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解析几何解答题(定点定值问题)


解析几何解答题每日一题 类型一 定值定点问题

x2 y 2 1. 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 B (0, 3) 为 短 轴 的 一 个 端 点 , a b ?OF2 B ? 60? .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,过右焦点 F2 ,且斜率为

k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 D, E 两点, A 为椭圆的右顶点,直 线 AE , AD 分别交直线 x ? 3 于点 M , N , 线段 MN 的中点为 P , 记直线 PF2 的斜率为 k ' . 求证:k ? k ' 为 定值.

y

l
D M

O F2

A P

x
N

E

2.已知 F1, F2 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过椭圆右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 a ,b l 与椭圆 C 相交于 E、 F 两点 ?EFF1 的周长为 8,且椭圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆的右顶点 ,直线 AE, AF 分别交直线 x ? 4 于点 M ,N , 线段 MN 的中点为 P ,记直线

x2

y2

PF2 的斜率为 k ? ,求证 k ? k ? 为定值.

3.已知椭圆

C1 的中心为原点 O ,离心率

? ,其一个焦点在抛物线 C2 : y 2 ? 2 px 的准线上,若抛物线 e? ?

C2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)当点 Q (u , v) 在椭圆 C1 上运动时,设动点 P (?v ? u , u ? v) 的运动轨迹为 C3 .若点 T 满足:

uuu r uuur uuur uuu r ? OT ? MN ? ?OM ? ON ,其中 M , N 是 C3 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? ,试说明:是否 ? 存在两个定点 F? , F? ,使得 TF? ? TF? 为定值?若存在,求 F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

x2 y 2 4.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、 短轴两个端点为 A 、 且四边形 F1 AF2 B F2 , B, a b
是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 C 、 D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连结 CM ,交椭圆于点 P .

OP 为定值; 证明: OM ×
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线

DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. []
y A P C F1 B O F2 D x M

5.已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? a 2 (a ? 0) 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,试问,是否存在 x 轴上的点 M ? m,0 ? ,使得对任 意的 k ? R , MA ? MB 为定值,若存在,求出 M 点的坐标,若不存在,说明理由.

6. 已 知 F (1,0) 椭 圆 C1 的 右 焦 点 且 F 为 双 曲 线 C2 的 右 顶 点 , 椭 圆 C1 与 双 曲 线 C2 的 一 个 交 点 是

2 3 3 , ) .[] 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C1 及双曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 若点 P 是双曲线右支上的动点, 直线 PF 交 y 轴于点 Q , 试问以线段 PQ 为直径的圆是否恒过定点?
M (
证明你的结论.

参考答案 1.解析 :解 : (1)由条件可知 a ? 2, b ?

3 , 故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ……4 分 4 3

(2)设过点 F2 (1, 0) 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 可得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4 因为点 F2 (1, 0) 在椭圆内,所以直 线 l 和椭圆都相交 ,即 ? ? 0 恒成立.
设点 E ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 因为直线 AE 的方程为: y ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

……8 分

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AD 的方程为: y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2 y2 y1 y 1 y ) , N (3, 2 ) , 所以点 P 的坐标 (3, ( 1 ? )) .……10 分 令 x ? 3 ,可得 M (3, x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y 1 y1 ( ? 2 )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y 1 y 直线 PF2 的斜率为 k ' ? ? ( 1 ? 2 ) 3 ?1 4 x1 ? 2 x2 ? 2 1 x y ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 1 2 ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
? 1 ? 4 2k ? 4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 3 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ,所以 k ? k ? 为定值 ? . ……13 分 ?? 2 2 4k ? 12 8k 4k 4 ? 2? 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3

2.解析:解:(Ⅰ)由题意得 所求椭圆 C 的方程为

焦点?EFF1的周长为8,?4a ? 8,?a2 ? 4且b2 ? 3

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设过点 F2 ?1,0? 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,设点 E ( x1 , y1 ) ,点 F ( x 2 , y 2 )

x2 y2 ? ? 1 整理得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,因为 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C : 4 3
点 F2 在椭圆内 , 所以直线 l 和椭圆都相交 , ? ? 0 恒成立 , 且 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 3

x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 4k 2 ? 3

直 线 AE 的 方 程 为 : y ?

