π? , ? 上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx> 0 的 x ? 2 2?

π
2

,结合周期性,可知在 x ∈ R ,且 x ≠ kπ +

π
2

时满足条件的 x 的取

值范围为 x ∈ ? kπ , kπ +

? ?

π?

?, k ∈ Z 。 2?

(2) 画出 y=tanx 在 ? ?

? π π? 不难看出在此区间上满足 tanx<-1 的 x 的范围为: , ? 上的图象, ? 2 2?

?

π
2

<x<?

π
4

,结合周期性,可知在 x ∈ R ,且 x ≠ kπ +

π
2

时满足条件的 x 的取值范围

为 x ∈ ? kπ ?

? ?

π
2

, kπ ?

π?

?, k ∈ Z 。 4? ? ?

例 2、求函数 y = tan ? x +

π?

? 的定义域,并讨论它的单调性。 3?

解:由 x +

π
3

≠ kπ +

π
2

, (k ∈ Z ) 得 x ≠ kπ +

π
6

, (k ∈ Z )

π? π ? ? ? ∴ y = tan ? x + ? 的定义域为: ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + , k ∈ Z ? 6 3? ? ? ?
又由在每个区间上是增函数可知:当 kπ ?

π
2

< x+

π
3

< kπ +

π
2

例 3、函数 y=tan2x 是否具有周期性,若具有周期性,则求出最小正周期,若不具有周 期性,则说明理由。 解:由正切的周期计算公式可得: T = 例 4、求函数 y=sin 误解:令u=

1? x π π π ∵y=sinu在[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)上递增 Z 2 2 2 π 1? x π ∴2kπ- ≤ π≤2kπ+ 解得-4k≤x≤-4k+2 2 2 2
∴原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z) Z 分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u= 的减函数,未考虑复合后单调性的变化 正解如下: 解法一:令u= (k∈Z)上为减函数, Z ∴原函数在[2kπ+
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1? x π的单调增区间 2

π π = 。 ω 2
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1? x π,忽视了u是 x 2

1? x π 3π π,则 u 是 x 的减函数又∵y=sinu在[2kπ+ ,2kπ+ ] 2 2 2

3π ](k∈Z)上递增 Z 2 2 π 1? x 3π 设 2kπ+ ≤ π≤2kπ+ 解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z) Z 2 2 2
,2kπ+

π

∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增 Z 解法二:将原函数变形为 y=-sin

x ?1 x ?1 π,因此只需求 y=sin π的减区间即可。 2 2 x ?1 π x ?1 3π ∵u= π为增函数∴只需求 sinu的递减区间∴2kπ+ ≤ π≤2kπ+ 2 2 2 2

解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z) ∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z) Z Z 三、随堂练习 一、选择题 1、函数 tan A. π a

x 的最小正周期为 a





B. π |a|

C.

π a

D.

π |a|

2、在下列函数中同时满足:①在 ? 0,

? π? ? 上递增;②以 2π 为周期;③是奇函数的函数是 ? 2?

A.y=tanx 3、函数 y =

B.y=cosx

C.y= tan

1 x 2

D.y=-tanx ( (

) )

log 1 tan x 的定义域是
2

A. ? x | 0 < x ≤

? ?

π?
? 4?

B. ? x | 2kπ < x ≤ 2kπ +

? ?

π

? ,k ∈ Z? 4 ?

C. ? x | kπ ?
?
4、函数 y =

< x ≤ kπ +

π

? ,k ∈ Z? 4 ?

D. ? x | kπ ?

? ?

π
2

< x ≤ kπ +

π

? ,k ∈ Z? 4 ?
( )

? sin x + tan x 的定义域是

A. (2k + 1)π ≤ x ≤ (2k + 1)π + B. (2k + 1)π < x < (2k + 1)π + C. (2k + 1)π ≤ x < (2k + 1)π +

π π π
2

,k ∈ Z ,k ∈ Z ,k ∈ Z , 或x = kπk ∈ Z
( )

2 2

D. (2k + 1)π
A. ? kπ ?

< x < (2k + 1)π +

π
2

5、函数 y=lg(tanx)的增区间是

? ?

π
2

, kπ +

π?

?, k ∈ Z 2?

B. ? kπ , kπ + π ?, k ∈ Z ? ?
?
2?
D. (kπ , kπ + π ), k ∈ Z ( C. )

C. ? 2kπ ?

? ?

π
2

,2kπ +

π?

?, k ∈ Z 2?

6、函数 y = tan (3πx ) 的最小正周期为

A. 1

3 4 3 π > tan π 7 7

B.

2 3 13 4

6

π

D.

3

π
( )

7、下列不等式中,正确的是 A. tan

B. tan(? π ) > tan(?

12 π ) C. tan 4 < tan 3 D. tan 5 > tan 4 5

8、要得到函数 y=tan2x 的图象,只需把函数 y = tan ? 2 x +

? ?

π?

? 的图象 6?





A.向左平移 C.向右平移

π π
6

个单位 个单位

B.向左平移

π
12

个单位 个单位

6

D.向右平移

π

12

二、填空题 9、不通过求值,比较 tan1350 与 tan1380 的大小为____________ 10、a=tan1 , b=tan2 , c=tan3 , 则 a、b、c 大小关系为

.

