当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学——三角函数图像和性质讲义

高中数学——三角函数图像和性质讲义


【讲义课题】 三角函数图像和性质 : 【考点及考试要求】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

>
7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2.三角函数的单调区间:

? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2 2? ?
递减区间是 ?2k? ?

? ?

?
2

,k? ? 2

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?,k? ? (k ? Z ) , 2
递减区间是 ?2k?, ? ? ? ? (k ? Z ) , 2k

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ?

2?

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?
1

初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的

交点都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这 两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变 形, 请切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看 “变量” 起多大变化, 而不是 “角 变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点 的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 或向右( ? <0=平移

1

|? |

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) k ? Z ; 2

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

? , ?

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? ,0) ; 2 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最
值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公 式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 再描点作图。

π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2

题型 1:三角函数的图象
2

例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是(



解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x ∈(0,

? )时,y=-xcosx<0。答案为 D。 2


例 2. (2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(

解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数。选 项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数。 点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能 熟练地运用数形结合的思想方法。 题型 2:三角函数图象的变换

π 1 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3 π 1 解析:y= sin(2x+ ) 3 3

1 π 倍 ?横坐标扩大为原来的2?? y ? sin x ? ) ???????? ( 纵坐标不变 3 3
π 图象向右平移 个单位 1 ??????3 ??? y ? sin x ? 纵坐标不变 3

倍 ?纵坐标扩大到原来的3?? y ? sin x ???????? 横坐标不变

另法答案:

π π 1 1 (1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; 3 6 3 3

1 1 (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 3 3 的图象; 1 (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 3 y=sinx 的图象。
3

例 4.把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 位,得到的曲线方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 C. y+1)sinx+2y+1=0 ( 解析:将原方程整理为:y=

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单

B. y-1)sinx+2y-3=0 ( D.-(y+1)sinx+2y+1=0

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单 2 2 ? cos x
1

位和 1 个单位,因此可得 y=

2 ? cos( x ? ) 2
点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。 如果对平移有深刻理 解,可直接化为: y+1)cos(x- (

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

? 2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项。

题型 3:三角函数图象的应用
例 5.(1)已知函数

f(x)=Asin(ω x+ ? ) A>0,ω >0, (

x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线 y= 3 与
函数 f(x)图象的所有交点的坐标。 图

7 ? 解析:根据图象得 A=2,T= π -(- )=4π , 2 2
∴ω =

1 x ,∴y=2sin( + ? ) , 2 2

又由图象可得相位移为-

? 2

,∴-

? ? =- 1 2 2

,∴ ? =

? 1 ? .即 y=2sin( x+ ) 。 2 4 4

根据条件 (k∈Z) , ∴x=4kπ +

1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ,∴ x ? =2kπ + (k∈Z)或 x ? =2kπ + π 3 =2sin( x ? ) 3 3 2 4 2 4 2 4

? 6

(k∈Z)或 x=4kπ +

5 π (k∈Z) 。 6
5? , 3 ) k∈Z) ( 。 6
4

∴所有交点坐标为(4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

点评: 本题主要考查三角函数的基本知识, 考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。 (2) (2002 全国文 5)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为(



A. (

? ? , 4 2

)∪(π ,

5? ) 4

B. (

? ,π ) 4
? 5? ,π )∪( 4 4


C. (

? 5? , 4 4



D. (

3? ) 2

解析:C; 解法一: 作出在 (0, ) 2π 区间上正弦和余弦函数的图象, 解出两交点的横坐标 由图 1 可得 C 答案。

? 4



5? , 4

图1 图2 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C。 (如图 2) 题型 4:三角函数的定义域、值域 例 7. (1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域; 分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它的值充当角。 解析: (1)0≤cosx<1 ? 2kπ -

π π ≤x≤2kπ + ,且 x≠2kπ (k∈Z) 。 2 2

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ -

π π ,2kπ + ]且 x≠2kπ ,k∈Z}。 2 2 (2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ <cosx<2kπ +π (k∈Z) 。 又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。 π π ,2kπ + ) k∈Z}。 , 2 2 点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角 函数线。
故所求定义域为{x|x∈(2kπ -

例 8.已知函数 f(x)= 性,并求其值域。

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶 cos 2 x

5

解析:由 cos2x≠0 得 2x≠kπ +

? 2

,解得 x≠

k ? ? ,k∈Z,所以 f(x)的定义域为 2 4

{x|x∈R 且 x≠

k ? ? ? ,k∈Z}, 2 4

因为 f(x)的定义域关于原点对称,

6 cos 4 (? x) ? 5 cos 2 (? x) ? 1 6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 且 f(-x)= =f(x) 。 ? cos(?2 x) cos 2 x
所以 f(x)是偶函数。 又当 x≠

k? ? ? (k∈Z)时, 2 4

f(x)=

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 (2 cos 2 x ? 1)(3 cos 2 x ? 1) ? ? 3 cos 2 x ? 1 。 cos 2 x cos 2 x
1 1 或 <y≤2}。 2 2

所以 f(x)的值域为{y|-1≤y<

点评: 本题主要考查三角函数的基本知识, 考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。 题型 5:三角函数的单调性 例 9.求下列函数的单调区间: (1)y=

1 π 2x π sin( - )(2)y=-|sin(x+ )|。 ; 2 4 4 3 1 2 π sin( x- )再求之。 2 3 4 π )|的图象。 4

