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1.4全称量词与存在量词 1.4.3含有一个量词的命题的否定


1.4.3

含有一个量词的命题的否定

整体设计 教材分析 本节内容重在让学生通过数学中的一些实例,探究并归纳出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律, 并在教师引导下,让学生根据全称量词和存在量词的含义,用 简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定,通过例题和习题的教学,进一步使学生 能够根据含有一个量词的命题与它们的否

定在形式上的变化规律,正确地对含有一个量词的 命题进行否定. 课时分配 1 课时 教学目标 知识与技能 1. 通过探究数学中的一些实例, 使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命 题在形式上的变化规律. 2. 通过例题和习题的教学, 使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上 的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定. 过程与方法 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 情感、态度与价值观 在学习新知的过程中,培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质. 重点难点 教学重点:通过探究,了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,会 正确地对含有一个量词的命题进行否定. 教学难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定. 教学过程 引入新课 提出问题 回顾我们在 1.3.3 中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识,对给定的命题 p,如何得到 命题 p 的否定(即非 p ),它们的真假性之间有何联系? 活动设计:学生自由发言.教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表, 并完成表格. 活动结果:对命题“p”全盘否定后得到命题“非 p”,而“非 p”的真假与命题“p”的真假 相反. 多媒体展示:常用的一些词语和它的否定词语对照表如下: p且q 否定 设计意图:复习逻辑联接词“非”的相关知识,并引出含一个量词的命题的否定. 探究新知 提出问题 1:判断下列命题是全称命题还是特称命题,你能写出它们的否定命题吗? (1)所有的矩形都是平行四边形;
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p或q



>





都是

任意

所有 的

至多 一个

至少 有一 个

(2)每一个素数都是奇数; (3) x∈R,x2-2x+1≥0;

(4)有些实数的绝对值是正数; (5)某些平行四边形是菱形; (6) x∈R,x2+1<0. 活动设计:用时 10 分钟,学生独立思考,小组内部讨论,最后把以上命题的否定命题 形成书面形式,由小组代表答出讨论结果,由其他同学修正补充. 活动成果:前三个命题都是全称命题,即具有形式“ x∈M,p(x)”.

其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行 四边形; 命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数; 命题(3)的否定是“并非 x∈R,x2-2x+1≥0”,也就是说, x∈R,x2-2x+1<0;

后三个命题都是特称命题,即具有形式“ x∈M,p(x)”; 其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”; 命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”; 命题(6)的否定是“不存在 x∈R,x2+1<0”,也就是说, x∈R,x2+1≥0.

提出问题 2:你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗? 活动设计:在学生独立思考的基础上,自由发言,教师对问题进行补充、归纳、总结. 活动结果:从命题的形式上看,前三个全称命题的否定都变成了特称命题;后三个特称 命题的否定都变成了全称命题. (板书)一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 p: x∈M,p(x),它的否定 p: x0∈M, p(x0); x∈M, p(x).

特称命题 p: x0∈M,p(x0)=,它的否定 p:

即全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 理解新知 提出问题:写出命题“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”的否命题 及命题的 ... ... 否定 . 并思考:命题的否定与否命题有什么区别? .. . 活动设计:学生独立思考,小组内讨论,形成统一意见. 活动成果:否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; 命题的否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但它的四条边中至少有两条不相等. 由此可见命题的否定与否命题的区别:其一:若命题为“若 p,则 q”,其否命题为“若 p,则 q”,其命题的否定:“若 p,则 q”;其二:原命题与其命题的否定不可同真同 假,即原命题真,其否定命题假;原命题假,其否定命题真;而否命题与其原命题的真假没 有关系. 设计意图:复习巩固否命题的概念,进一步认识命题的否定与否命题的区别,以防学生 混淆概念. 运用新知 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假,写出这些命题的否定:
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(1)三角形内角和为 180° ; (2)每个二次函数的图象都开口朝下; (3)存在一个四边形不是平行四边形. 思路分析:首先分清是全称命题还是特称命题,然后写成 x∈M,p(x)或 x∈M,p(x)