11、当 x ∈ [0,2π ] 时,使不等式 tan x ≤
2

3 成立的 x 的集合是_____________ 3

12、设 1 + cos θ = 3 sin θ cos θ ,则 tan θ 的值等于____________ 三、解答题 13、不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0 (1)sin(-

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π
18

)-sin(-
2

π
10

);(2)cos(-
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23π 17π )-cos(- ). 5 4

14、求函数 y=cos x-3sinx 的最大值 2 15、求函数 y=tan x-2tanx+3 的最小值

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16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,函数 F ( x ) = f (tan x ) 。 (1)判断 F ( x ) 的奇偶性并加以证明; (2)方程 F ( x ) = 0 至少有一个实根,加以证明。

第 13 课时 函数的图象(1)
一、重点、难点剖析 理解振幅变换、 周期变换的规律, 会利用计算机或计算器画函数图象, 通过作出 y=2sinx x∈R; y= y=sin
1 x 2 1 sinx 2

x∈R 等函数的图象, 类比出 y=Asinx 的作图规律; 通过作出 y=sin2x

x∈R;

x∈R 等函数的图象, 类比出 y=sinωx 的作图规律; “五点法” 会用 作出函数 y=Asin

(ωx+?)的图象,正确认识“五点法”作图的关健是寻求使函数取最大值、最小值的点以 及曲线与 x 轴的交点。 二、典型例题 例 1、画出函数 y=2sinx x∈R;y= 解:画简图,我们用“五点法” ∵这两个函数都是周期函数,且周期为 2π∴我们先画它们在[0,2π]上的简图 列表:
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1 sinx 2

x∈R 的图象(简图)

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x sinx 2sinx
1 sinx 2

0 0 0 0

π
2

π 0 0 0

3π 2

2π 0 0
1 2

1 2
1 2

-1 -2 -

0

作图

(1)y=2sinx,x∈R 的值域是[-2,2] R 图象可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍而得(横坐标不变) R (2)y=

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1 1 1 sinx,x∈R 的值域是[- , ] R 2 2 2 1 倍而得(横坐标不变) 2
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图象可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的 R

引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.y=Asinx,x∈R(A>0 且 A≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的 2.它的值域[-A, A] 最大值是 A, 最小值是-A 3.若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ,再以 x 轴为对称轴翻折 A 称为振幅,这一变换称为振幅变换
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例 2、画出函数 y=sin2x x∈R;y=sin 解:函数 y=sin2x,x∈R 的周期 T= R

1 x 2

x∈R 的图象(简图)

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2π =π 2
π
3π 2 3π 4

我们先画在[0,π]上的简图,在[0, π]上作图,列表: 2x x y=sin2x 0 0 0

π
2

2π π 0

π
4

π
2

1

0

-1 作图:

函数 y=sin

1 2π x,x∈R 的周期 T= =4π,我们画出[0,4π]上的简图,列表: R 1 2 2
x 2

0

π
2

π

3π 2



x sin
x 2

0 0

π 1

2π 0

3π -1

4π 0

(1)函数 y=sin2x,x∈R 的图象,可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的横坐标缩短到原 R R 来的

1 倍(纵坐标不变)而得到的 2 1 (2)函数 y=sin x ,x∈R 的图象,可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的横坐标伸长到 R R 2
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原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到

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例 3、设有函数 f ( x ) = a sin ? kx +

? ?

π?

π? ? ? 和 ? ( x ) = tan ? kx ? ?, k > 0 ,若它们的最小正 3? 3? ?

周期的和为

3π ?π ? ?π ? ,且 f ? ? = ? ? ? , 2 ?2? ? 2?

?π ? ?π ? f ? ? = ? 3? ? ? + 1 ,求 f ( x ) 和 ? ( x ) 的解析式。 ?4? ?4?

解: f ( x ) 的最小正周期为 依题意知:

2π π , ? ( x ) 的最小正周期为 , k k

2π π 3π π? π? ? ? + = ,解得 k=2,∴ f ( x ) = a sin ? 2 x + ?, ? (x ) = b tan ? 2 x ? ? 。 k k 2 3? 3? ? ?

? ?π ? ?π ? ? ? 4 2π 3 f ? ? = ?? ? ? ? a sin π = b tan ? ? ? ? ? ?2? ? 2? 3 3 2 a = ? 3b Q? ?? ?? 5π π π? π? a ? ? ?a sin ? = ?b + 1 ? f ? ? = ? 3? ? ? + 1 = ? 3b tan + 1 ?2 ? 6 6 ? ? 4? ? ? ?4? ?

?a =1 π π 1 ? 1 ,故 f ( x ) = sin ? 2 x + ?, ? ( x ) = tan ? 2 x ? ? ?? ? ? ? ? 3? 2 ? 3? ? ?b = 2 ?
三、随堂练习 一、选择题 1、如果 y=cosx 是增函数,且 y=sinx 是减函数,那么 x 的终边在 A 第一象限
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( D 第四象限
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)

B 第二象限
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第三象限

2、在[-π,π]上既是增函数,又是奇函数的是

(

)

A

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y=sin

1 x 2

B y=cos
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1 x 2

C y=-sin
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1 x 4

D y=sin2x
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3、函数 y=sin(-2x)的单调减区间是

(

)

A.[

3π + 2kπ ], k ∈ Z 2 2 3π π B.[ + 2kπ , + 2kπ ], k ∈ Z 2 4 + 2kπ ,

π

C.[π + 2kπ ,3π + 2kπ ], k ∈ Z D.[-

π
4

+ kπ ,

π
4

+ kπ ], k ∈ Z

4、要得到 y = sin( 2 x ?

