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东北三校2011年高三第二次联考数学试卷及答案 l


哈 师 大 附 中 东 北 师 大 附 中 2011 年高三第二次联合模拟考试 辽宁省实验中学

数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 24 题,共 150 分,考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准粘贴在条形码区域内。 2.选

择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只是一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A ? {x |

x?2 ? 0}, B ? {x || x ? 1|? 1}, 则A ? B 等于 x?2
B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | ?2 ? x ? 0}





A. {x | ?2 ? x ? 0} C. {x | ?2 ? x ? 0} 2. cos ? ?

4 ? , ? ? (? , 0), 则 sin ? ? cos ? = 5 4 1 1 A. B. ? 5 5
A.直线 y ? x 对称

( C. ?



7 5

D.

7 5
( )

3.函数 y ? x ln(? x)与y ? x ln x 的图象关于 B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.原点对称

4.设随机变量 ? ~ N (0,1), 若P(? ? 1) ? p, 则P(?1 ? ? ? 0) = A.

( D.



1 ?p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p

1 ?p 2


5.设 x、y 是两个实数,命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是 ( A. x ? y ? 2 B. x ? y ? 2
1

C. x ? y ? 2
2 2

D. xy ? 1

6.右面程序运行的结果为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率 为 b,不得分的概率为 c, a, b, c ? (0,1) ,且无其它得分情 况,已知他投篮一次得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值 为 ( ) A.

1 48

B.

1 24

C.

1 12

D.

1 6
( )

8.已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a ? c, b ? c, a ? d , b ? d ,那么

A.a//b 且 c//d B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 C.a//b 或 c//d D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 9.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

? ②设有一个回归方程 y ? 3 ? 5x ,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;
? ? ? ③线性回归方程 y ? bx ? a 必过( x, y );
④在一个 2×2 列联中,由计算得 K ? 13.079, 则有 99%的把握确认这两个变量间有关系;
2

`

其中错误的个数是 .. A.0 B.1 本题可以参考独立性检验临界值表: 0.5 0.455 0.40 0.25 0.15 2.072

( C.2 0.10 2.706 0.05 3.841 D.3 0.25 5.024 0.010 6.535 0.005 7.879



P( K 2 ? k )
k

0.001 10.828 )

0.708 1.323

10.已知实数 a,b 满足 ?1 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1,则函数 y ? A.

1 4

B.

1 2

1 3 x ? ax 2 ? bx ? 5 有极值的概率( 3 2 3 C. D. 3 4

11.已知 {an } 是等差数列, S n 为其前 n 项和,若 S 21 ? S 4000 , O 为坐标原点,点 P(1, an ),点 Q (2011, a2011 ),则 OP ? OQ A.2011 12.已知双曲线 B.-2011 C.0 D.1

??? ???? ?





x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别 F1、F2,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点, a 2 b2

?PF1 F2 的内切圆的圆心为 I,且⊙I 与 x 轴相切于点 A,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,若
e 为双曲线的率心率,则 A.|OB|=e|OA| B.|OA|=e|OB| C.|OB|=|OA| ( ) D.|OA|与|OB|关系不确定

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.直线 l : y ? k ( x ? 3)与圆O : x ? y ? 4 交于 A、B 两点,|AB|= 2 2 ,则实数 k=
2 2



14.将数字 1,2,3,4,5 按第一行 2 个数,第二行 3 个数的形式随机排列,设 ai (i ? 1, 2) 表示第 i 行中最小的数,则满足 a1 ? a2 的所有排列的个数是 。(用数学作答)

15. Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90?, 作AD ? BC ,D 为垂足,BD 为 AB 在 BC 上的射影,CD 为 AC 在 BC 上 的 射 影 , 则 有 AB2+AC2=BC2 , AC2=CD · BC 成 立 。 直 角 四 面 体 P — ABC ( 即
' PA ? PB, PB ? PC, PC ? PA )中,O 为 P 在 ?OCA 的面积分别为 S1' , S2 , S3' , ?ABC 的面积

记为 S。类比直角三角形中的射影结论,在直角四面体 P—ABC 中可得到正确结论 出一个正确结论即可) 16.已知数列 {an }中, a1 ? 1, 且P(an , an?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,若函数 f (n) ?

。 (写

1 1 ? n ? a1 n ? a2

?

1 1 ??? (n ? N * , 且n ? 2) ,函数 f (n) 的最小值 n ? a3 n ? an



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 17.(本小题满分 12 分) 港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离检查站 为 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测站与检查站距 离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远?

18.(本小题满分 12 分) 一次数学模拟考试,共 12 道选择题,每题 5 分,共计 60 分,每道题有四个可供选择的答 案, 仅一个是正确的。 学生小张只能确定其中 10 道题的正确答案, 其余 2 道题完全靠猜测回答。 (I)求小张仅答错一道选择题的概率; (II)小张所在班级共有 60 人,此次考试选择题得分情况统计表: 得分(分) 百分率 40 45 50 55 60 10% 15% 10% 25% 40% 现采用分层抽样的方法从此班抽取 20 人的试卷进行选择题质量分析。 (i)应抽取多少张选择题得 60 分的试卷? (ii)若小张选择题得 60 分,求他的试卷被抽到的概率。
3

19.(本小题满分 12 分) 如图,多面体 ABCD—EFG 中,底面 ABCD 为正方形,GD//FC//AE,AE⊥平面 ABCD, 其正视图、俯视图如下: (I)求证:平面 AEF⊥平面 BDG; (II)若存在 ? ? 0 使得 AK ? ? AE ,二面角 A—BG—K 的大小为 60? ,求 ? 的值。

????

??? ?

20.(本小题满分 12 分) 已知 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,曲线 C 是坐标原点为顶点,以 F2 为焦 4 3

点的抛物线,过点 F1 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴上方两个不同点 P、Q,点 P 关于 x 轴的对称点 为 M,设 F1 P ? ? F1Q. (I)求 ? ?[2, 4] ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II)求证:直线 MQ 过定点。 21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 x ?

????

????

1 2 x , g ( x)? log x (a? 且 a? 1),h ( ? f ( ? g (在定义域上为减 0 x) x) x) a 2

函数,且其导函数 h '( x) 存在零点。 (I)求实数 a 的值; (II)函数 y ? p( x) 的图象与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,且 y ? p '( x) 为函数

y ? p( x) 的导函数, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是函数 y ? p( x) 图像上两点,若
p '( x0 ) ? y1 ? y2 ,判断 x0 , x1 , x2 的大小,并证明你的结论。 x1 ? x2

22.(本小题满分 10 分) 如图,在⊙O 中,弦 CD 垂直于直径 AB,求证:

CB CD ? . CO CA

23.(本小题满分 10 分) 已知椭圆的参数方程 ? 为参数)的最短距离。 24.(本小题满分 10 分) 已知 x ? 3 y ? 4 z ? 2, 求证 :| x ? 3 y ? 4 z |? 4.
2 2 2

? x ? 3cos ? ? x ? 2 ? 3t ( ? 为参数),求椭圆上的动点 P 到直线 ? (t ? y ? 2sin ? ? y ? 2 ? 2t

4

5

6

7

8


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