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中学数学竞赛讲座及练习(第35讲)归纳


第三十五讲 归纳与发现 三十五讲
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法, 也是数学中发现命题与发现 解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳,也就是在求解数学问题时, 首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作基础,分 析概括这些经验的共同特征, 从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法. 下面举几个 例题,以见一般.

例 1 如图 2-99,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层;第二层每边有 两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,…这个六边形点阵共有 n 层,试问第 n 层有多少个点?这个点阵共有多少个点?

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.

第一层有点数:1;

第二层有点数:1×6;

第三层有点数:2×6;

第四层有点数:3×6;

……

第 n 层有点数:(n-1)×6. 因此,这个点阵的第 n 层有点(n-1)×6 个.n 层共有点数为

例 2 在平面上有过同一点 P,并且半径相等的 n 个圆,其中任何两个圆都有两个交点, 任何三个圆除 P 点外无其他公共点,那么试问:

(1)这 n 个圆把平面划分成多少个平面区域? (2)这 n 个圆共有多少个交点? 分析与解 (1)在图 2-100 中,设以 P 点为公共点的圆有 1,2,3,4,5 个(取这 n 个特 定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个?为此,我们列出表 18.1.

由表 18.1 易知

S2-S1=2,

S3-S2=3, S4-S3=4, S5-S4=5, ……

由此,不难推测

Sn-Sn-1=n. 把上面(n-1)个等式左,右两边分别相加,就得到

Sn-S1=2+3+4+…+n, 因为 S1=2,所以

下面 对 Sn-Sn-1=n,即 Sn=Sn-1+n 的正确性略作说明. 因为 Sn-1 为 n-1 个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当 n 个圆过定点 P 时, 这个加上去的圆必与前 n-1 个圆相交,所以这个圆就被前 n-1 个圆分成 n 部分,加在 Sn-1 上,所以有 Sn=Sn-1+n.

(2)与(1)一样,同样用观察,归纳,发现的方法来解决.为此,可列出表 18.2.

由表 18.2 容易发现 a1=1, a2-a1=1, a3-a2=2, a4-a3=3, a5-a4=4, ……

an-1-an-2=n-2, an-an-1=n-1. n 个式子相加

注意 请读者说明 an=an-1+(n-1)的正确性. 例 3 设 a,b,c 表示三角形三边的长,它们都是自然数,其中 a≤b≤c,如果 b=n(n 是自然数),试问这样的三角形有多少个?

分析与解 我们先来研究一些特殊情况:

(1)设 b=n=1,这时 b=1,因为 a≤b≤c,所以 a=1,c 可取 1,2,3,….若 c=1,则 得到一个三边都为 1 的等边三角形;若 c≥2,由于 a+b=2,那么 a+b 不大于第三边 c, 这时不可能由 a,b,c 构成三角形,可见,当 b=n=1 时,满足条件的三角形只有一个.

(2)设 b=n=2,类似地可以列举各种情况如表 18.3.

这时满足条件的三角形总数为:1+2=3.

(3)设 b=n=3,类似地可得表 18.4.

这时满足条件的三角形总数为:1+2+3=6.

通过上面这些特例不难发现,当 b=n 时,满足条件的三角形总数为:

这个猜想是正确的.因为当 b=n 时,a 可取 n 个值(1,2,3,…,n),对应于 a 的每个 值,不妨设 a=k(1≤k≤n).由于 b≤c<a+b,即 n≤c<n+k,所以 c 可能取的值恰好有 k 个(n,n+1,n+2,…,n+k-1).所以,当 b=n 时,满足条件的三角形总数为:

例 4 设 1×2×3×…×n 缩写为 n!(称作 n 的阶乘),试化简:1!×1+2!×2+3! ×3+…+n!×n.

分析与解 先观察特殊情况:

(1)当 n=1 时,原式=1=(1+1)!-1; (2)当 n=2 时,原式=5=(2+1)!-1; (3)当 n=3 时,原式=23=(3+1)!-1; (4)当 n=4 时,原式=119=(4+1)!-1. 由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)!-1.

下面我们证明这个猜想的正确性.

1+原式=1+(1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n)

=1!×2+2!×2+3!×3+…+n!×n

=2!+2!×2+3!×3+…+n!×n

=2!×3+3!×3+…+n!×n

=3!+3!×3+…+n!×n=…

=n!+n!×n=(n+1)!, 所以原式=(n+1)!-1. 例 5 设 x>0,试比较代数式 x3 和 x2+x+2 的值的大小. 分析与解 本题直接观察,不好做出归纳猜想,因此可设 x 等于某些特殊值,代入两式 中做试验比较,或许能启发我们发现解题思路.为此,设 x=0,显然有 x3<x2+x+2.① 设 x=10,则有 x3=1000,x2+x+2=112,所以 x3>x2+x+2.② 设 x=100,则有 x3>x2+x+2. 观察,比较①,②两式的条件和结论,可以发现:当 x 值较小时,x3<x2+x+2;当 x 值 较大时,x3>x2+x+2. 那么自然会想到:当 x=?时,x3=x2+x+2 呢?如果这个方程得解,则它很可能就是本 题得解的"临界点".为此,设 x3=x2+x+2,则 x3-x2-x-2=0, (x3-x2-2x)+(x-2)=0, (x-2)(x2+x+1)=0. 因为 x>0,所以 x2+x+1>0,所以 x-2=0,所以 x=2.这样 (1)当 x=2 时,x3=x2+x+2;

(2)当 0<x<2 时,因为 x-2<0,x2+x+2>0, 所以 (x-2)(x2+x+2)<0, 即 x3-(x2+x+2)<0, 所以 x3<x2+x+2. (3)当 x>2 时,因为 x-2>0,x2+x+2>0, 所以 (x-2)(x2+x+2)>0, 即 x3-(x2+x+2)>0, 所以 x3>x2+x+2. 综合归纳(1),(2),(3),就得到本题的解答.

分析 先由特例入手,注意到

例 7 已知 E,F,G,H 各点分别在四边形 ABCD 的 AB,BC,CD,DA 边上(如图 2 —101).

(2)当上述条件中比值为 3,4,…,n 时(n 为自然数),那 S 么 S 四边形 EFGH 与 S 四边形 ABCD 之比是多少?

G 引 GM‖AC 交 DA 于 M 点.由平行截割定理易知

(2)设

当 k=3,4 时,用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表 18.5.

观察表 18.5 中 p,q 的值与对应 k 值的变化关系,不难发现:当 k=n(自然数)时有

以上推测是完全正确的,证明留给读者.

练习十八

1.试证明例 7 中:

2.平面上有 n 条直线,其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交),也没有三 条或三条以上的直线通过同一点.试求:

(1)这 n 条直线共有多少个交点? (2)这 n 条直线把平面分割为多少块区域?

然后做出证明.) 4.求适合 x5=656356768 的整数 x. (提示:显然 x 不易直接求出,但可注意其取值范围:505<656356768<605,所以 502 <x<602.)

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