π
3

) 的图象,可将函数 y = sin 2 x 的图象





A.向左平移 C.向左平移

π π
3

个单位 个单位

B.向右平移

π
3

个单位 个单位

5、把函数 y =

1 π sin 3 x 的图象向左平移 个单位,得到函数的解析式为 ( ) 2 6 1 π 1 π 1 1 A. y = sin(3 x + ) B. y = sin(3 x ? ) C. y = cos 3 x D. y = ? cos 3 x 2 3 2 3 2 2
( ) 将 y=sin2x 图象上的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)即可得到 y=sinx 的图象

6

D.向右平移

π
6

6、下列变换中,正确的是

A
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B 将 y=sin2x 图象上的横坐标变为原来的

1 倍(纵坐标不变)即可得到 y=sinx 的图象 2 1 C 将 y=-sin2x 图象上的横坐标变为原来的 倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到 y=sinx 2
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的图象 D 将 y=-3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍,纵坐标扩大到原来的
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1 倍,且变为相反数, 3
( )

即得到 y=sinx 的图象 7、与正弦曲线 y = sin x 关于直线 x = A. y = sin x B. y = cos x
3π 4

对称的曲线是 C. y = ? sin x

D. y = ? cos x
( )

8、函数 y = sin( x +

π

? π π? )在?? , ?上是 2 ? 2 2?
B. 减函数

A. 增函数 二、填空题

C.

偶函数

D. 奇函数

9、若将函数 y = 2 sin 2 x 的图象向上平移

5π 个单位,则可以得到函数________的图象。 6
个单位。

10、要得到函数 y=cosx 的图象,至少要把函数 y=sinx 的图象向左平移 11、函数 y=2cosx 的图象与直线 y=2 在 x ∈ [0,2π] 时围成的图象面积为

12、 f 若 (x) +bx+c对任意实数 x 都有 f =x (1+x) (1-x) 则 f =f , (cos1) f 与 (cos 2 ) 的大小关系是 三、解答题 13、判断正误 ①y=Asinωx 的最大值是 A,最小值是-A.
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2

( (
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) ) )

②y=Asinωx 的周期是



ω

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③y=-3sin4x 的振幅是 3,最大值为 3,最小值是-3

(

14、利用图象变换的原理,说出下列各函数图象可以怎样由函数 y = sin x 的图象得到

(1) y = sin 2 x (3) y = sin( x + (5) y =| sin x | (7) y = sin x + 2

(2) y = 2 sin x

π
3

)

(4) y = ? sin x (6) y = sin | x | (8) y = sin( 2 x ?

π
3

) 1 sin(-2x)的图象. 2

15、用图象变换的方法在同一坐标系内由 y=sinx 的图象画出函数 y=- 16、作函数 y=|sinx|与 y=sin|x|的图象.

第 14 课时 函数的图象(2)
一、重点、难点剖析 理解相位变换的规律,会用“五点法”作出函数 y=Asin(ωx+?)的图象,通过 y=2sinx x∈R、y=

π 1 sinx x∈R、y=sin(x+ ) x∈R、等函数的图象,类比出 y=Asin(ωx+?) 2 3 π
3

的作图规律,会进行变换作图,会根据已知函数图象求函数解析式。 二、典型例题 例 1、画出函数 y=sin(x+ 、 解:列表 x x+ ),x∈R y=sin(x-

π
4

),x∈R 的简图

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π
3
0

π π
6 2
1

π
3

2π 3

π
0

sin(x+

π
3

7π 6 3π 2
–1

5π 3
2π 0

)

0

描点画图:

x x-

π π
4 4
0 ) 0

3π 4

π

5π 4

sin(x–

π
4

2
1

π
0

7π 4 3π 2
–1

9π 4
2π 0

通过比较,发现:

(1)函数 y=sin(x+ 单位长度而得到
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π
3

),x∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动

π
3



(2)函数 y=sin(x-
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π
4

),x∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动

π
4

个单

位长度而得到 一般地,函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点 向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注意讲
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清方向: “加左” “减右”) y=sin(x+ ? )与 y=sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换 称为相位变换 在横线上填写变换方法:
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y=sinx

y=sin(x+ ? ) y=sin ω x

y=sin( ω x+ ? ) y=sin( ω x+ ? )

y = A sin(ωx + ?)

例 2、已知函数 f ( x ) = sin(ωx + ? )(ω > 0,0 ≤ ? ≤ π ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 、

M(

3π π ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和 ω 的值. 4 2
解:Q f ( x ) = sin( ω x + ? ) 是 R 上的偶函数,∴ sin( ?ω x + ? ) = sin (ω x + ? )

∴? =

π
2

+ kπ , k ∈ Z

又Q 0 ≤ ? ≤ π ∴ ? = ∵图象关于点 ?

π
2

∴ f ( x ) = cos ωx

? 3π ? ,0 ? 对称, ? 4 ?

∴ cos

3π 3π π 2 4 ω = 0 ∴ ω = + kπ , k ∈ Z ,∴ ω = + k , k ∈ Z . 4 4 2 3 3 2π 1 π ? π? 上是单调函数,∴ × ≥ ∴ ω ≤ 2. ? ω 2 2 ? 2? 2 或 ω = 2. 3

又∵在区间 ?0,

又∵ ω > 0 ∴ ω =

说明:函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图象的对称性应熟练掌握.