y1 y2 ( x ? 2) , 直 线 AF 的 方 程 为 : y ? ( x ? 2) , 令 x ? 4 , 得 点 x1 ? 2 x2 ? 2

? 2 y1 ? ? 2 y2 ? ? y1 y ? M ? 4, ? 2 ? ? , N ? 4, ? ,所以点 P 的坐标 ? 4, ? x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

y1 y ? 2 ?0 x ? 2 x2 ? 2 y 1 y 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 1 ? ( 1 ? 2 ) 4 ?1 3 x1 ? 2 x2 ? 2

?

1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 代入上式得: 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

将 x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 1 1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 k'? ? ?? 2 2 4k ? 12 8k 3 k ?2 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3 所以 k ? k ' 为定值 ?1 x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 (II) 存在两个定点 F? , F? ,且为椭圆 ? 3.【答案解析】(I) ? 1 的两个焦点,使得 4 2 60 30 TF? ? TF? 为定值,其坐标为 F1 (? 30, 0), F2 ( 30, 0) 2k ?
解析:解: (I)由 ?
2 ? ? y ? 2 px

? ?x - y ? 2 ? 0 2 抛物线 C2 : y 2 ? 2 px 与直线 l : x - y ? 2 ? 0 相切, ?? ? 4 p ? 8 2 p ? 0 ? p ? 2 2 …2 分

? y 2 ? 2 py ? 2 2 p ? 0 ,

? 抛物线 C2 的方程为: y 2 ? 4 2 x ,其准线方程为: x ? ? 2 ,

? c 2 , ?e? ? , ? a ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 , ? a 2 2 2 x y ? ?1 故椭圆的标准方程为 ……4 分 4 2 (II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , P ( x?, y?) , T ( x, y )
离心率 e ?

1 ? u ? (2 y? ? x?) ? ? x? ? 2v ? u ? 3 ?? 则? ? y? ? u ? v ? v ? 1 ( x? ? y?) ? 3 ? 动点 P (?v ? u , u ? v) 的运动轨迹
C3 ?

当点 Q (u , v) 在椭圆 C1 上运动时,

u 2 v2 1 1 ? ? 1 ? [ (2 y? ? x?)]2 ? 2[ ( x? ? y?)]2 ? 4 ? x? 2 ? 2 y? 2 ? 12 4 2 3 3 2 2 ? C3 的轨迹方程为: x ? 2 y ? 12 ………………………………………………………6 分 uuu r uuur uuur uuu r 由 OT ? MN ? ?OM ? ON 得 ( x, y ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? 2( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 . 设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, …………………………………………8 分 x1 x2 2
2 2

因为点 M , N 在椭圆 x ? 2 y ? 12 上,所以 x1 ? 2 y1 ? 12, x2 ? 2 y2 ? 12 ,
2 2 2 2

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 60 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).

x2 y 2 所以 x ? 2 y ? 60 ,从而可知: T 点是椭圆 ? ? 1 上的点, 60 30 x2 y 2 ? 1 的两个焦点,使得 TF? ? TF? 为定值,其坐标为 ? 存在两个定点 F? , F? ,且为椭圆 ? 60 30 F1 (? 30, 0), F2 ( 30, 0) .
2 2

x2 y 2 ? ? 1 (II) OM ? OP ? 4 (III)存在 Q ? 0,0? 4 2 解析:解: (Ⅰ)如图,由题意得, 2b ? 2c ? 2 2 .
4.【答案解析】(I)

? b ? c ? 2 , a ? 2 . 所求的椭圆方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, C ( ?2 ,0) , D (2,0).

x2 y 2 ? ? 1. 4 2
………………4 分

3分

由题意可设 CM : y ? k ( x ? 2) , P ( x1 , y1 ).