的形式,再进一步做出否定. 解:(1)是全称命题且为真命题.命题的否定:存在一个三角形其内角和不等于 180° ; (2)是全称命题且为假命题.命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不朝下; (3)是特称命题且为真命题.命题的否定:所有四边形都是平行四边形. 点评: 含有一个量词的命题的否定要 “改变条件, 否定结论”“改变”是指将 改成 , 改成 ;“否定”是指对结论语句的全盘否定.命题的真假性可以通过其否定命题的真假 来判断原命题的真假. 巩固练习 1.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ) 3 2 A.不存在 x∈R,x -x +1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 2 C. 存在 x0∈R,x3 0-x0+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 2.已知命题 p: ∈R,sinx≤1,则( ) A. p: x0∈R,sinx0≥1 B. p: x0∈R,sinx0≥1

C. p: x0∈R,sinx0>1 D. p: x∈R,sinx>1

答案:1.C 2.C 变练演编 1.命题 x∈R,x2-x+3>0 的否定是________.

2.命题 x∈R,x2-x+3>0 的否定是________. 思路分析:特称命题的否定是一个全称命题,全称命题的否定是一个特称命题.否定时 存在量词变为全称量词,全称量词变为存在量词. 答案:1. 2. x0 ∈R,x2 0 -x0 + 3≤0

x∈R,x2-x+3≤0

点评:符号语言精而准,用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功. 达标检测 1.“至多有三个”的否定为( ) A.至少有三个 B.至少有四个 C.有三个 D.有四个 2.“三个数 a,b,c 不全为 0”的否定是( ) A.a,b,c 都不是 0 B.a,b,c 至多一个是 0 C.a,b,c 至少一个是 0 D.a,b,c 都是 0
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3.“奇数是质数”的否定是________. 4.“任意的 x∈Z,若 x>2,则 x2>4”的否定是________. 5.“ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根”的否定是________. 答案:1.B 2.D 3.存在奇数不是质数 4. x0∈Z,虽然 x0>2,但 x2 0≤4 2 5.ax +2x+1=0 没有负的实根 课堂小结 知识收获:(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念. (2)要说明一个全称命题是错误的,实际上是对这个全称命题进行否定. 要说明一个特称命题是错误的,实际上是对这个特称命题进行否定. (3)全称命题与特称命题的关系: 全称命题 p: 命题. 特称命题 p: x0∈M,p(x0)的否定是 p: x∈M, p(x);即特称命题的否定是全称 x∈M,p(x)的否定是 p: x0∈M, p(x0);即全称命题的否定是特称

命题. 方法收获:程序化. 思维收获:由一般到特殊、转化思想. 布置作业 (1)教学反思:如何写出含有一个量词的命题的否定,原先的命题与它的否定在形式上有 什么变化? (2)作业:课本习题 1.4 A 组 第 3 题, B 组(1)(2)(3)(4). 补充练习 基础练习 1.命题“存在 x0∈Z,使 x2 ) 0+2x0+m≤0”的否定命题是( 2 A.存在 x0∈Z,使 x0+2x0+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 C.对于任意 x∈Z,都有 x2+2x+m≤0 D.对于任意 x∈Z,都有 x2+2x+m>0 2.下列语句是特称命题的是( ) A.整数 n 是 2 和 5 的倍数 B.存在整数 n,使得 n 能被 11 整除 7 C.若 3x-7=0,则 x= 3 D. x∈M,p(x)

3.下列全称命题中是真命题的个数是( ) ①所有偶数都能被 2 整除;②所有奇数都能被 3 整除;③任意实数的平方都不小于 0. A.0 B.1 C.2 D .3 4.全称命题“ a∈Z,a 有一个正因数”的否定是________.