例 3、设函数 f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 、

x=

π
8



(Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调增区间; (Ⅰ)求 ? ; (Ⅲ)画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图像。 分析:本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。 解: (Ⅰ)Q x =

π π
8 2

是函数y = f ( x ) 的图像的对称轴,∴ sin( 2 × , k ∈ Z. Q ?π < ? < 0, ? = ? 3π . 4

π
8

+ ? ) = ±1,



π
4

+ π = kπ +

3π 3π ,因此y = sin( 2 x ? ). 4 4 π 3π π 由题意得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2 kπ + , k ∈ Z . 2 4 2 3π π 5π 所以函数 y = sin( 2 x ? )的单调增区间为[ kπ + , kπ + ], k ∈ Z . 4 8 8 3π (Ⅲ)由 y = sin( 2 x ? )知 4 π 3π 5π 7π π x 0 8 8 8 8
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? = ? y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故函数 y = f ( x)在区间[0, π ]上图像是

三、随堂练习 一、选择题 1、要得到函数 y = sin( 2 x ? A.向左平移

π 个单位 3 π C.向右平移 个单位 3

π ) 的图象,只要将函数 y = sin 2 x 的图象 3 π B.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6





2、函数 y=2sin(

1 π x + )在一个周期内的三个“零点”横坐标是 2 3

(

)

3 3 3 π 11π 23π C. ? , , 6 6 6
3、要得到函数 y = ( )

A. ?

π 5π 11π
, ,

2π 4π 10π , , 3 3 3 π 2π 5π D. ? , , 3 3 3 B. ?
2 cos x 的图象,只需将函数 y = 2 sin(2 x +

π
4

) 的图象上所有的点的

A.横坐标缩短到原来的

1 π 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 π ,再向右平行移动 个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 2 4

C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动
D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动

π

π

4

个单位长度 个单位长度 )

8

4、函数 y = sin(ωx + ? )( x ∈ R ,ω > 0,0 ≤ ? < 2π ) 的部分图象如图,则 ( A. ω =

π
2

,? =

π
4

C. ω =

π
4

,? =

π
4

6 5π D. ω = , ? = 4 4

B. ω =

π π
3

,? =

π

5、函数 y = A sin(ωx + ? )(ω > 0, ? <

π
2

, x ∈ R ) 的部分图象如图所示,则函数表达式为( )

A. y = ?4 sin(

π π π π x + ) B. y = 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 π π π π C. y = ?4 sin( x ? ) D. y = 4 sin( x + ) 8 4 8 4 2 2

6、已知函数 y =tan A.0 <

π π ωx 在(- , )内是减函数,则

( D. ω ≤ -1 ( )



ω ≤1

B.-1 ≤ ω
π

<0

C. ω ≥ 1

7、不是函数 y = sin( x + A. [ ?

3π π , ] 4 4

) 的单调区间的是 4 5π 7π π B. [ , ] C. [ ? ,0] 4 4 2

D. [0,

π
2

]

8、设 y = f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ≤ t ≤ 24 .下表 是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y = f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin(ωt + ? ) 的图象.下面

的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( t ∈ [0,24] )





A.

y = 12 + 3 sin

π
6

t t

B. y = 12 + 3 sin( D. y = 12 + 3 sin(

π π
6

t +π) t+

C. y = 12 + 3 sin 二、填空题

π

π
2

12

12

) π ) 的图象,再把 3
倍而得到函数

9、把函数 y=sinx 的图象向 函 数 y = sin( x +

平移

个单位得到函数 y = sin( x + 到原来的

1 π y = sin( x + ) 2 3

π ) 图象上各点横坐标 3

10、要得到函数 y = sin( ?2 x + 3) 的图象,只要把函数 y = ? sin 2 x 的图象向 个单位. 11、 若函数 y=asinx+b (a<0 ) 的最小值为-

平移

1 3 , 最大值为 , a、 的值分别为________ 则 b 2 2 12、函数 y=3sin(2x+φ)(0<φ<π ) 为偶函数,则φ=
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三、解答题 13、若对任意实数 a,函数 y=5sin(

π 5 2k + 1 πx- )(k∈N)在区间[a,a+3]上的值 出 N 3 6 4 π
8
对称,求 a 的值.

现不少于 4 次且不多于 8 次,求 k 的值。 14、若函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

15、如果函数 y = A sin(ωx + ? ) (A>0, ω >0,0< ? < π ) 的最小值为-2,周期为 ,求此函数的解析式. 并且经过点(0,- 2 )

2π , 3

16、已知函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图形的一个最高点为(2, 2 ) ,由这个最高点到相邻的 最低点时曲线经过(6,0) ,求这个函数的一个解析式.

