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从平面到空间的类比推理


专题一:从平面到空间的类比推理
类比是数学命题推广的基本方法之一,法国数学家拉普拉斯曾经说过:“即使在数学 里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比. 类比推理就是在两类不同事物之间进行对比, ” 找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模 式.从逻辑上说,类比推理就是将命题的外延扩大. 类比推理一般具有如下三个特点: (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认 识为基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,因此,类比推理得出的结论不一定正确,有待证明,但它却 有探索、发现的功能,有助于我们揭示自然界的奥秘. 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而抽象、概括出一个猜想; (3)检验猜想. 近几年来,在全国各地的模拟试题和高考试题中,陆续出现了从平面到空间的类比推 理题,这些题目立意新颖,内涵深刻,大多以填空题的形式出现,不需要严格的证明,只 需要猜想出正确的结论即可,旨在考查学生观察-分析-比较-联想-类比- ,mm 猜0想的探索能力和创新意识,归纳起来,主要有以下几种类型: 一、平面几何定理类比到立体几何定理 平面是空间的一部分,因此,平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去.数学家 波利亚曾指出:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的 类比问题.” 类比方法: 直线”类比为“ “ 类比为“ 类比方法 : 直线 ” 类比为 “ _____” “ 角 ” 类比为 “ ________” “ 角的两边 ” 类比为 ” , ” 角的两边” , “_________________”等. ” 例 1:对于平面几何中的命题: “如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等
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或互补. 在立体几何中, ” 类比上述命题, 可以得到命题: __________________________. ” “ 其真假性是_________. 我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例,例如: (1)平几:平行于同一直线的两直线平行; 立几:平行于同一平面的两平面平行. (2)平几:垂直于同一直线的两直线平行; 立几:垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同一直线的两平面平行. (3)平几:如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线,那么它也和另一条直线垂直; 立几:如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,那么它也和另一个平面垂直; 如果一个平面垂直于两平行平面中的一个平面,那么它也和另一个平面垂直. (4)平几:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补; 立几:如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行,那么这两个二面角 相等或互补. 二、平面几何图形类比到空间几何体 点、线、面是构成空间几何体的基本元素,构成几何体离不开平面图形,有不少几何 体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形,因此,平面中某些特殊几何图形的性质也 可以类比推广到相对应的特殊空间几何体中去. (一)平面中的三角形类比到空间中的 一 平面中的三角形类比到空间中的 平面中的三角形类比到空间中的________ 1.直角三角形类比到___________ 类比方法 1: 直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“_________________________” : 直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“ “ ” . 例 2(2003 广东卷) 在平面几何里, 有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB、 互相垂直, AC 则 AB2 +AC2= BC2 ” ,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底 面面积间的关系,可以得出的正确结论是: “设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、 ADB 两两相互垂直,则____________________________________________________. 变式:在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC,D 为垂足,则 AB 2=BDBC(射影定理).类 似地,三棱锥 A-BCD 中,AD⊥平面 ABC,AO⊥平面 BCD,O 为垂足,且 O 在△BCD
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内,则 S△ABC,S△BCO,S△BCD 三者之间满足关系式_______________________________. 类比方法 2: 直角三角形的直角边长、斜边上的高”类比为“_____________________” : 直角三角形的直角边长、斜边上的高”类比为“ “ ” . 例 3(2008 深圳调研理) 在 Rt△ABC 中,两直角边分别为 a、b,设 h 为斜边上的高, 则

1 1 1 = 2 + 2 ,由此类比:三棱锥 S—ABC 中的三条侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,且 2 h a b

长度分别为 a、 c, b、 设棱锥底面 ABC 上的高为 h, 则有结论_________________________. 变式: Rt△ABC 的两直角边分别为 a、 则其内切圆半径 r = ( b,