分析: (1)要将原函数化为 y=-

(2)可画出 y=-|sin(x+ 解: (1)y= 故由 2kπ -

1 π 2x 1 2x π sin( - )=- sin( - ) 。 2 4 2 4 3 3 π 2x π π ≤ - ≤2kπ + 。 2 4 2 3

? 3kπ -
由 2kπ +

3π 9π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调减区间; 8 8

π 2x π 3π ≤ - ≤2kπ + 。 2 4 2 3

? 3kπ +

9π 21 π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调增区间。 8 8
3π 9π ,3kπ + ] , 8 8

∴递减区间为[3kπ - 递增区间为[3kπ +

9π 21 π ,3kπ + ] k∈Z) ( 。 8 8
6

(2)y=-|sin(x+

π π 3π π )|的图象的增区间为[kπ + ,kπ + ] ,减区间为[kπ - , 4 4 4 4

kπ +

π ] 。 4
5? 4 3? 4 ? 4

-

-

y?
4

3? 4

5? 4

7? 4

o
例 10. (2002 京皖春文,9)函数 y=2
sinx

x
的单调增区间是( )

A. kπ - [2

? 2 ? 2

,2kπ +

? 2

] k∈Z) (

B. kπ + [2

,2kπ +

3? ] k∈Z) ( 2

C. kπ -π ,2kπ ] k∈Z) [2 ( D. kπ ,2kπ +π ] k∈Z) [2 (
解析:A;函数 y=2 为增函数,因此求函数 y=2 调增区间。 题型 6:三角函数的奇偶性
x
sinx

的单调增区间即求函数 y=sinx 的单

例 11.判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin2 x ) 。 分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(-x)的关系。 解析:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0, 即 f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 ,∴ 点评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。 例 12.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。 答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①,

? ? +kπ (k∈Z) ;或者④, +kπ (k∈Z) 2 2
? 2

解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数。当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x) =-sinx 仍是奇函数。当 ? =2kπ +

? ,k∈Z 2

时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ -

,k∈Z

时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论 ? 为何值都不能使 f (x)恒等于零。所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 k∈Z 不能不 写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。
7

题型 7:三角函数的周期性 6 6 例 13.求函数 y=sin x+cos x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值。 分析:将原函数化成 y=Asin(ω x+ ? )+B 的形式,即可求解。 解析:y=sin x+cos x=(sin x+cos x) (sin x-sin xcos x+cos x) =1-3sin xcos x=1- ∴T=
2 2 6 6 2 2 4 2 2 4

3 5 3 2 sin 2x= cos4x+ 。 4 8 8

π 。 2

kπ (k∈Z)时,ymax=1。 2 题型 8:三角函数的最值
当 cos4x=1,即 x= 例 14.设 M 和 m 分别表示函数 y=

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3
C.-



A.

2 3

B.-

2 3

4 3

D.-2

解析:D;因为函数 g(x)=cosx 的最大值、最小值分别为 1 和-1。所以 y=

1 cosx-1 3

的最大值、最小值为-

4 2 和- 。因此 M+m=-2。 3 3

8


更多相关文档:

高中数学——三角函数图像和性质讲义

高中数学——三角函数图像和性质讲义_数学_高中教育_教育专区。【讲义课题】 三角函数图像和性质 : 【考点及考试要求】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=...

高中数学完整讲义——三角函数2.三角函数的图像与性质2

高中数学完整讲义——三角函数2.三角函数的图像与性质2_数学_高中教育_教育专区。高中数学讲义板块二.三角函数的图像 与性质 典例分析题型五:三角函数的图像 ( A...

高中数学完整讲义——三角函数2.三角函数的图像与性质1

高中数学完整讲义——三角函数2.三角函数的图像与性质1_数学_高中教育_教育专区。高中数学讲义板块二.三角函数的图像 与性质 典例分析题型一:三角函数的单调性与值...

高中数学三角函数图像与性质

高中数学三角函数的概念、图象与性质”教学研究 一、整体把握“三角函数的概念、图象与性质”的教学内容 (一)教学内容的知识框架 (二)教学内容的结构与作用 由...

高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)

高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)_数学_高中教育_教育专区。一.正弦、余弦、正切函数图象和性质函 数有界性定义域 有界 正弦函数 y ? sin x, x...

三角函数图像和性质教学设计

教学设计 学校:沙雅县第二中学 年级:高中 电话:13579130003 内容:高中数学必修四第一章 1.4 三角函数图像性质第一课时 1 三角函数图像与性质(一)本节课教材...

高中数学必修4第一章:三角函数性质与图像

高中数学必修4第一章:三角函数性质与图像_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4第一章:三角函数性质与图像三角函数性质与图像 知识清单: y ? sin x 定义域 值...

三角函数的图像与性质(第一课时)

高邮市 2008 年度高中数学优质课评比活动教案 三角函数图像与性质(第一课时)教学目标:① 知识目标:正弦函数、余弦函数图象的画法 ② 能力目标: (1)会用单位圆...

高中数学三角函数讲义资料

辅导讲义学员姓名: 授课日期 年级: 高一 辅导科目: 数学 学科教师: 授课时段 授课主题 三角函数 教学内容 三角函数图象和性质 1、三角函数图像和性质 y y=tanx ...

高中数学知识专项:三角函数的图像与性质大全

高中数学知识专项:三角函数图像与性质大全_数学_高中教育_教育专区。基础三角函数图像与性质大全 高中数学:吕老师 1、正弦函数的图像与性质函 数图像 定义域 R...
更多相关标签:
相似三角形的性质讲义 | 三角函数的图像与性质 | 三角函数图像与性质 | 三角函数的图像和性质 | 反三角函数图像与性质 | 三角函数图像性质 | 高中三角函数讲义 | 三角函数图像及其性质 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com