第 15 课时 三角函数的应用
一、重点、难点剖析 能把实际问题中所涉及到的三角函数问题通过建立三角函数模型加以揭示, 如: 简谐运 动的物体对平衡位置的位移 x 和时间 t 之间满足函数关系式 x=Asin(ωt+?) ,物理中的单摆 运动、波的传播、交流电等,是常生活中的潮汐运动、气温变化等都可以用三角函数图象来 揭示其变化规律。 二、典型例题 电流强度 (安培) I 随时间 t 变化的函数 I=Asin ωt + ? ) ( 例 1、 、

的图象如图所示,则当 t = A.0 安培 C.-10 安培

7 (秒)时的电流强度是 ( 120



B.10 安培 D.5 安培

4 1 1 1 ? = ,∴ T = . 300 300 100 50 2π 1 1 π π = 则: ,∴ ω = 100π ,由 100π ? + ? = 可知 ? = 。 300 2 6 ω 50
解:依题意得:A=10, T =

1 2

7 π? π? ? ? 时,据 I = 10 sin ?100πt + ? ∴ I = 10 sin ?100πt + ? 。当 t = 120 6? 6? ? ?
例 2、如图是半径为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 米.已 、 知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮上一点 P 到水面的距离 Y(米)与时 间 X ( 秒 ) 满 足 函 数 关 系 ( 式 ) D. ω = 15 , K = 5 2π

y = K sin (ωx + φ ) + 2(ω > 0, K > 0, φ ∈ R ) ,则有
A. ω = 2π , K = 3 15 B. ω = 15 , K = 3 2π
15

C. ω = 2π , K = 5

例 3、如图,在直径为 1 的圆 O 中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中 、

y > x > 0.
(Ⅰ)将十字形的 S 面积表示为 θ 的函数; (Ⅱ)当 θ =

π
3

时,求十字形的面积。

解: (Ⅰ)设 S 为十字形的面积,则 S = 2 xy ? x 2

= 2 sin θ cos θ ? cos 2 θ (
(Ⅱ) S = f ?

π
4

<θ <

π
2

).

π π 3 1 ?π ? 2 π = ? ? = 2 sin cos ? cos 3 3 3 2 4 ?3? π
4 <θ <

答: (1) S = 2 sin θ cosθ ? cos 2 θ ( (2)十字形的面积 S =

π
2

).

3 1 ? 。 2 4
1.5 米

例 4、一条直角走廊宽 1.5 米,如图所示,现有一转动灵 活的手推车,其平板面的矩形宽为 1 米,问要想顺利推过直角 走廊,平板车的长度不能超过多少米? 1.5 米

平板车

解:如图,延长 AB 交直角走廊于 A1、B1,设∠CDE1=θ,则 π ∠B1A1E1=θ,θ∈(0, ), 2 1 1 ∵CD=AB=A1B1-AA1-BB1,而 A1B1=1.5( + ), sinθ cosθ AA1=cotθ,BB1=tanθ, 3(sinθ+cosθ)-2 1 1 ∴CD=1.5( + )―cotθ―tanθ= sinθ cosθ 2sinθcosθ 3t-2 3 1 令 sinθ+cosθ=t,则 t∈(1, 2]。令 f(t)= 2 = + t -1 t+1 t2-1 π 则当 t= 2时,两项均取得最小值,即θ= 时,f(t)min=3 2-2 4 即 CDmin=3 2-2,故平板车的长度不能超过 3 2-2 米 三、随堂检测 一、选择题 2 1、已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm ,则扇形的中心角是弧度数是 A. 1 B. 4 A1 A θ B θ 1 1 D θ E1 B1 E C





C.

1或4

D. 2 或 4

2、若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sinα<0,又 P(m,n)是α终边上一点,且 │OP│= 10 ,则 m-n= ( B. –2 C. 4 D. –4 ( D.- ) )

A.

2

3、将分针拨慢 10 分钟,则分针转过的弧度数是

A. π

3

B.-

π
3

C.

π
6

π
6
( )

4、对于函数 f ( x) = ?

?sin x, sin x ≥ cos x , 则下列正确的是 ?cos x, sin x < cos x

A.该函数的值域是[-1,1] B.当且仅当 x = 2kπ +

π
2

(k ∈ Z ) 时,该函数取得最大值 1 3π (k ∈ Z )时f ( x) < 0 2
, ] 上是增函数,那么 3 4 24 C. 0 < ω ≤ D. ω ≥ 2 7


C.当且仅当 2kπ + π

< x < 2kπ +

D.该函数是以π为最小正周期的周期函数 5、ω是正实数,函数 f ( x ) = 2 sin ωx 在 [ ? A. 0 < ω ≤

π π





3 2

B. 0 < ω ≤ 2

6、已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x) 的图象如图 4—1 所示, 那么不等式 f x) x<0 的解集是 ( cos (

图 4—1

A.(0,1)∪(2,3)

B.(1,

π
2

)∪(

π
2

,3)

C.(0,1)∪(

π
2

,3) D.(0,1)∪(1,3)

7、已知函数 y=2cosx,x∈[0,2π]和 y=2 的图象围成一个封闭的平面图形,这个封闭的图形的 面积是 ( ) A.2 B.4 C.2π

D.4π

8、2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是 由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直 角三角形中较小的锐角为 θ ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积 是

1 , 则 sin 2 θ ? cos 2 θ 的值等于 25 24 A.1 B. ? 25
二、填空题

( C.



7 25

D. -

7 25

9、设 f ( x) = m sin(πx + α 1 ) + n cos(πx + α 2 ) ,其中 m、n、 α 1 、 α 2 都是非零实数,若

f (2001) = 1, 则 f (2006) =

.

10 、 电 流 强 度 I ( 安 ) 随 时 间 t ( 秒 ) 变 化 的 函 数 I= A ? sin(ωt +

π
6

)( A > 0, ω ≠ 0) 的图象如图所示,则当 t =
安.

1 秒 50

时,电流强度是

11、在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射 向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为 120°,若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应 为 12、函数 y = sin( 2 x + 三、解答题 13、绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆 时针方向每分钟匀速旋转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm? 14、扇形 AOB 的中心角为 2θ ,半径为 r ,在扇形 AOB 中作内切圆 O1 及与圆 O1 外切,与 m(精确到 0.1m).