1 1 1 1 + + + 2 ) 1 r ; 2 a b a b

由此类比:三棱锥 S-ABC 中的三条侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,且长度分别为 a、b、c, 则其内切球半径 R=___________________________。 2.正三角形类比到________________ 类比方法 1: “正三角形的高”类比为“________________” . 例 4 平面几何中,有结论: “正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,且定值 等于该正三角形边长的_______倍” .类比这一结论,将其拓展到空间,可得到结论: ________________________________________________________. 例 5(2008 韶关调研理) 已知正三角形内切圆的半径是高的 1/3,把这个结论推广到 空间正四面体,类似的结论是___________________________________________________. 类比方法 2: “正三角形的中心”类比为“________________” . 例 6 在平面内,自一点 O 至多能引 3 条射线 OA、OB、OC,使它们两两成等角,且 两两所成的角为 1200.类比到空间,自一点 0 至多能引_____条射线,使它们两两成等角, 且两两所成的角为_________. 3.一般三角形类比到_______________ 类比方法 1: “三角形的面积”类比为“___________________” . 例 7(2008 梅州一模文) 已知△ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆半径为 r(用 S△ABC 表 示△ABC 的面积),则 S△ABC=r(a+b+c)/2;类比这一结论有:若三棱锥 A—BCD 的内切球 半径为 R,则三棱锥体积加 VA-BCD=________________. 例 8(2004 广东卷)教材 P78 练习 3
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例 9 若点 D 在△ABC 内, 则有结论 S OBC OA + S OAC OB + S OAB OC = 0 , 把命 题类比推广到空间, 若点 O 在四面体 ABCD 内, 则有结论: ___________________________。 类比方法 2: “三角形的高”类比为“_________________________”. 例 10(2008 汕头一模理) 设 P 是△ABC 内一点,△ABC 三边上的高分别为 hA,hB, hC,P 到三边的距离依次为 l a , lb , l c ,则有

la l l + b + c =_________;类比到空间,设 P h A hB hC

是三棱锥 A-BCD 内一点,四顶点到对面的距离分别为 hA,hB,hC,hD,P 到这四个面的 距离依次为 l a , lb , l c , l d ,则有___________________________________. (二)平面中的特殊四边形类比到空间中的特殊 二 平面中的特殊四边形类比到空间中的特殊 平面中的特殊四边形类比到空间中的特殊____________ 1.平行四边形类比到____________ 类比方法: “平行四边形的边、对角线”分别类比为“_________________” . 例 11 平面几何中,有结论: “平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方 和” 类比这一结论, . 将其拓展到空问, 可得到结论: ________________________________。 2.矩形类比到__________ 类比方法 1: “矩形的边、对角线”类比为“___________________” . 例 12 若 P 是矩形 ABCD 内任意一点,则有结论 PA2+PC2 =PB2 +PD2 成立,类比到空 间, P 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 内任意一点, 若 则有结论______________________ 成立. 例 13 矩 形 ABCD 的 对角 线 AC 与边 AB 和 AD 所 成的 角分 别 为 α , β ,则

cos 2 α + cos 2 β = 1 , 把 它 类 比 推 广 到 长 方 体 中 , 试 写 出 一 个 相 应 的 真 命 题 :
______________________________________. 类比方法 2: “矩形的外接圆”类比为“_______________” . 例 14 设矩形 ABCD 的外接圆半径为 r, 是矩形 ABCD 的外接圆上任意一点, PA2 P 则 +PB2 +PC2 +PD2 为定值__________ ;类比到空间,设长方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球 半径为 R,P 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球上任意一点,则 PA2 +PB2 +PC2 + PA12 +PB12 +PC12 +PD12 为定值__________
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(三)平面中的特殊平面图形类比到空间中的特殊旋转体 三 平面中的特殊平面图形类比到空间中的特殊旋转体 1.圆类比到球 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,球是空间中到定点的距离等于定长的 点的集合;用任意一个平面去截球,截面都是圆,这些都决定了圆与球有很深厚的渊源. 类比方法 1: “圆的面积”类比为“球的体积” . 例 15(2006 湖北卷) 半径为 r 的圆的面积 S(r)= πr ,周长 C(r)=2 π r,若将 r 看作(0,+
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∞)上的变量,则( πr )’ =2 π r ①,① 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆
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的周长函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于① 的 式 子 : ______________________ ② , ② 式 可 以 用 语 言 叙 述 为 :