MD ? CD ,? M (2, 4k ).
? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由 ?4 整理得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0 . 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

……5 分

y A P C F1 B O F2 D x M

?2x1 ?

8k ? 4 , 1 ? 2k 2
2

? x1 ?

2 ? 4k . 1 ? 2k 2
2

2 ? 4k 2 4k 4k , P ( , ). y1 ? k ( x1 ? 2) ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 ? 2k
? OM ? OP ? 2 ?

2 ? 4k 4k 4(1 ? 2k ) ? 4k ? ? ? 4. 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 2

即 OM ? OP 为定值. (Ⅲ)设 Q ( x0 , 0) ,则 x0 ? ?2 . 若以 MP 为直径的圆恒过 DP , MQ 的交点,则 MQ ? DP ,

? MQ ? DP ? 0 恒成立.
由(Ⅱ)可知 QM ? (2 ? x0 , 4k ) , DP ? (

?8k 2 4k , ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? QM ? DP ? (2 ? x0 ) ?

?8k 2 4k ? 4k ? ? 0. 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

8k 2 x0 ? 0 恒成立. ? x0 ? 0 . 即 1 ? 2k 2
?

存在 Q (0, 0) 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP , MQ 的交点.

5.【答案解析】(1)设椭圆的短半椭圆方程为

x2 y2 11 ? ? 1 (2) 存在点 M ( , 0) 使得 MA ? MB 为定值. 4 8 4

解析:解:设椭圆的短半轴为 b ,半焦距为 c ,
2 则b ?

a2 a2 a2 2 2 2 2 2 ? ,由 c ? a ? b 得 c ? a ? , 2 2 2



x2 y2 1 ? b ? 2c ? 4 解得 a 2 ? 8, b 2 ? 4 ,则椭圆方程为 ? ? 1. 2 8 4

(2)由 ?

? y ? k ( x ? 1) ?x ? 2 y ? 8
2 2

得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 8 ? 0,

4k 2 2k 2 ? 8 , x1 x2 ? 2 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 由韦达定理得: x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1
? MA ? MB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
= (k 2 ? 1) x1x2 ? (m ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2 = (k ? 1)
2

? 5 ? 4m ? k ? 8 ? m 2 2k 2 ? 8 4k 2 2 ? ( m ? k ) ? k 2 ? m2 = ? , 2 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 1
2

当 5 ? 4m ? 16 ,即 m ? 所以,存在点 M (

7 11 时, MA ? MB ? ? 为定值, 16 4

11 , 0) 使得 MA ? MB 为定值 4 2 2 6.【答案解析】 (Ⅰ) x ? y ? 1 (Ⅱ) (-1,0)
解析 :解 : (Ⅰ)由题意设椭圆 C1 的方程是 则 2a1 ? MF1 ? MF2 ?

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 x ? ? 1, ,双曲线 的方程是 C 2 a12 b12 b22

8? 4 3 8?4 3 =2 2 , ? 3 3 x2 ∴ a1 ? 2 , b1 ? 1 ,椭圆 C1 的方程是 ? y 2 ? 1 ,………………4 分 2 4 1 2 由点 M 在双曲线上得: ? 2 ? 1 ,得 b2 ? 1 ,所以双曲线 C2 的方程是 x 2 ? y 2 ? 1 ,……………6 分 3 3b2
( Ⅱ ) 设 P( x0, y0) , 则 x02?y02= 1, 直 线 PF 2 的 方 程 为 y ?

y0 y0 (x ? 1 ), 得 Q( 0, ), x0 ? 1 x0 ? 1

∴ ? F1 P ? (x0 ? 1,y0), FQ ? (, 1? 1 ........12 分 ? F1P ? FQ 1 ,

y0 y ∴ ? F1 P ? FQ ), ? (x0 ? 1 ) ? y0 ? 0 ? 0, 1 x0 ? 1 x0 ? 1

∴ 以 线 段 PQ 为 直 径 的 圆 恒 过 定 点 F 1 ( -1 , 0 ) . , ..........13 分


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