5π ) 的图象的一条对称轴方程是______________. 2

OA, OB 相切的圆 O2 ,问 sin θ 为何值时,圆 O2 的面积最大?最大值是多少?
15、如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=a,∠ABC= θ ,设△ABC 的 面积为 S1,正方形的面积为 S2.用 a, θ 表示 S1 和 S2;

16、弹簧挂着的小球作上下振动,它在时间 t(秒)内离开平衡位置(就是静止时的位置) 的距离 h(cm)由下列函数关系决定:h=3sin(2t+

π
4



(1)以 t 为横坐标,h 为纵坐标作出函数的图象(0≤t≤π) ; (2)求小球开始振动时的位置; (3)求小球上升到最高点和下降到最低点时的位置; (4)经过多少时间,小球往返振动一次? (5)每秒钟内小球能往返振动多少次?

第 16 课时

单元复习(2)

一、重点、难点剖析 会用与单位圆有关的的三角函数线画出正弦函数、 正切函数的图象, 在此基础上由诱导 公式画出余弦函数的图象, 理解周期函数与最小正周期的意义, 通过它们的图象理解正弦函 数、 余弦函数、 正切函数的性质, “五点法” 会用 画正弦函数、 余弦函数及函数 y=Asin (ωx+?) 的简图,理解 A、ω、?的物理意义。 二、典型例题 例 1、关于函数 f(x)=4sin(2x+

π )(x∈R),有下列命题: 3

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得:x1-x2 是 π 整数倍;②f(x)的表达式可以改写为 y=4cos(2x- ③f(x)的图象关于点(-

π ,0)对称; 6
(3) .

④f(x)的图象关于直线 x=-

π 对称 6

π ); 6

其中正确命题的序号是

例 2 、 如 果 实 数 x 、 y 满 足 | tan x | + | tan y |>| tan x + tan y |, 且y ∈ (π ,

3π ), 则 2


| tan x ? tan y | 等于
A. tan x ? tan y C. tan x + tan y 例 3、已知函数 f ( x) = ? (1)若 f ( x) =



B. tan y ? tan x
D. | tan y | ? | tan x |

?cos x, (? π ≤ x < 0 ) ?sin x, (0 ≤ x ≤ π )

1 ,求 x 的值; 2

(2)若 a 为常数,且 a ∈ R ,试讨论方程 f ( x ) = a 的解的个数。 解: (1) x = ?

π
3

或x =

π
6

或x =

5π ; 6
② ? 1 ≤ a < 0时一解 ; ④ a = 1时二解 。
2

(2)① a < ?1或a > 1时无解 ; ③ 0 ≤ a < 1时三解 ;

(-1, 上是减函数, 1) 并且满足 f (1 ? sin α ) + f (1 ? sin α) < 0 例 4、 奇函数 f (x ) 在 如果 α ∈[0,2 π ],求实数 α 的取值范围. 解: f (1 ? sin α ) + f (1 ? sin 2 α ) < 0 ? f (1 ? sin α ) < f sin 2 α ? 1

(

)

∴ sin 2 α + sin α ? 2 < 0 ? ?2 < sin α < 1
又Q ?

? ? 1 < 1 ? sin α < 1 2 ?? 1 < sin α ? 1 < 1

? π ? ?π ? ∴ 0 < sin α < 1∴α ∈ ? 0, ? ∪ ? , π ? 。 ? 2? ?2 ?

三、随堂检测 一、选择题 1、若 f (π + x) = f ( ? x) ,且 f ( ? x) = f ( x) ,则 f ( x) 可以是 A. sin x B. cos x C. sin | x | ( )

D. | sin x |


2、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( A.f(sin

π
6

)<f(cos

π
6

) B.f(sin1)>f(cos1) C.f(cos

3、 有下列结论: ⑴正切函数是增函数 ⑵正弦函数在第一象限为增函数 ⑶余弦函数在[0,π ] 上是减函数 ⑷余切函数是减函数.其中正确的命题有 ( )

2π 2π )<f(sin ) 3 3

D.f(cos2)>f(sin2)

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

4、为了使函数 y = sin ωx(ω > 0) 在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小值是 A. 98π

B.

197 π 2

C.

199π 2

D. 100π





5、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数。若 f ( x) 的最小正周期是 π ,且当

x ∈ [0 ,
A. ?

π
2

] 时, f ( x) = sin x ,则 f (
B.

5π ) 的值为( 3
C. ?



1 2

1 2

3 2

D.
π
2

3 2

6、在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos θ ), B (sin θ ,1),θ ∈ (0,

] ,则当△OAB 的面积达

A.

π

最大值时, θ =

( B.



π
4

6

C.

π
3

D. π

2

7、已知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) 为偶函数 (0 < ? < π ) ,其图象与直线 y = 2 相邻的两个交点 的横坐标分别为 x1 , x 2 ,且 | x1 ? x 2 |= π ,则 ( C. ω = )

A. ω = 2, ? =
8、函数 y

π
2

B. ω =

1 π ,? = 2 2

1 π ,? = 2 4

D. ω = 2, ? =

π
4

= sin(ω ? x + ? ) + 1 的一段图象如图所示,
) B. T = 2π , ? = ? 7 π 12 D. T = π , ? = ?