________________________________________________________________________ . 类比方法 2: “圆的内接矩形”类比为“_______________” . 例 16 通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,正方形的面积最大,最 大值为 2 . ”猜想关于球的相应命题为:__________________________________________. 2.梯形类比到______ 类比方法 1: “平行于梯形上、下底的线段”类比为“_________________________” , “梯形的上、下底边长”类比为“_________________________” . 例 17 已知梯形 ABCD 中, AB=a, CD=b(a>b), F 是腰 AD、 上两点, EF//AB//CD, E、 BC 且 若线段 EF 将梯形的面积二等分,则 EF =

a2 + b2 . 类比上述结论,若圆台的两底半 2

径为 R, >r), r(R 作平行于底的截面, 若截面将圆台的侧面积二等分, 则截面半径为______; 若截面将圆台的体积二等分,则截面半径为_________________. 类比方法 2: “梯形的上、下底边长”类比为“______________________________” , “平行于梯形上、下底的线段长”类比为“_____________________________________” . 例 18 已知梯形 ABCD 中,AB=a,CD =b(a>b),E、F 是腰 AD、BC 上两点,且 EF ∥AB∥CD,且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m:n,则可推算出 EF=
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ma + nb .类比上 m+n

述结论,若圆台的上、下底面积为 S1 、S2:(S1 <S2),一个平行于底面的截面到圆台上、 下底面的距离之比为 m:n,若此截面的面积为 S0,则 S0 与 S1、S2 的关系式为_________. 三、平面向量类比到空间向量 由于空间向量是平面向量在空间的推广,空间向量基本定理也是平面向量基本定理的 推广,因此,两者之间必然存在着广泛而深刻的联系,它们在加、减、数乘、数量积方面 具有相同的运算律,而它们的坐标运算则非常相似. 类比方法 1: “平面向量的二维坐标运算”类比为“空间向量的三维坐标运算” . 例 19 设向量 a=(x1,y1 ),b=(x2,y2:),则由平面向量数量积公式可得|ab |≤|a || b a b a b |,即有不等式:(x1 x2+yly2)2 ≤( x1+y1)2 ( x2+y2)2.将平面向量类比推广到空间向量,可 以得到一个类似的不等式:__________________________________________________. 类比方法 2: “共线向量”类比为“________”“不共线向量”类比为“__________” , . 例 20 若点 O 在直线 AB 外, 则点 P 在直线 AB 上的充要条件是 OP = xOA + yOB 且 x+y=1. 类比到空间, 若点 O 在平面 ABC 外, 则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是__________ 例 21 类 比 正 确 命 题“若 A 、 B 、C 三 点 不 共线 , D 是 线段 AB 的 中点 , 则

CD =

1 (CA + CB ) ” ,给出空间中的一个恰当正确命题:__________________________. 2

四、平面解析几何类比到空间解析几何 空间解析几何是平面解析几何在空间的推广,其坐标表示由二维(x,y)延拓到三维(x, y,z),因此,两者之间也必然存在着非同寻常的关系.例如:平面解析几何中直线方程的 一般式 Ax +By+C=0 与空间解析几何中平面方程的一般式 Ax +By+Cz +D=0 是一脉相承 的;圆心为(a,b)、半径为 r 的圆的标准方程( x-a)2 +(y-b)2=r2 与球心为(a,b,c)、半径为 R 的球的标准方程( x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2 也“本是同根生” . 类比方法: “平面解析几何中的直线”类比为“_____________________” . 例 22 类比平面内一点 P(x0,yo)到直线 A x+By+C=0(A2 +B2≠0)的距离公式,猜想空 间中一点 P( x0,o,0)到平面 Ax +By+Cz +D=0(A 2+B2+C2≠0)的距离公式为 d=___________ y z

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课后训练: 课后训练: 一、从低次类比到高次 1、(2006年上海文高考题)已知函数 y = x +

a 有如下性质:如果常数a>0,那以该函数在 x

(0, a ]上是减函数,在[ a ,+∞)上是增函数. (I)如果函数 y = x +
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2b (x>0)的值域为[6,+∞),求b的值; x

c (常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由; x2 a c 2 (Ⅲ)对函数 y = x + 或 y = x + 2 (常数a,c>O)作出推广,使它们都是你所推广的函 x x
(Ⅱ)研究函数 y = x + 数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) 二、圆锥曲线与圆的类比 2、在圆x2 +y2 =r2中,AB为直径,P为圆上一点,若PA,PB的斜率kPA,kPB都存在,则kPAkPB =-1.在圆锥曲线中也有类似结论吗?

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