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第三讲:几何专题(教师版)


上海市初二数学分类专题精讲精练(精华版) 第三讲:几何专题
一、分类剖析:
1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。 证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。 【例

1】已知:如图 1 所示, ?ABC 中, ?C ? 90? ,AC ? BC,AD ? DB,AE ? CF 。 求证:DE=DF 分析:由 ?ABC 是等腰直角三角形可知,?A ? ?B ? 45? ,由 D 是 AB 中点,可考虑连结 CD,易得 CD ? AD , ?DCF ? 45? 。从而 不难发现 ?DCF ? ?DAE 证明:连结 CD

点睛:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分 线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结 CD,因 为 CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。

【例 2】已知:如图 2 所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证:∠E=∠F

点睛:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造 全等三角形,这时应注意: (1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中, 平行与垂直是两种特殊的位置。 证两直线平行, 可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直 线垂直,可转化为证一个角等于 90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一” 来证。 【例 3】如图 3 所示,设 BP、CQ 是 ?ABC 的内角平分线,AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。 求证:KH∥BC 说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合 时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个 直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角 形。

【例 4】已知:如图 4 所示,AB=AC, ∠A ? 90? ,AE ? BF,BD ? DC 。求证:FD ⊥ED

说明: 有等腰三角形条件时, 作底边上的高, 或作底边上中线, 或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二:

说明:证明两直线垂直的方法如下: (1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包 括添常用辅助线,见本题证二。 (2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3)证明二直线的夹角等于 90°。

3、证明一线段和的问题 (一) 在较长线段上截取一线段等一较短线段, 证明其余部分等于另一较短线段。 (截长法) 【例 5】已知:如图 6 所示在 ?ABC 中, ?B ? 60? ,∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。 求证:AC=AE+CD

(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证 明该线段等于较长线段。 (补短法) 【例 6】已知:如图 7 所示,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上,E 在 BC 上, ?EAF ? 45? 。 求证:EF=BE+DF

4、全等三角形 1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中, 互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法:若△ABC 和△A′B′C′是全等的三角形,记作 “△ABC≌ △A′B′C′其中, “≌”读作“全等于” 。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等; 4. 寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边 是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此, 由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析, 可以看出其中一个是由另一个 经过下列各种运动而形成的。 ?翻折 如图(1) ,?BOC≌?EOD,?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线 AO 翻折 180?得到的; ?旋转 如图(2) ,?COD≌?BOA,?COD 可以看成是由?BOA 绕着点 O 旋转 180?得到的; ?平移 如图(3) ,?DEF≌?ACB,?DEF 可以看成是由?ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法: (1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 (2) 推论:角角边定理 6. 注意问题: (1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等; (2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即 AAA;b :有两边和其中一 角对应相等,即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具, 同时也是移动图形位置的工具。 在平 面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常 常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 (1) 证明线段(或角)相等 【例 7】如图,已知 AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC

(2)证明线段平行 【例 8】已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E、F,DE=BF,AF=CE.求证: AB∥CD

D E A F

C

B

(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 【例 9】如图,在△ ABC 中,AB=AC,延长 AB 到 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E, 连接 CD 和 CE. 求证:CD=2CE

(ⅰ)折半法: 取 CD 中点 F, 连接 BF, 再证Δ CEB≌Δ CFB.这里注意利用 BF 是Δ ACD 中位线这个条件。

(ⅱ)加倍法.

C

4 1

A

E 2 3 B

D

F
说明: 关于折半法有时不在原线段上截取一半, 而利用三角形中位线得到原线段一半的 线段。例如上面折道理题也可这样处理,取 AC 中点 F,连 BF(如图)(B 为 AD 中点是利用 这个办法的重要前提) ,然后证 CE=BF. (4)证明线段相互垂直 【例 10】已知:如图,A、D、B 三点在同一条直线上,Δ ADC、Δ BDO 为等腰三角 形,AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。

C O E

A

D

B

分析:本题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后 再证明所得出的结论正确。通过观察,可以猜测:AO=BC,AO⊥BC. 【例 11】 如图,△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB =AC+CD. 分析: 在 AB 上截取 AE=AC, 构造全等三角形, △AED≌△ACD,

得 DE=DC,只需证 DE=BE 问题便可以解决. 剖析:证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法(即在长 线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段) ;如作 AE= AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法(即延 长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与另一条短线段相等) ,其目的是把证明线段 的和差转化为证明线段相等的问题, 实际上仍是构造全等三角形, 这种转化图形的能力是中 考命题的重点考查的内容.

5、中考题: 【中 1】如图 8 所示,已知 ?ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD,连结 CE、DE。 求证:EC=ED
E F A

B

C 图8

D

【中 2】如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是 AB 的中点,以点 E 为圆心,EB 为半径画 弧,交 BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使 DF=DE,连结 FC. 求证:∠F=∠A.

说明:证明角(或线段)相等可以从证明角(或线段)所在的三角形全等入手,在寻求全等 条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内 错角等相等的关系。


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