则它的一个周期 T,初相 ? 依次为(

7 A. T = 2π , ? = ? π 6

C. T = π , ? = ? π
二、填空题

7 6

7 π 12
.

9、函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],那么函数 f (sin x ) 的定义域为

10、 函数 f ( x) = sin x + 2 | sin x |, x ∈ [0,2π ] 的图象与直线 y = k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是__________。 1 < k < 3 π 11、设ω>0,若 f(x)=2sinωx 在区间[0, ]上单调递增,则ω的取值范围是 4 .

12、 已知函数 f ( x ) = 2 sin(3 x + θ ), x ∈ [ 2α ? 5π ,3α ] 为奇函数, 其中 θ ∈ (0,2π ) , α ? θ 则 的值是 三、解答题 13、判断函数 f ( x ) = sin( 2 x ? 14、求函数 f (x ) =lg[ sin( .

π ? 2 x) ]的单调区间. 4

π π ) ? sin(2 x + ) 的奇偶性. 4 4

15、若 f ( x ) = a tan 3 x ? b sin 3 x + cx + 7 且 f (1) = 14 ,求 f (?1) . 16 、 设 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y = f (x ) 是 减 函 数 , 若 当 0 ≤ θ ≤

π
2

时,

f (cos 2 θ + 2m sin θ ) + f (?2m ? 2) > 0 ,求 m 的取值范围.

三角函数单元自我检测( 三角函数单元自我检测(一)
一、选择题 1、在 0°到 360°范围内,与 2903°角终边相同的角是 A. 13° ( D. 25° )

B.

23°

C. 20°

2、下列说法正确的是





A.1 弧度角的大小与圆的半径无关
C.圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等 3、已知 sin

B.大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 D.用弧度表示的角都是正角 ( )

θ 3 θ 4 = , cos = ? ,则角 θ 终边所在象限是 2 5 2 5

A.第三象限

B.第四象限

C.第三或第四象限

D.以上都不对

4、若 α , β 在同一象限内,且不等式 tan α < tan β , sin α < sin β , cos α < cos β 同时成立, 则 α , β 所在象限为 A.第一象限 ( )

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 ( D. )

5、已知锐角 α 终边上一点的坐标为( 2 sin 3,?2 cos 3), 则 α = A. π ? 3 6、函数 y = sin( x + B.3

C.3-

π
2

π
2

-3

π

? π π? )在?? , ?上是 2 ? 2 2?

(

)

A. 增函数

B. 减函数

C.

偶函数

D. 奇函数 ( )

7、曲线 y = sin(2 x ? A. x = ?

π
6

) 的一条对称轴是 5π 6
C. x = ?

5π 6

B. x =
π
2

7π 12

D. x =

7π 12
( )

8、若 α , β ∈ (0, A. α < β

) ,且 sin α ? cos β < 0 , 则
B. α > β

C. α + β <

π
2

D. α + β >

π
2

9、如果函数 f ( x ) = sin(πx + θ )(0 < θ < 2π ) 的最小正周期是 T,且当 x = 2 时取得最大值, 那么 ( )

A. T

= 2,θ =

π
2

B. T = 1,θ = π

C. T = 2,θ = π

D. T = 1,θ =

π
2

10、已知奇函数 f ( x ) 在[-1,0]上为单调递增函数,且 α 、 β 为锐角三角形的内角,则 ( )

A. f( cos α) > f( cos β ) B. f (sinα ) > f (sin β ) 11、函数 y = log 1 sin( 2 x +
2

C. f (sinα ) > f (cos β )

D. f (sin α ) < f (cos β ) ( )

π
4

) 的单调减区间为

A. (kπ ?

π
4 3

, kπ ]

(k ∈ Z )

B. ( k π ?
D. (kπ +

π
8

, kπ +

π
8 3

]

(k ∈ Z )

C. (kπ ? π , kπ + ] 8 8

, kπ + π ] (k ∈ Z ) 8 8 12、函数 f(x)的部分图象如下图所示,则 f(x)的解析式可以是 (k ∈ Z )

π

π





A. f ( x ) = x + sin x

B. f ( x ) =

cos x x

C.

f ( x ) = x cos x

D. f ( x ) = x· ( x ?

π
2

)·( x ?

3π ) 2

二、填空题 13、若 α 是第四象限角,则 π ? ___________. 15、函数 y=sin x+2cosx 在区间 [ ? π , α ] 上的最小值为 ?
2

α

2 14、已知 α 的终边经过点 (3a ? 9, a + 2) ,且 sin α > 0, cos α ≤ 0 ,则 a 的取值范围是 2 3 1 ,则 α 的取值范围是 4


是第 __________ 象限角。

16、关于函数f(x)=4sin(2x+

π ) x∈R) ( ,有下列命题:? 3 π ); 6

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x- ③y=f(x)的图象关于点(-
π ,0)对称; 6 π 对称. 6

④y=f(x)的图象关于直线x=其中正确的命题的序号是 三、解答题 17、化简(1) sin(α ? 18、已知 tan θ = ?

?(注:把你认为正确的命题的序号都填上.)

π

) + cos(α + ) ; 4 4

π

3 2 ,求 2 + sin θ cos θ ? cos θ 的值。 4

19、化简:

sin? [α + (2n + 1)π ] + 2 sin? [α ? (2n + 1)π ] (n ∈ Z ) sin(α ? 2nπ ) cos(2nπ ? α )
? π? 内有解,求 a的取值范围. ? 2? ?