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5.特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________. 答案:1.D 2.B 3.C 4. a0∈Z,a0 没有正因数 5.每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习 6.下列四个命题: p1: 1 1 x∈(0,+∞),( )x<( )x, 2 3 1 1 p2: x∈(0,1), log x>log x 2 3 1 1 1 x∈(0, ),( )x<log x 3 2 3

1 1 p3: x∈(0,+∞),( )x>log x, p4: 2 2

其中的真命题是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 7.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( ) A.不存在 x0∈R, 2x0>0 B.存在 x0∈R, 2x0≥0 x C.对任意的 x∈R, 2 ≤0 D.对任意的 x∈R, 2x>0 答案:6.D 7.D 设计说明 通过探究数学中的一些实例,教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题 的否定,让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.这种教 师有目的地进行创设学习情境,整合教材顺序,有效的问题引导,让学生经历观察特征、认 识概念、运用概念的过程,对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在 形式上的变化规律很有帮助.使学生体会到从具体到一般的认识过程,培养学生抽象概括的 能力. 备课资料 1.下列特称命题中,假命题 是( ... )

A. x∈Z,x2-2x-3=0 B.至少有一个 x∈Z,x 能被 2 和 3 整除 C.存在两个相交平面垂直于同一条直线 D. x∈{x 是无理数},x2 是有理数 思路分析:要判断特称命题“ x∈M,p(x)”为真命题,只需在集合 M 中找一个元素 x0,使 p(x0)成立即可;如果在集合 M 中找不到元素 x0,使 p(x0)成立,那么这个特称命题就 为假命题. 解:因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线,所以命题“存在两个相交平面垂直于 同一条直线”为假命题,应选 C. 点评:判断特称命题的真假,要通过生活和数学中的实例、知识综合判定. 2.下列命题: ①至少有一个 x 使 x2+2x+1=0 成立;②对任意的 x 都有 x2+2x+1=0 成立;③对任 意的 x 都有 x2+2x+1=0 不成立;④存在 x 使 x2+2x+1=0 成立. 其中是全称命题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 思路分析:根据全称命题的定义,逐一进行判断即可. 解:①至少有一个 x 使 x2+2x+1=0 成立; 特称命题
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②对任意的 x 都有 x2+2x+1=0 成立; 全称命题 2 ③对任意的 x 都有 x +2x+1=0 不成立; 全称命题 2 ④存在 x 使 x +2x+1=0 成立; 特称命题,应选 B. 点评:分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词,当不含量 词时,则注意理解命题含义的实质. 3.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ) 3 2 A.不存在 x∈R,x -x +1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 思路分析:要分清是全称命题还是特称命题,然后写成 ∈M,p(x)或 ∈M,p(x)的 形式,再进一步作出否定. 解:命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”是全称命题,它的否定是“存在 x∈R,x3 -x2+1>0”,应选 C. 点评:一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 p: x∈M,p(x),它的否定 p: x∈M, p(x); x∈M, p(x).

特称命题 p: x∈M,p(x),它的否定 p: 4.给出下列四个命题:

①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③

x∈R,x2-2x>0;④ x∈R,2x+1

为奇数. 以上命题的否定为真命题的序号依次是________. 思路分析:原命题与其否定的真假性正好相反,因此只需直接判断原命题的真假即可. 解:①有理数是实数; 真命题 ②有些平行四边形不是菱形; 真命题 ③ ∈R,x2-2x>0; 假命题 ④ ∈R,2x+1 为奇数; 真命题 应选③. 点评:本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题,即原命题真,命题的 否定假;原命题假,命题的否定真. 1 5.设 0<a,b,c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于 . 4 思路分析:本题直接证明较难入手,可考虑用反证法.

? ? 1 解:反证法:假设??1-b?c>4 ? ??1-c?a>1 4

1 ?1-a?b> 4

? ? ? ? ?

1 ?1-a?b> , 2 1 ?1-b?c> , 2 1 ?1-c?a> , 2 所以

1-a+b 1-b+c 1-c+a 3 3 < ?1-a?b+ ?1-b?c+ ?1-c?a≤ + + = . 2 2 2 2 2 左右矛盾,故假设不成立,原命题得证.
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点评:原命题与其命题的否定不可同真同假,即原命题真,其命题的否定为假;原命题 假,其命题的否定为真. (设计者:赵传俊)

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