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等差数列前N项求和


1.问题呈现 .
泰姬陵坐落于印度古都阿格, 泰姬陵坐落于印度古都阿格, 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建, 罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮 观,纯白大理石砌建而成的主体 建筑叫人心醉神迷, 建筑叫人心醉神迷,成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图 案,以相同大小的圆宝石镶饰而 共有100层(见左图),奢 ),奢 成,共有 层 见左图), 靡之程度,可见一斑。 靡之程度,可见一斑。 你知道这个图 案一共花了多 少宝石吗? 少宝石吗?

问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=?” ?

高斯 Gauss.C.F (1777~1855) 德国著名数学家

你知道高斯是怎么计算的吗?

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
1 2 3 21 20 19

获得算法:

(1 + 21) × 21 s21 = 2
21 1

问题2: 问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=? 求和
1 2 3 n n-1 n-2

n

1

问题3 的首项为a 问题3:设等差数列 {an} 的首项为 1, 公差为d,如何求等差数列的前n项和 公差为 ,如何求等差数列的前 项和 Sn= a1 +a2+a3+…+an?

倒序相加
n(a1 + an ) an=a1+(n-1)d n(n ?1) ∴Sn = Sn = na1 + d 2 2

等差数列{ 等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项 项和为S 数为n,第n项为an,前n项和为Sn,请填 写下表: 写下表:

知三求二
d
10 -2
2 0.7

a1
5
100

n
10 50
15

an
95 2

sn
500

2550 -360
604.5

-38 14.5

-10 32

26

例题讲解
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小 2000年11月14日教育部下发了《 日教育部下发了 学实施“校校通”工程的通知》 学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实 校校通”工程的总目标: 2001年起用10年的时 年起用10 施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算, 间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算, 2001年该市用于 校校通”工程的经费为500万元。 年该市用于“ 500万元 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。 为了保证工程的顺利实施, 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比 上一年增加50万元。那么, 2001年起的未来10年内 50万元 年起的未来10年内, 上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10年内, 该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 由题意,该市在“ 求什么, 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析: 找关键句; 求什么,如何求; 分析:①找关键句;②校校通” 如何求; 的资金构成等差数列{a , 的资金构成等差数列 n},且a1=500,d=50,n=10. 该市在未来10年内的总投入为 年内的总投入为: 故,该市在未来 年内的总投入为:
10 × (10 ? 1) S10 = 10 × 500 + × 50 = 7250 ( 万元 ) 2



变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形, 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最 上面一层铺瓦片21块 往下每一层多铺1 上面一层铺瓦片 块,往下每一层多铺 斜面上铺了19层 共铺瓦片多少块? 块,斜面上铺了 层,共铺瓦片多少块? 解:由题意,该屋顶斜面每层所铺的瓦 由题意, 片数构成等差数列{a }, =21,d=1, 片数构成等差数列{an},且a1=21,d=1, n=19. 于是,屋顶斜面共铺瓦片: 于是,屋顶斜面共铺瓦片:
19 × (19 ? 1) S19 = 19 × 21 + × 1 = 570 ( 块 ) 2

答:屋顶斜面共铺瓦片570块. 屋顶斜面共铺瓦片 块

例 题 讲 解
的前10项的和是310 例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310, 已知一个等差数列 的前10项的和是310, 20项的和是1220, 项的和是1220 前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差 项和的公式吗? 数列的前n项和的公式吗?
, , 解:由题意知:S10=310,S20=1220,将 由题意知: 它们代入公式 S = na + n( n ? 1) d
n 1

? 10a1 + 45d = 310 ?a1 = 4 得到 ? 解方程得 ? ?20a1 + 190d = 1220 ?d = 6 n(n ? 1) ∴ Sn = n × 4 + × 6=3n 2 + n 2
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2

在等差数列{a 中 例1:在等差数列 n}中, a6 + a9 + a12 + a15 = 34 求 S 20
练习2: 练习

在等差数列{an}中, 在等差数列 中

(1)已知 a11 = 10, 求S 21 ) (2)已知 S 7 = 10, 求a4 )

两个等差数列{a 例4:两个等差数列 n},{bn}中, 前n项和分 中 项和分 别为S 别为 n,Tn,
an 3n + 2 S7 ,求 (1) 若 = ) bn n?3 T7

(2) )

S n 3n + 2 a7 若 = ,求 Tn n?3 b7

课堂小结: 课堂小结:

作业:课本 作业:课本P45 1

思考:已知数列 的前n项和为 思考 已知数列{an}的前 项和为 已知数列 的前 1 2 Sn = n + ,求通项公式 并判断 求通项公式,并判断 求通项公式 2 是否为等差数列. 是否为等差数列


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