20、 若方程 cos 2 x ? sin x + a = 0在? 0,

21、设函数 f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 x = (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调增区间.

π
8



三角函数单元自我检测( 三角函数单元自我检测(二)
一、选择题 1、sin2005°= A.sin25° 2、已知 sinα= B.cos25° ( )

C.-sin25°

D.-cos25° ( )

A.

-

4 3

4 , 并且α是第二象限角, 那么 tanα的值为 5 3 3 4 B. C. D. 4 4 3

3、要得到函数 y = ? cos 2 x 的图象可以将 y = sin 2 x 的图象 A.向左平移

( D. 向右平移



3π 2

B.向右平移

3π 2

C.

向左平移

3π 4

3π 4

4、已知集合 E = { | cos θ < sin θ ,0 ≤ θ ≤ 2π }, F = { | tan θ < sin θ },那么E∩F为区间 θ θ

A.

(

π ,π) 2

B. (

π 3π , ) 4 4

C. (π,

3π ) 2

D. (

3π 5π , ) ( 4 4

) )

5、ω是正实数,函数 f ( x ) = 2 sin ωx 在 [ ?

A. 0 < ω ≤

3 2

B. 0 < ω ≤ 2

, ] 上是增函数,那么 3 4 24 C. 0 < ω ≤ D. ω ≥ 2 7
B.最小正周期为 2π的偶函数

π π



6、函数 f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|是





A.最小正周期为 2π的奇函数
C.最小正周期为π的奇函数 7、已知 sin θ = A.

D.最小正周期为π的偶函数 )

4 ? 2m m?3

m?3 4 ? 2m π , cos θ = ( <θ <π ) ,则 tan θ = ( m+5 m+5 2 m?3 5 3 5 B. ± C. ? D. ? 或 ? 4 ? 2m 12 4 12

8、下列函数中同时具有①最小正周期是π;②图象关于点(

π

6

,0)对称这两个性质的是 ( )

A.y=cos(2x+ π )
6
9、对于函数 f ( x) = ?

B.y=sin(2x+

π
6

) C.y=sin(

x π π + ) D.y=tan(x+ ) 2 6 6
( )

?sin x, sin x ≥ cos x , 则下列正确的是 ?cos x, sin x < cos x

A.该函数的值域是[-1,1]

B.当且仅当 x = 2kπ +

π
2

(k ∈ Z ) 时,该函数取得最大值 1 3π (k ∈ Z )时f ( x) < 0 2

C.当且仅当 2kπ + π

< x < 2kπ +

D.该函数是以π为最小正周期的周期函数 10、已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x) ( cos ( 的图象如图 4—1 所示, 那么不等式 f x) x<0 的解集是 A.(0,1)∪(2,3) B.(1,



π
2

)∪(

π
2

,3)

C.(0,1)∪(

π
2

,3)

D.(0,1)∪(1,3) ( )

11、下列命题中正确的是

A.将函数 y = cos x 的图象沿 x 轴正向平移
B.将函数 y = sin x 的图象沿 x 轴正向平移

π
2

个单位,可得 y = sin x 的图象 个单位,可得 y = cos x 的图象

π

2

C.将函数 y = sin ( x + ? ) 的图象可由下列步骤得到:当 ? < 0 时,将 y = sin x 的图象向左 平移 ? 个单位 D.将函数 y = sin ? 2 x + ?

?

π π? ? 的图象可由 y = sin 2 x 的图象向左平移 3 个单位得到 3?
( )

12、函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在 [? 2π ,2π ] 上交点的个数是 A.3 个

B.5 个

C.7 个

D.以上都不对

二、填空题 13、设(2cosx-sinx) (sinx+cosx-3)=0,则 cos2x 的值为 14、 已知 sin θ ? cosθ =

.

1 π π ,且 < θ < ,则 cosθ ? sin θ的值为 8 4 2
1 5

15、已知sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π) ,则 tan θ 的值是 16、若 x = 三、解答题 17、已知 sin θ + sin θ = 1 ,求 3cos θ + cos θ ? 2sin θ + 1 的值.
2 2 4

. .

π
3

是方程 2 cos( x + α ) = 1的解 , 其中 α ∈ ( 0 , 2 π ), 则 α =

18、若

1 + cos x 1 ? cos x 2 ? =? , 求角 x 的取值范围。 1 ? cos x 1 + cos x tan x
1 + tan(θ + 720°) = 3 + 2 2 ,求: 1 ? tan(θ ? 360°)

19、已知

[cos 2 (π ? θ ) + sin(π + θ ) ? cos(π ? θ ) + 2 sin 2 (θ ? π )] ?

1 的值 cos (?θ ? 2π )
2

新疆 王新敞
奎屯

2 20、已知定义在区间 [ ? π , π ] 上的函数 y = f (x) 的图象关于直线 3 π 2 π x = ? 对称,当 x ∈ [ ? , π ] 时,函数 6 6 3
f ( x) = A sin(ωx + ? ) ( A > 0 , ω > 0 , ?

y
1

π
2

<? <

π
2

),

?

其图象如图所示.

? π

?

o
x=?

π
6

2π 3

?

x

2 (1)求函数 y = f ( x) 在 [ ? π , π ] 的表达式 3
(2)求方程 f ( x) =
2

2 的解. 2

21、 已知函数y = sin x + a sin x ?

1 (a为常数,且a < 0) 求函数的最小值。 2


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